2022-2023学年湖南省怀化市第五中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年湖南省怀化市第五中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据并集的知识求得正确答案.

【详解】依题意.

故选：C

2．设是虚数单位，则复数

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算可得答案.

【详解】.

故选:A

【点睛】本题考查了复数的乘法运算,属于基础题.

3．命题：“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】因为全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可得出结论.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题：“”的否定是“”.

故选：C.

4．下列几何体中为圆柱的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆柱的特征直接判定即可.

【详解】易得A为圆锥,B为圆柱,C为棱台,D为球.

故选：B

【点睛】本题主要考查了常见几何体的辨析,属于基础题.

5．已知是第一象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用同角三角函数的平方关系可求得的值.

【详解】因为是第一象限角，则.

故选：B.

6．已知向量，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由向量加法的坐标运算计算．

【详解】由题意，

故选：B．

7．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ）

A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥

C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台

【答案】C

【分析】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解.

【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.

故选：C

8．如图，无人机在离地面高200m的处，观测到山顶处的仰角为15°、山脚处的俯角为45°，已知，则山的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理，即可得出结果.

【详解】∵，∴，∴，

又，，∴，

在中，，∴，

∴.

故选：D．

二、多选题

9．下列运算错误的是（    ）

A． B．=

C． D．

【答案】AD

【分析】利用指数运算、对数运算逐项计算验证作答.

【详解】对于A，不能求出得，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：AD

10．下列各式中结果一定为零向量的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答.

【详解】对于A，，A是；

对于B，，不一定是零向量，B不是；

对于C，，C是；

对于D，，D是.

故选：ACD

11．已知为等腰直角三角形，直角边长为1，将绕其一边旋转一周，则所得到的几何体的体积可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由圆锥的体积公式求解

【详解】当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，体积为，

当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体，，

故选：CD

12．下列说法中正确的是（    ）．

A．若，，．则有两组解

B．在中，已知，则是等腰直角三角形

C．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心

D．在中，若

【答案】AD

【分析】根据正弦定理可判断解的个数从而确定A的正误，根据正弦定理边角互化确定角的关系即可判断B的正误，根据式子特点确定的值即可确定C的正误，根据边角关系及正弦定理即可确定D的正误.

【详解】对于A，由正弦定理得，因为，所以或，有两解，故A正确；对于B，，可得或，故B错误；对于C，，所以直线AP一定经过这个三角形的垂心，故C错误；对于D，，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．已知，且，则__________．

【答案】

【分析】由复数相等可构造方程组求得结果.

【详解】由已知得：，解得：.

故答案为：.

14．设向量，若，则___________.

【答案】

【分析】根据向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】因为向量，

由，可得，解得.

故答案为：.

15．函数的最小正周期是_____．

【答案】

【分析】根据周期公式即可求出函数的周期．

【详解】解：，

，

，即函数的最小正周期是．

故答案为：．

16．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .

【答案】

【详解】设球的半径为r,

则,

，

，

所以，

故答案为.

【解析】圆柱，圆锥，球的体积公式.

点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.

四、解答题

17．已知向量；是单位向量，且的夹角为，求：

(1)；

(2).

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的定义直接计算作答.

（2）利用（1）的结论，结合数量积的运算律求解作答.

【详解】（1）向量，是单位向量，且的夹角为，

所以.

（2）由（1）知，，

所以.

18．在中，内角、、的对边分别为、、，，，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理求出，结合大边对大角定理可求得角的值；

（2）求得，利用勾股定理可求得的值.

【详解】（1）解：由正弦定理可得，所以，，

因为，则，故.

（2）解：由（1）可知，所以，.

19．如图，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，求该组合体的表面积和体积.

【答案】表面积为；体积为.

【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积公式和体积公式求解作答.

【详解】依题意，圆锥的高，圆柱的高，圆锥、圆柱的底面圆半径，

于是圆锥的母线，

圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，

所以该组合体的表面积；

圆锥的体积，圆柱的体积，

所以该组合体的体积.

20．设，复数是纯虚数.

(1)求m的值；

(2)若是方程的一个根，求实数p，q的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由纯虚数的概念列不等式组，求参数m.

（2）根据复数范围内根的性质及根系关系求p，q的值.

【详解】（1）由题设有，可得.

（2）由（1）及题设知：、是方程的两个根，

所以.

故.

21．如图所示，在正方形中，E，F分别是AB，BC的中点.

(1)求证：；

(2)若点E位置不变，点F为线段BC边上靠近点C处的四等分点，求与夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示推理作答.

（2）利用（1）中坐标系，再利用向量夹角的坐标表示求解作答.

【详解】（1）在正方形中，以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

令，则，的中点，的中点，

即有，因此，即，

所以.

（2）如图，由（1）知，，

而点F为线段BC边上靠近点C处的四等分点，则，，

于是，

所以与夹角的余弦值是.

22．已知 为的内角所对的边，向量,,且.

(1)求角 ;

(2)若 的面积为为中点，求线段的长.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可求解；

（2）由面积公式及余弦定理可求解

【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，即 ，

由余弦定理得 . 因为 ，所以 .

（2）， 解得 .

因为 为中点，所以.

在 中，，即 ，

所以 .