2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区景范中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区景范中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了0分，0分)，【答案】D，【答案】-6等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区景范中学九年级（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，则a满足的条件是(    )
A. a>0 B. a≠0 C. a=1 D. a≥0
2. 若关于x的一元二次方程x2-mx+3=0有一根是3，则m的值是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是(    )
A. 35°
B. 55°
C. 70°
D. 125°
4. 用配方法解一元二次方程2x2-7x+6=0，下面配方正确的是(    )
A. (x-74)2=9716 B. (x-74)2=116 C. (x-72)2=374 D. (x+74)2=116
5. 若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于(    )
A. 1：3 B. 1：3 C. 3：1 D. 3：1
6. 如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是(    )
A. 103
B. 163
C. 203
D. 233
7. 已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=3，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为           (    )
A.  4 B.  5 C.  6 D.  7
8. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中：
①者a-b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2
其中正确的是(    )
A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 已知关于x的方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是______．
10. 设x1，x2是方程x2+10x-2=0的两个根，则x1+x2-2x1x2=______．
11. 已知圆锥的底面积的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为______ ．
12. 某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为______．
13. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD=6，BD=10，则OH的长为______．


14. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为______．


15. 如图，在四边形ACBD中，AB=BD=BC，AD//BC，若CD=4，AC=2，则AB的长为______．


16. 已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，点P为其所在平面内一点，PD=5，∠BPD=90°，则点A到BP的距离等于______．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
解方程：
(1)x2-16=0；
(2)x2-4x-12=0；
(3)2x2-4x-1=0．
18. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(3,0)．
(1)若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为______；
(2)△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标是______；
(3)△ABC的外接圆的弧ABC的长是______．

19. (本小题6.0分)
已知关于x的方程：x2+ax+a-2=0．
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=7，求a的值．
20. (本小题6.0分)
如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC，求证：
(1)AD=BC；
(2)AE=CE．

21. (本小题6.0分)
某电脑批发店的一款鼠标进价为每个100元，现在的售价为每个150元，平均每天可卖出40个．经市场调查反映，售价每降价1元，则平均每天多卖出2个．若商场要实现日盈利额达到2400元，又能更好的让利给消费者，则鼠标售价为多少元？
22. (本小题7.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
(1)求证：∠AKD=∠CKF；
(2)已知AB=8，CD=43，求∠CKF的大小．

23. (本小题7.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP=AC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若AB=2+15，BC=4，求⊙O的半径．

24. (本小题7.0分)
如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x(2 (1)当x=3时，求弦PA，PB的长度；
(2)用含有x的代数式表示PD⋅CD，并求出当x为何值时，PD⋅CD的值最大？最大值是多少？

25. (本小题7.0分)
当m，n为实数，且满足m+n=1时，就称点(m,n)为“和谐点”.已知点A(0,7)在直线l：y=x+b上，点B，C是“和谐点”，且B在直线l上．
(1)求b的值及判断点F(2,-1)是否为“和谐点”；
(2)求点B的坐标；
(3)若AC=52，求点C的横坐标．
26. (本小题9.0分)
若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形，根据以上信息回答：
(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称______．
(2)如图2，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°，求AC的长；
(3)如图3，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

27. (本小题9.0分)
已知⊙O为△ABC的外接圆，AC=BC，点D是劣弧AB上一点(不与点A，B重合)，连接DA，DB，DC．
(1)如图1，若AB是直径，将△ADC绕点C逆时针旋转得到△BCE.若CD=4，求四边形ADBC的面积；
(2)如图2，若AB=AC，半径为2，设线段DC的长为x，四边形ADBC的面积为S．
①用含有x的代数式表示S；
②若点M，N分别在线段CA，CB上运动(不含端点)，经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化．则所有t值中的最大值是______，此时四边形ADBC的面积S为______．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.利用一元二次方程的定义判断即可求出a的值．
【解答】
解：由关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，得到a≠0．
故选B．


  
2.【答案】C 
【解析】解：把x=3代入方程x2-mx+3=0得9-3m+3=0，
解得m=4，
即m的值为4．
故选：C．
根据一元二次方程解的定义，把x=3代入一元二次方程得9-3m+3=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

