专题14 三角形 2023年江西省中考数学一轮复习专题练习

这是一份专题14 三角形 2023年江西省中考数学一轮复习专题练习，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题14 三角形 2023年江西省中考数学一轮复习专题练习
一、单选题
1．（2022·江西模拟）如图，直线a//b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90∘.若∠1+∠B=70∘，则∠2的度数为()

A．20∘ B．40∘ C．30∘ D．25∘
2．（2022·玉山模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠BAO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°
3．（2022·玉山模拟）图，矩形ABCD中，射线BF交DC于点E，DB平分∠ABF，若∠ADB=57°，则∠DEF的度数是（　　）

A．66° B．49° C．33° D．16°
4．（2022·瑞金模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， ∠C=30°，CD=6，则S阴影等于（　　）

A．12π B．π C．32π D．2π
5．（2022八下·抚州期末）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE和CD交于点M，则∠AMC的度数为（　　）

A．135° B．120° C．105° D．90°
6．（2022八下·上犹期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．22
7．（2022八下·兴国期末）以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=3
C．a=1，b=2，c=1 D．a=9，b=12，c=15
8．（2022七下·萍乡期末）如图，在△ABC中。∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（2022七下·萍乡期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，若∠BDC=3∠A，则∠A的度数为（　　）

A．35° B．36° C．37° D．38°
10．（2022七下·萍乡期末）如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
二、填空题
11．（2022·江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为　 　．

12．（2022·江西）已知点A在反比例函数y=12x(x>0)的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为　 　．

13．（2022·九江模拟）如图，直线y=−33x+3与坐标轴分别交于A，B两点，在平面直角坐标系内有一点C，使△ABC与△ABO全等，则点C的坐标为　 　．

14．（2022·九江模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB=CD，∠EGF=144°，则∠GEF的度数为　 　．

15．（2022·湖口模拟）如图，在△ABC中，AD和AE分别是边BC上的中线和高，已知AD=3，AC=2，∠BAC=90°，求高AE=　 　．

16．（2022·湖口模拟）俊俊和霞霞共同合作将一张长为2，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是2-1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是　 　．
17．（2022·吉州模拟）如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB=1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为　 　．

18．（2022·玉山模拟）如图在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=2cm，点P是直线AC上的一个动点（与A，C两点不重合），点F是直线BC上的一个动点（与BC两点不重合），连结点P，点F，使△PFC与△BAC全等，则AP=　 　．

19．（2022·新余模拟）如图，图①是棱长为4cm的立方体，沿其相邻三个面的对角线(虚线)裁掉一个角，得到如图②的几何体，则一只蚂蚁沿着图②几何体的表面，从顶点A爬到顶点B的最短距离为　 　 cm.

20．（2022·高安模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝12，点D为BC的中点，点E为AB上一点，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，若FE与△ABC的直角边垂直，则BE的长为 　 　．

三、综合题
21．（2022·九江模拟）如图

（1）问题发现：如图1，点A为平面内一动点，且BC=a，AB=c(a>c)，则AC的最小值为　 　，AC的最大值为　 　；
（2）轻松尝试：如图2，在矩形ABCD中，AB=10，AD=12，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EFB沿EF所在直线折叠得到△EFB'，连接B'D，则B'D的最小值为　 　；
（3）方法运用：在四边形ABCD中，∠ABD=90°，BDAB=m，BC=4，CD=2．
①如图3，当m=1时，求线段AC的最大值；
②如图4，当m≠1时，用含m的式子表示线段AC的最大值．
22．（2022·遂川模拟）如图，P为⊙O外一点，A，B为⊙O上两点，PC⊥OA，垂足为C，PC交⊙O于点D，交BA于E，PB=PE．

（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若BE=10，tanA=512，求PB的长．
23．（2022·萍乡模拟）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A在点B的左侧）两点．点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．

（1）已知：a=-2，b=4，c=6．
①如图①，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=　 　，|a|⋅AE⋅BF=　 　；
②如图②，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=　 　，|a|⋅AE⋅BF=　 　．
（2）由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|⋅AE⋅BF之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．
24．（2022·萍乡模拟）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，点D为BC边上一动点，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE．

（1）当AD平分∠BAC时，如图1，四边形ADCE是　 　形；
（2）过E作EF⊥AC于F，如图2，求证：F为AC的中点；
（3）若AB=2，
①当D为BC的中点时，过点E作EG⊥BC于G，如图3，求EG的长；
②点D从B点运动到C点，则点E所经过路径长为 ▲ ．(直接写出结果)
25．（2022·江西模拟）如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE．

（1）DE与BC的位置关系为　 　；
（2）如图②，连接CD，BE，若M为BE的中点，连接AM，请探究线段AM与CD的关系，并给予证明；
（3）如图③，已知E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，M为BG的中点，连接AM．
①若AB＝4，BE＝3，求AM的长；
②若AB＝a，BE＝b，则AM的长为 ▲ ．（用含a，b的代数式表示）

