湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2022年下期期中（摸底）考试高二数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，时量：120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名､准考证号和科目.

2.考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

4.本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负.

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.以下四个命题中，真命题为（    ）

A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

B.底面是矩形的四棱柱是长方体

C.正三棱锥是正四面体

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

2..如图，在平行六面体中，（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知椭圆的一个焦点为，则椭圆的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.当变化时，不在直线上的点所成区域是区域内的任意一点.则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ）

A.当或时，曲线是双曲线

B.当时，曲线是椭圆

C.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

10.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值可能是（    ）

A.14    B.    C.12    D.

11.已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，点，分别为的中点，则（    ）

A.与平面夹角余弦值为

B.与所成的角为

C.平面

D.平面平面

12.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（    ）

A.椭圆的离心率是

B.点关于直线的对称点在半圆上

C.面积的最大值是

D.线段AB长度的取值范围是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为__________.

14.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________.

15.若直线与圆相交于两点，且，则实数的值为__________.

16.将边长为2的正方形沿对角线折起，使得，则四面体的外接球半径为__________，四面体的内切球球心与外接球球心的距离为__________.

四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤

17.（1）若直线过点，且与直线平行，求直线的斜截式方程；

（2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程.

18.求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

（1）长轴长是短轴长的3倍且经过点；

（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.

19.已知两圆和.求：

（1）m取何值时两圆外切？

（2）当m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

20.如图，已知以为圆心，2为半径的圆在平而上，若，且为圆的半径､且为线段的中点.求：

（1）异面直线所成角的余弦值；

（2）点到平面的距离.

21.如图，在四棱锥中，平面平面是的平分线，且.

（1）若点为棱的中点，证明：平面；

（2）已知二面角的大小为.求平面和平面的夹角的余弦值.

22.某学校在平面图为矩形的操场内进行体操表演，其中，，为上一点（不与端点重合），且，线段为表演队列所在位置（分别在线段上），内的点为领队.位置，且点到､的距离分别为､，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好.

（1）当为何值时，为队列的中点？

（2）求观赏效果最好时的面积.

2022年下期期中考试

高二数学答案

1-8题：DAACBABA

9-12题：ADCDBCDACD

13.    14.9    15.1或7    16.，.

17解：（1）设直线方程为：，将代入方程，得，

所以直线方程为；

（2）①当直线的斜率不存在时，显然满足题意的直线的方程为，

②当直线的斜率存在时，设直线方程的方程为：，即

由题意可知原点到直线的距离等于单位圆的半径，即，

解得，此时直线的方程为.

综合上述直线的方程为或者

18解：（1）①若焦点在x轴上，设方程为，

∵椭圆过点，∴得，

∵，∴，∴方程为，

②若焦点在y轴上，设方程为，

∵椭圆过点，∴得，又，∴，∴方程为.

综上所述，椭圆方程为或；

（2）由已知，有解得，，

若焦点在y轴上，则，

若焦点在x轴上，，

∴所求椭圆方程为或；

19解：（1）两圆的标准方程分别为，

圆心分别为，半径分别为和，

当两圆外切时，=+，解得；

（2）两圆的公共弦所在直线的方程为，

即，

圆的圆心到公共弦所在直线的距离

，

公共弦长为.

20解：（1）由且可知两两垂直，

所以，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐

标系，如图，

由题意，

因为为线段的中点，所以，

所以，

，

所以，异面直线，所成角的余弦值为.

（2）根据题意，，

所以，在等腰中，

所以，，

，

设点到平面的距离为，因为，

因为，所以，

所以，解得，所以点到平面的距离；

21解：（1）延长交于点，连接，

在中，是的平分线，且，

是等腰三角形，点是的中点，

又是的中点，，

又平面平面，

直线平面.

（2）在中，，

则，即，由已知得，

又平面平面平面

所以平面，即，

所以以为二面角的平面角，

所以，

又，所以为正三角形，

取的中点为，连，则平面

如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设分别为平面和平面的法向量，则

，即，取，则，

，即，取，则，

所以.

则平面和平面所成夹角的余弦值为.

22解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，过点且

垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，

∴直线的方程为，直线的方程为，

设，，.

由题意得，或（舍去），

∴.为的中点，，解得，

，∴，

∴当时，P为队列的中点.

（2）由三点共线，得，即，即，

∴，

又，

当且仅当，即时，等号成立，

∴观赏效果最好时的面积为.