3.【答案】C 
【解析】解：连接OD，OF，OA，如下图所示，

∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∵∠DEF=55°，
∴∠DOF=2∠DEF=2×55°=110°(圆心角是圆周角的2倍)，
∵在三角形AOD与三角形AOF中，
∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF=360°，
∵AD，AF是圆的切线，
∴∠ADO=∠AFO=90°，
∴∠A=360°-90°-90°-110°=70°，
故选：C．
根据三角形的内切圆与圆心和圆周角定理即可求解．
本题考查了三角形的内切圆与圆心和圆周角定理，解题关键根据圆周角求出圆心角∠DOF即可得出答案．

4.【答案】B 
【解析】解：∵2x2-7x+6=0，
∴x2-72x=-3，
∴x2-72x+(74)2=-3+(74)2，
∴(x-74)2=116，
故选：B．
根据配方法可以将题目中的方程化为完全平方的形式．
本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程．

5.【答案】D 
【解析】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长a3=2rsin60°=3r，

如图2，正六边形的边长是a6=r，

因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比a3：a6=3：1．
故选：D．
从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

6.【答案】A 
【解析】解：∵AE=AC=5，AC=5，BC=12，
∴AB=13，
∴BE=8；
∵BE2=BD⋅BC，
∴BD=163，
∴CD=203，
∴圆的半径是103，
故选：A．
根据切线长定理得AE=AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2=BD⋅BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．
此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理．

7.【答案】B 
【解析】解：如图：
连接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E、F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，
已知OA=OC=2，OP=3，
设OE为x，则OF=EP=OP2- OE2=3- x2，
∴AC=2AE=2OA2- OE2=24- x2，
BD=2DF=2OD2- OF2=2x2+1，
如设OF为y，同理可得：
AC=2y2+1，BD=24-y2，
∴AC2+BD2=20，
由此可知AC与BD两线段的平方和为定值，
又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的12，
当AC=BD时，即y2+1=4-y2，
y=62，
AC=BD=10，
∴四边形ABCD的面积等于5．
故选：B．
这道题在考查垂径定理的基础上，还考查了当两数的和一定时，两数相等时乘积最大以及一元二次(根式)方程．
此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想．还可用a2+b2≥2ab解决，设OE=a、OF=b.分别用a、b表示AC、BD的长．

8.【答案】D 
【解析】解：若a-b+c=0，则ax2+bx+c=0有一个根是x=-1，
∴b2-4ac≥0，故①正确；
若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，
∴c(ac+b+1)=0，
∴c=0或ac+b+1=0，故③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c=0，
∴a2x02+abx0+ac=0，
∴4a2x02+4abx0=-4ac，
∴4a2x02+4abx0+b2=b2-4ac，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确；
∴正确的有：①②④，
故选：D．
由ax2+bx+c=0有一个根是x=-1，知b2-4ac≥0，可判断①正确；由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，-4ac>0，可得b2-4ac>0，即得方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，判断②正确；若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，得c=0或ac+b+1=0，判断③错误；若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，有ax02+bx0+c=0，可得4a2x02+4abx0+b2=b2-4ac，从而判断④正确．
本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形．

9.【答案】k≤1 
【解析】解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即4-4k≥0，
解得，k≤1．
故答案是：k≤1．
根据根的判别式△=b2-4ac≥0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△=b2-4ac的关系：
(1)△=b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△=b2-4ac<0⇔方程没有实数根．

10.【答案】-6 
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+10x-2=0的两个根，
∴x1+x2=-10，x1⋅x2=-2，
∴x1+x2-2x1x2
=-10-2×(-2)
=-10+4
=-6，
故答案为：-6．
根据根与系数的关系得出x1+x2=-10，x1⋅x2=-2，再代入求出答案即可．
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca．

11.【答案】15π 
【解析】解：由勾股定理得：圆锥的母线长=32+42=5，
∵圆锥的底面周长为2πr=2π×3=6π，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为6π，
∴圆锥的侧面积为：12×6π×5=15π．
故答案为：15π．
根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积．

12.【答案】200(1+x)+200(1+x)2=1000 
【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×(1+x)，
∴三月份的营业额为200×(1+x)×(1+x)=200×(1+x)2，
∴可列方程为200(1+x)+200(1+x)2=1000，
故答案为：200×(1+x)+200×(1+x)2=1000．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．