答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】如图：

∵∠3为三角形的外角，
∴∠3=∠1+∠B=70∘，
∵a//b，
∴∠3+∠4+∠2=180∘，
∵∠4=90∘，∠3=70∘，
∴∠2=20∘．
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠B=70∘，利用平行线的性质可得∠3+∠4+∠2=180°，从而得解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠ACB=54°，
∴∠AOB=2∠ACB=108°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=12×(180°-∠AOB)=36°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠AOB=2∠ACB=108°，再根据OA=OB，计算求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠A=∠C=90°，
∵∠ADB=57°，
∴∠DBC=∠ADB=57°，∠ABD=90°-∠ADB=33°，
∵DB平分∠ABF，
∴∠DBE=∠ABD=33°，
∴∠EBC=∠DBC-∠DBE=57°-33°=24°，
∴∠DEF=∠BEC=90°-∠EBC=66°，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】先求出AD∥BC，∠A=∠C=90°，再求出∠DBE=∠ABD=33°，最后计算求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，CD=6，
∴CE=DE=12CD=3，
在RtΔACE中，∠C=30°，
则AE=CEtan30°=3，
在RtΔOED中，∠DOE=2∠C=60°，
则OD=EDsin60°=23，
∴OE=OA-AE=OD-AE=3，
S阴影=S扇形OAD-SΔOED+SΔACE=60π×(23)2360-12×3×3+12×3×3=2π．
故答案为：D．
【分析】先求出扇形OAD的面积、△OED和△ACE的面积，再利用割补法列出算式S阴影=S扇形OAD-SΔOED+SΔACE=60π×(23)2360-12×3×3+12×3×3=2π求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°，
∴∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠AMC=120°．
故答案为：B．

【分析】利用“SAS”证明△ABE≌△DBC，可得∠BAE=∠BDC，再利用角的运算和等量代换可得答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
∴∠AOD=90°
∵ON⊥OM
∴∠MON=90°
∴∠AOM=∠DON
又∵∠MAO=∠NDO=45°，AO=DO
∴△MAO≅△NDO(ASA)
∴S△MAO=S△NDO
∵四边形MOND的面积是1，
∴S△DAO=1
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2=4
∴AB=2
故答案为：C．

【分析】先证明△MAO≅△NDO(ASA)可得S△MAO=S△NDO，所以S△DAO=1即可得到正方形ABCD的面积是4，所以AB2=4，再求出AB的长即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A. ∵a2+b2=72+242=625，c2=252=625，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
B. ∵a2+b2=1.52+22=6.25，c2=32=9，∴a2+b2≠c2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
C. ∵a2+c2=12+12=2，b2=(2)2=2，∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D. ∵a2+b2=92+122=225，c2=152=225，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
故答案为：B

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝40°，
故答案为：A．

【分析】平行线的性质和三角形内角和定理的应用。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BD平分∠ABC，CD平分∠BCA，
∴∠DCB+∠DBC=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，
∴∠D＝180°﹣（∠DCB+∠DBC）＝180°﹣（90°-12∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A．
∵∠D＝3∠A，
∴90°+12∠A＝3∠A，
解得∠A＝36°．
故答案为：B．
【分析】先运用三角形的内角和定理求出∠BDC与∠A的数量关系，再结合已知进行计算。
10．【答案】C
【解析】【解答】①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．

∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵AE=BE∠DAE=∠CBEAD=BC，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①符合题意；
②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②符合题意；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．
在△AEF和△BED中，∵∠BDE=∠AFE∠BED=∠AEFAE=BE，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③符合题意；
④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．
∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．
∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．
∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④符合题意．
故答案为：C．

【分析】全等三角形的判定与性质的综合应用。
11．【答案】5
【解析】【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：22+12=5．
故答案为：5．

【分析】先结合图象求出：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，再利用勾股定理求出长方形的对角线长即可。
12．【答案】5或25或10
【解析】【解答】解：①当AO=AB时，AB=5；
②当AB=BO时，AB=5；
③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，12a）（a>0），
∵OA=5，
∴a2+(12a)2=5，
解得：a1=3，a2=4，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=(3-5)2+42=25或AB=(4-5)2+32=10；
综上所述，AB的长为5或25或10．
故答案为：5或25或10．

