2022-2023学年湖南省怀化市第三中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省怀化市第三中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由空间向量垂直的坐标表示进行计算即可.

【详解】∵，

∴，

∴.

故选：B.

2．经过两点的直线的斜率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算作答.

【详解】经过两点的直线的斜率.

故选：D

3．直线恒过定点（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由时，可得到定点坐标.

【详解】当，即时，，直线恒过定点.

故选：B.

4．圆与圆的位置关系为（    ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

【答案】B

【分析】根据圆心距与半径的关系判断.

【详解】圆心，半径，圆心，半径，

圆心距，所以两圆内切，

故选:B.

5．点 到直线的距离是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】点到直线的距离公式求解

【详解】点 到直线的距离为：

故选：B.

6．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的渐近线方程为进行求解.

【详解】双曲线中，，故渐近线方程为，

即.

故选：

7．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为，若该抛物线上两点、的横坐标之和为，则弦的长的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角不等式可求得弦的长的最大值.

【详解】设点、，则，

当且仅当、、三点共线时，等号成立，

故弦的长的最大值为.

故选：A.

8．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（    ） （参考数据：

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，，，利用求出的关系，然后根据的范围求角的范围.

【详解】解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，

根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，

设，，，

则，，，，，，，0，，

，

，

，，

记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，

，

点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的圆，

，，

又为锐角或直角，，

，则

直线与直线所成角的取值范围为，，

故选：B．

二、多选题

9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误.

【详解】由题设，，A错误；

，B正确；

，C正确；

，D错误.

故选：BC

10．下列四个命题中错误的有（    ）

A．直线的倾斜角越大，其斜率越大

B．直线倾斜角的取值范围是

C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等

D．过点的直线平行于直线

【答案】AC

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系判断A，倾斜角的定义判断B，平行直线的充要条件判断C,直线方程的定义判断D.

【详解】对于A，倾斜角为锐角对应的斜率为正数，

倾斜角为钝角对应的斜率为负，所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率，故A错误；

对于B，直线的倾斜角的范围为，故B正确；

对于C，两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在，故C错误；

对于D，过点的直线方程为平行于直线，故D正确.

故选:AC

11．椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是（    ）

A．过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8；

B．椭圆上不存在点，使得；

C．椭圆离心率为；

D．为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为4.

【答案】AC

【分析】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A；根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断B；直接法求离心率判断C；根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断D.

【详解】由题设椭圆参数为，且、，

对A：由椭圆定义知：，则△的周长为8，A正确；

对B：当在y轴上时，，而，

此时，且，易知，

故，则存在点使得，

故存在点使得，B错误；

对C：椭圆的离心率为，C正确；

对D：由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，

故的最大距离为3，D错误.

故选：AC.

12．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（    ）

A．外心的轨迹是一条直线

B．当变化时，外心的轨迹方程为

C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上

D．若分别是中点，则的外接圆过定点

【答案】AD

【分析】根据圆的性质，结合双曲线的渐近线方程、直线斜率的公式，通过解方程（组）、运用夹角公式逐一判断即可.

【详解】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，

所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线.

设.

当点在双曲线上时：

设直线与双曲线交两点

当直线与双曲线相切时，此时切点满足：

切线

设直线与渐近线交两点

切点正是线段的中点，

∴；线段中垂线是.

中垂线与轴交于点，且.

可设

一方面，；另一方面，线段中点是

考虑到

∴

，点    确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！

依（1）设

线段中点是

线段中垂线是，即

线段中垂线是，即

∴

，即外心的轨迹方程为.故选项B错！

（3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而

化简得

∴

把代入并化简得：

考虑到不在渐近线上得，故

∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误；

（4）设

共圆！

的外接圆过定点原点，选项D对.

故选：AD

【点睛】关键点睛：正确地进行数学运算，应用夹角公式是解题的关键.

三、填空题

13．在正方体中，，则__________．

【答案】

【分析】根据即可得出答案.

【详解】解：在正方体中，因为，，

所以．

故答案为：2.