13.【答案】4 
【解析】解：如图，连接OD；
∵弦CD垂直于⊙O的直径AB，且CD=6，
∴CH=DH=3；
设⊙O的半径为r，OH=x，
则BH=r-x；
由勾股定理得：x2+32=r2(r-x)2+32=(10)2，
解得：x=4，r=5；
即OH的长为4，
故答案为：4．
如图，作辅助线；根据勾股定理和垂径定理列出关于线段OH、半径r的方程组，解方程组即可解决问题．
该题以圆为载体，以垂径定理、勾股定理的考查为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．

14.【答案】π4-12 
【解析】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=12AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=22．
则扇形FDE的面积是：90π×12360=π4．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
∠DMG=∠DNH∠GDM=∠HDNDM=DN，
∴△DMG≌△DNH(AAS)，
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=12．
则阴影部分的面积是：π4-12．
故答案为π4-12．
连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．

15.【答案】5 
【解析】解：如图，以B为圆心，BC为半径作⊙B，延长BC交⊙B于点C'，连接DC'，
则∠CDC'=90°，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCC'，
∴AC=DC'=2，
在Rt△CDC'中，
有CC'2=DC'2+CD2，CD=4，
∴CC'=22+42=25，
∴AB=BC=12CC'=5，

故答案为：5．
以B为圆心，BC为半径作⊙B，延长BC交⊙B于点C'，连接DC'，根据AD//BC得到AC=DC'，在Rt△CDC'中，由勾股定理求出CC'的值，AB=12CC'即可求解．
本题考查了圆周角、圆心角以及平行线的性质，解题关键是熟练应用圆周角定理．

16.【答案】8525或855 
【解析】解：∵点P满足PD=5，
∴点P在以D为圆心，5为半径的圆上，
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，过点P作PK⊥AD于K，延长P'K'交AB于T，
∵CD=AB=4，∠BCD=90°，AD=BC=3，
∴BD=BC2+CD2=32+42=5，
∵∠BPD=90°，
∴BP=BD2-PD2=52-(5)2=25，
∵∠AKP=∠BPD=90°，∠PAD=∠PBD，
∴△APK∽△BDP，
∴AKPK=BPPD=255=2，
∴AK=2PK，
∴DK=AD-AK=3-2PK，
在Rt△DPK中，PK2+DK2=PD2，
∴PK2+(3-2PK)2=(5)2，
∴PK=2或25，
当PK=2时，AK=4>AD，不符合题意，舍去；
当PK=25时，AK=45，
∴DK=AD-AK=3-45=115，
∵∠DKP=∠BHA=90°，∠PDA=∠PBA，
∴△DPK∽△BAH，
∴AHAB=PKPD，即AH4=255，
∴AH=8525；
若点P'在CD的右侧，过点A作AH'⊥BP'于H'，过点P'作P'K'⊥CD于K'，
同理可得：△CP'K'∽△BDP，
∴CK'P'K'=BP'P'D=2，
∴CK'=2P'K'，
∴DK'=CD-CK'=4-2P'K'，
在Rt△DP'K'中，DK'2+P'K'2=P'D2，
∴(4-2P'K')+P'K'2=(5)2，
∴P'K'=1或115，
当P'K'=1时，CK'=2，DK'=2，
∴PT=4，
∵BP'⋅AH'=AB⋅P'T，即25AH'=4×4，
∴AH'=855；
当P'K'=115时，CK'=225>CD，不符合题意，舍去，
综上所述，点A到BP的距离等于8525或855；
故答案为：8525或855．
由题意可得点P在以D为圆心，5为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和性质及勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
本题考查矩形的性质，两圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．

17.【答案】解：(1)x2-16=0，
x2=16，
x=±4，
所以x1=4，x2=-4，
(2)x2-4x-12=0，
(x-6)(x+2)=0，
x-6=0或x+2=0，
所以x1=6，x2=-2；
(3)2x2-4x-1=0．
x2-2x=12，
x2-2x+1=12+1，
(x-1)2=32，
x-1=±62，
所以x1=1+62，x2=1-62． 
【解析】(1)先移项得到x2=16，然后利用直接开平方法解方程；
(2)利用因式分解法把方程转化为x-6=0或x+2=0，然后解一次方程即可；
(3)利用配方法得到(x-1)2=32，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法和配方法．