【分析】分三种情况：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），设A（a，12a），根据OA=5，可得a2+(12a)2=5，求出a的值，再利用两点之间的距离公式可得AB的长，从而得解。
13．【答案】(3，3)或(32，332)或(32，-32)
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴A(0，3)，B(3，0)，
∴OA=3，OB=3，
∵tan∠ABO=AOBO=33，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
当△OAB≌△C1BA时，
∴C1B=OA=3，C1A= OB=3，
∴C1 (3，3)；
当△OAB≌△C2AB时，
∴C2B= OB=3，C2A=OA=3，
∴∠C2AD=180°-60°-60°=60°，则∠DC2A=30°，
∴AD=12C2A=32，DC2=32，
∴C2 (32，332)；
当△OAB≌△C3BA时，
同理得C3 (32，-32)；

综上，点C的坐标为(3，3)或(32，332)或(32，-32)．
故答案为：(3，3)或(32，332)或(32，-32)．

【分析】当△OAB≌△C1BA时，当△OAB≌△C2AB时，当△OAB≌△C3BA时，分三种情况讨论即可。
14．【答案】18°
【解析】【解答】∵E，F，G分别是AD，BC，AC的中点
∴EG=12CD，GF=12AB
∵AB=CD
∴EG=GF
∵∠EGF=144°
∴∠GEF=12(180°-144°)=18°
故答案为：18°．

【分析】根据三角形中位线定理得出EG=12CD，GF=12AB，进而证出EG=GF，根据三角形内角和定理计算即可。
15．【答案】423
【解析】【解答】∵AD是Rt△ABC边BC上的中线
∴BC=2AD=6
Rt△ABC中，AB=BC2-AC2=62-22=42
∵12BC×AE=12AB×AC
∴AE=AB×ACBC=42×26=423
故答案为：423

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得BC=2AD=6，利用勾股定理求出AB的长，根据△ABC的面积=12BC×AE=12AB×AC，从而求出AE.
16．【答案】1或2或2-2
【解析】【解答】如图1方式裁剪，

第一步，取CB=CE=1，则DE=2-1，剪下△BCE；
第二步，剪下△ABE，其中BE=12+12=2=AB；
第三步，在AD上取一点F，使DF=DE=2-1，剪下△DFE；
剩下的△AEF中，EF=DF2+DE2=2-2=AF
刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长是2-2或2；
如图2方式裁剪，

第一步，取CB=CF=1，则DF=2-1，剪下△BCF；
第二步，过A作AE⊥BF于E，由于AB=2，∠ABF=90°-∠CBF=45°，所以AE=BE，剪下△ABE；
第三步，由于AD=AE=1，剪下△ADE；
剩下的三角形DFE中，EF=BF-BE=2-1=DF
刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长都是1．
故答案为：1或2或2-2．

【分析】先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解.
17．【答案】2或233或2
【解析】【解答】解：∵AB=AO=OB=1，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠OBA=∠OAB=∠AOB =60°，
①当BP=AB=1时，如图①，

∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，
∴OA⊥l，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAP=30°，
∵BP=AB，
∴∠OPA=∠BAP=30°，
∴∠PBA=120°，
∴∠PAB+∠ABO=180°，
∴点P、B、O在同一条直线上，
∴OP=OB+BP=2；
②当AP=PB时，如图，

∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，
∴OA⊥l，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAP=30°，
∵AP=PB．
∴∠PBA=∠PAB=30°．
∴∠APB=120°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
∴OB⊥BP，
∴BP是⊙O的切线，
∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，
∴OP平分∠BPA，
∴∠OPA=60°，
在Rt△OAP中sin∠OPA=OAOP，
∴OP=233；
③当AP=AB时，若点P在点A左侧，如图③，连接OB，

∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，
∴OA⊥l，
∴∠OAP=90°，
∵AP=AB=OA=1，
∴在Rt△OAP中根据勾股定理得，OP=AP2+OA2=2，
若点P在点A右侧，如图③，同理可得OP=2．
综上所述：OP的长：2或233或2．
故答案为：2或233或2．
【分析】先求出∠OBA=∠OAB=∠AOB =60°，再结合图形，分类讨论求解即可。
18．【答案】(3-1)cm
【解析】【解答】解：∵△PFC≌△BAC
∴延长CA至点P，使PC=BC，在CB上截取CF=CA
过点A作AD⊥BC于点D，如图：

∵在Rt△ABD中，∠ABC=45°，AB=2cm
∴AD=BD=1cm
∴在Rt△ACD中，∠ACB=30°
∴AC=2cm，CD=3cm
∵△PFC≌△BAC
∴CP=CB=(3+1)cm
∴AP=CP-CA=(3-1)cm
故答案是：(3-1)cm
【分析】先求出AC=2cm，CD=3cm，再利用全等三角形的性质求解即可。
19．【答案】22＋26
【解析】【解答】如图所示：

△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD=BD2+BC2=42
则BE=12CD=22
在Rt△ACE中，AE=AC2-CE2=26
答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为22+26
故答案为22+26

【分析】利用勾股定理得出CD、AE的值，推出BE的值，再根据两点之间线段最短即可得解。
20．【答案】23或63或6
【解析】【解答】解：①当FE⊥BC，设射线FE交BC于点G，如图1，