14．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．

【答案】

【分析】先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果．

【详解】圆，即

所以所求圆的圆心坐标为，半径为

所以圆的方程为．

故答案为：．

15．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为______．

【答案】##

【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.

【详解】依题意，，而平面的法向量为，

所以点P到平面的距离.

故答案为：

四、双空题

16．过抛物线（）的焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，，为抛物线C上一动点，抛物线的方程为______；的最小值为______.

【答案】     ；     .

【分析】设直线方程并联立抛物线方程求，，应用弦长公式列方程求，即可得抛物线方程，由的几何意义，将问题转化为到直线距离最小，应用点线距离公式求最小值即可.

【详解】由题设，，则，联立抛物线可得，

所以，，故，

所以，由有，则，故抛物线方程.

由表示上点到直线与y轴距离之和，

如上图，，要使目标式最小，只需共线且到直线距离最小，即，

所以.

故答案为：1；

五、解答题

17．在中，，，且，求：

(1)求的值；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到a的值，进而可求b得值.

 (2)由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，

由余弦定理得，因为，，

所以，化简得，解得 或，

当时，，与题意不符合;

当时，，符合题意.

所以.

（2）因为，，

所以，所以的面积

18．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.

【详解】（1）∵四边形是正方形，

∴．

又∵平面平面，平面平面，

且平面

∴平面．

（2）由，得，

∴．    

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

∴，，．

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．

则，令，则，

∴．

，令，则，

∴，

∴．

∴平面与平面夹角的余弦值为．

19．已知直线的方程为

(1)若与直线平行，求的值；

(2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值；

（2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程.

【详解】（1）因为与直线平行，

所以且，

解得：.

（2）当时，：，不满足题意.

当时，与轴，轴的交点分别为，

因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得.

故的方程为或.

20．已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由双曲线定义得到，结合离心率得到，求出，得到双曲线的标准方程；

（2）先分析得到直线的斜率不为0，设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据为直径的圆过原点，得到，从而列出方程，代入两根之和，两根之积，得到，再由弦长公式求出答案.

【详解】（1）由双曲线的定义可得，解得：.

因为双曲线的离心率为，所以，解得.

因为，所以.

故双曲线的标准方程为

（2）当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；

直线的斜率不为0，则设直线，

联立整理得，

则，

故.

因为以为直径的圆过原点，所以，所以

所以，即，

化简整理得，即，

则，

故.

【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中以为直径的圆过原点，所以，从而由向量数量积为0列出方程，注意考虑直线的斜率存在和不存在两种情况.

21．已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．

(1)求曲线C的方程；

(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在定点，使得为定值

【分析】（1）设点，根据距离之比等于常数列出等式，即可得到曲线方程；

（2）设直线l方程为，点，联立曲线C的方程，利用韦达定理可以求出，由于为定值可知，可求出参数t的值，即可得定点坐标和定值，当斜率不存在时，也符合题意.

【详解】（1）设点，由题意可知，则有，整理得，故曲线C的方程为.

（2）

设直线l方程为，点，，

联立，得，

所以，

因此

若，即时，，所以定值为，

当斜率不存在时，直线l为，

联立可求得，，

所以，符合题意.

故存在定点，使得为定值.

22．已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；

(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据长轴长求出，再代入，求出，得到椭圆方程；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，先根据根的判别式求出的取值范围，

再根据点落在以线段为直径的圆的外部，则，列出不等式，求出的取值范围；

（3）先设出直线的方程，求出点S坐标，同理求出点T为，根据向量关系得到，结合的范围求出的范围.

【详解】（1）因为，所以；

又点在图像上即，所以，

所以椭圆的方程为；

（2）由（1）可得

设直线，设、，

由得，

解得或①

∵点在以线段为直径的圆的外部，则，

又②

解得或    

由①②得

（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，

记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.

令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.

所以，，.

由，，可得：，，

所以，

由（2）得，，

所以

，

因为，所以，，

故的范围是.

【点睛】对于直线与圆锥曲线结合，求解取值范围问题，通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，求出答案.