18.【答案】(5,5)  (7,0) 29π2 
【解析】解：(1)如图，点M即为所求，M(5,5)，
故答案为：(5,5)；
(2)△ABC的外接圆与x轴的另一个交点E坐标是(7,0)，
故答案为：(7,0)；
(3)连接MC，∵AM=CM=22+52=29，AC=32+72=58，
∴AM2+CM2=AC2，
∴∠AMC=90°，
∴△ABC的外接圆的弧ABC的长=90⋅π×29180=29π2，
故答案为：29π2．
(1)线段BC，AB的垂直平分线的交点M，即为△ABC的外接圆的圆心；
(2)根据垂径定理即可得到结论；
(3)根据勾股定理和弧长公式即可得到结论．
本题考查坐标与图形性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是连接三角形的外心是各边垂直平分线的交点．

19.【答案】解：(1)∵Δ=a2-4(a-2)
=a2-4a+8
=a2-4a+4+4
=(a-2)2+4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)∵方程x2+ax+a-2=0的两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=-a，x1x2=a-2，
∵x12+x22=7，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x1=(-a)2-2(a-2)=7，
解得：a=3或a=-1．
∴a的值为3或-1． 
【解析】(1)由判别式Δ>0即可证明；
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=-a，x1x2=a-2，再由x12+x22=7得到关于a的方程，解方程则可求a的值．
本题考查一元二次方程的根；熟练掌握判别式确定根的存在情况，灵活应用根与系数的关系是解题的关键．

20.【答案】证明：(1)∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AC+BC=AD+AC，
∴AD=BC．

(2)∵AD=BC，
∴AD=BC，
∵∠ADE=∠CBE，∠AED=∠CEB，
∴△ADE≌△CBE(AAS)，
∴AE=EC． 
【解析】(1)由AB=CD，推出AB=CD，推出AD=CD．
(2)证明△ADE≌△CBE可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

21.【答案】解：设鼠标售价为x元，则每个的销售利润为(x-100)元，平均每天可卖出40+2(150-x)=(340-2x)个，
依题意得：(x-100)(340-2x)=2400，
整理得：x2-270x+18200=0，
解得：x1=130，x2=140，
又∵要更好的让利给消费者，
∴x=130．
答：鼠标售价为130元． 
【解析】设鼠标售价为x元，则每个的销售利润为(x-100)元，平均每天可卖出(340-2x)个，利用总利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要更好的让利给消费者，即可得出鼠标售价为130元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：连接AD、AC，

∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BD=BC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；
(2)解：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴OD=OA=4，
∵弦CD⊥AB，CD=43，
∴DE=CE=12CD=23，
在Rt△ODE中，OE=OD2-DE2=2，
∴AE=6，
在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE=623=3，
∴∠ADE=60°，
∵∠CKF=∠ADE=60°． 
【解析】(1)连接AD、AC.根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知∠CKF=∠ADC；然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得∠ADC=∠AKD；最后根据图中角与角间的和差关系证得结论；
(2)连接OD.利用垂径定理知DE=CE=12CD=23，然后在Rt△ODE中根据勾股定理求得OE=2，最后在Rt△ADE中利用三角函数的定义求得tan∠ADE=3，由等量代换知∠CKF=60°．
此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

(2)解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=4，
∴BE=12BC=2，CE=23，
∵AB=2+15，
∴AE=AB-BE=15，
在Rt△ACE中，AC=AE2+CE2=33，
∴AP=AC=33．
在Rt△PAO中，OA=33OP=3，
∴⊙O的半径为3． 
【解析】(1)连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
(2)过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=4，于是得到BE=12BC=2，CE=23，根据勾股定理得到AC，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．

24.【答案】解：(1)∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，
又∵PC⊥l，
∴AB//PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PCA=∠APB，
∴△PCA∽△APB，
∴PC：AP=AP：AB，
∵PC=x=3，
∴3：AP=AP：4，
∴AP=23，
在Rt△APB中，PB=AB2-AP2=2；
(2)如图，过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
在矩形OECA中，CE=OA=2，
∴PE=ED=x-2，
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，
∴PD⋅PC=2(x-2)⋅(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，
∵2 ∴当x=3时，PD⋅CD的值最大，最大值为2． 
【解析】(1)根据切线的性质得AB⊥l，则AB//PC，所以∠CPA=∠PAB，再根据AB为⊙O的直径得到∠APB=90°，则可判断△PCA∽△APB，利用相似比可计算出AP，然后利用勾股定理可计算出PB；
(2)如图，过O作OE⊥PD，垂足为E，根据垂径定理得到PE=ED，易得四边形OECA为矩形，则CE=OA=2，所以PE=ED=x-2，接着表示出PD和CD，然后根据二次函数的性质求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质和二次函数的性质．

25.【答案】解：(1)∵点A在直线y=x+b上，
∴把A(0,7)代入y=x+b，
∴b=7，
∵点F(2,-1)，2+(-1)=1，
∴点F(2,-1)是“和谐点”；
(2)∵点B是“和谐点”，
∴设点B的横坐标为p，则纵坐标为1-p，点B的坐标为(p,1-p)，
∵点B在直线l：y=x+7上，
∴把点B(p,1-p)代入y=x+7得，p=-3，
∴1-p=4，
∴B(-3,4)；
(3)设点C的横坐标为c，
∵点C是“和谐点”，
∴纵坐标1-c，
当AC=52时，AC=c2+(1-c-7)2=52，
解得c=-7或1，
∴点C的横坐标为1或-7． 
【解析】(1)将点A(0,7)代入直线l：y=x+b，可得b的值，根据“和谐点”的定义即可判断；
(2)点B是“和谐点”，所以设出点B的横坐标，表示出纵坐标，因为点B在直线l：y=x+7上，把点B代入解析式中求得横坐标，进而求得点B的坐标；
(3)点C是“和谐点”，所以设出点C的横坐标为c，表示出纵坐标1-c，根据勾股定理即可得出当AC=52时对应的点C的横坐标．
本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．

26.【答案】正方形 
【解析】解：(1)∵正方形的对角线互相垂直且相等，
∴正方形是“奇妙四边形”，
故答案为：正方形；
(2)如图2，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH=DH，

∵∠BCD=60°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=12×(180°-120°)=30°，
在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6，
∴OH=12OB=3，
∴BH=3OH=33，
∵BD=2BH=63，
∴AC=BD=63；
(3)AD=2OM，理由如下：
理由如下：如图3，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，

∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∴AD=2AE，
∵OM⊥BC于M，
∴∠BOC=2∠BOM=2∠COM，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
∠OBM=∠AOE∠OMB=∠AEO=90°OB=OA，
∴△BOM≌△OAE(AAS)，
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
(1)根据正方形的对角线的性质判断即可；
(2)如图2中，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH=DH.解直角三角形求出BD，据此即可得解；
(3)结论：AD=2OM.如图3中，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，证明△BOM≌△OAE(AAS)，根据全等三角形的性质即可解决问题．
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，“奇妙四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

27.【答案】43  43 
【解析】解：(1)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵△ACD旋转得到△BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD=CE=4，∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠DCB+∠ACD=90°，
∴四边形ADBC的面积=S△ACD+S△BCD=S△BCE+S△BCD=S△DCE=12DC⋅CE=12×4×4=8；
(2)①如图，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，

∴CD=CH，∠DAC=∠HBC，
∵AC=BC，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∴∠DBC+∠HBC=180°，
∴点D，B，H三点共线，
∵DC=CH，∠CDH=∠BAC=60°，
∴△DCH是等边三角形，
∴四边形ADBC的面积=S△ACD+S△BDC=S△CDH=34DC2，
∵半径为2，线段DC的长为x，
∴S=34x2(23 ②如图，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于BC的对称点F，

∵点D、E关于直线AC对称，
∴EM=DM，
同理，DN=NF，
∴△DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN，
当点E、M、N、F四点共线时，△DMN的周长有最小值，
连接EF交AC于点M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，DM，DN，作CP⊥EF于P，
∴△DMN的周长最小值为EF=t，
∵点D、E关于直线AC对称，
∴CE=CD，∠ACE=∠ACD，
∵点D、F关于直线BC对称，
∴CF=CD，∠DCB=∠FCB，
∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°，
∵CP⊥EF，CE=CF，∠ECF=120°，
∴EP=PF，∠CEP=30°，
∴PC=12EC，PE=3PC=32EC，
∴EF=2PE=3EC=3CD=t，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值4，
∴t的最大值为43，
此时，S=34x2=34×42=43，
故答案为：43；43．
(1)根据旋转的性质及全等三角形的性质可得答案；
(2)①将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，根据等腰三角形的性质及面积公式可得答案；
②作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于BC的对称点F，当点E、M、N、F四点共线时，△DMN的周长不最小值，则连接EF交AC于点M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，由对称性质、勾股定理、最值问题可得答案．
此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，轴对称，作出辅助线找出△DMN周长有最小值t=EF是解本题的关键．