∵∠B=30°，△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠B=∠F=30°，∠BDE=∠FDE=12∠BDF
∵ EF⊥BC，
∴∠BDF=90°-30°=60°
∴∠BDE=∠FDE=12∠BDF=30°，
∴∠BDE =∠B=30°，
∵FE⊥BC，
∴ BG=DG=12BD=12×12BC=3，
∵在Rt△BEG中，∠B=30°，BG =3，
∴BE=BGcos30°=233×3=23；
②当EF⊥BC时，如图2，

∵∠B=30°，EF⊥BC，
∴∠BEG=60°，
∵△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠BED=∠FED=12∠BEG=30°，
∴∠BED=∠B=30°，
∴ BE=BD=12BC=6，
∵在Rt△DEG中，∠DEG=30°，DG=12DE=3，
∴GE=3DG=33
∵在Rt△BEG中，∠B=30°，
∴BE=2GE=6√3；
③当EF⊥AC时，如图3，

∵ EF⊥AC，∠C=90°，
∴ EF// BC，
∴∠AEF=∠B=30° ，
∵△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠BED=∠FED=12∠BEF=75°，
∴∠BDE=180°-∠BED-∠B=75°，
∴∠BDE=∠BED，
∴BE=BD=12BC=6，
综上所述BE的长为23或63或6，
故答案为：23或63或6．
【分析】分三种情况：①当FE⊥BC，如图1，②当EF⊥BC时，如图2，③当EF⊥AC时，如图3，根据折叠的性质及解直角三角形分别求解即可.
21．【答案】（1）a-c；a+c
（2）8
（3）解：①过点B作BE⊥BC，使BE=BC=4，连接AE，CE，

则∠EBC=90°，
∴CE=BC2+BE2=42
∵∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EBC，
∴∠ABD-∠DBE=∠EBC-∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵m=1，
∴AB=DB，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=CD=2，
∴当点D绕点C运动时，点A绕点E运动，AE的长为半径，
∵AC≤AE+CE，
∴当线段AC经过点E时，AC最大，最大值为，AC=AE+CE= 42+2；
②过点B作BF⊥BC，使BCBF=m，

则∠FBC=90°， BF=4m，
∴CF=BC+BF=4mm2+1，
∵∠ABD=∠FBC=90°，
∴∠ABD-∠DBF=∠FBC-∠DBF，
∴∠ABF=∠DBC，
∵BDAB=BCBF=m，
∴△ABF∽△DBC，
∴CDAF=BDAB=m，
∴AF=2m，
∵AC≤AF+CF，
∴AC的最大值为，AC=AF+CD= 4m2+1+2m．
【解析】【解答】（1）当点A在线段BC上时，AC取得最小值，最小值为：AC=BC-AB=a-c，
当点A在线段CB延长线上时，AC取得最大值，最大值为：AC=BC+AB=a+c；

故答案为：a-c；a+c
（2）连接DE，

∵矩形ABCD中，AB=10，AD=12，E为AB边的中点，
∴AE=BE=12AB=5，∠BAD=90°，
∴DE=AD2+AE2=13，
由折叠知，BE=B'E=5，
∴点B'在以点E为圆心，以B'E的长为半径的半圆弧上运动，
∴B'E+B'D≥DE，
当点B'运动到DE上时，B'E+B'D=DE，B'D最小，
最小值为，B'D=DE-B'E=8；
故答案为：8；

【分析】（1）当点A在线段BC上时，AC取得最小值，当点A在线段CB延长线上时，AC取得最大值，即可得解；
（2）矩形ABCD中，AB=10，AD=12，E为AB边的中点，得出AE=BE=12AB=5，∠BAD=90°，利用勾股定理得出DE的值，由折叠知，BE=B'E=5，得出点B'在以点E为圆心，以B'E的长为半径的半圆弧上运动，当点B'运动到DE上时，B'E+B'D=DE，B'D最小，即可得解；
（3）①利用勾股定理得出CE的值，再得出∠ABE=∠DBC，根据三角形全等得出△ABE≌△DBC(SAS)，得出AE=CD=2，当点D绕点C运动时，点A绕点E运动，AE的长为半径，当点D绕点C运动时，点A绕点E运动，AE的长为半径，当线段AC经过点E时，AC最大，即可得出最大值；②利用相似证出△ABF∽△DBC，得出CDAF=BDAB=m，从而得出AF=2m，根据AC≤AF+CF，即可得解。
22．【答案】（1）证明：∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA．
∵PC⊥OA，
∴∠A+∠AEC=90°．
∵∠PBE=∠PEB=∠AEC．
∴∠PBE+∠A=∠PBE+∠ABO=90°．
∴PB为⊙O的切线．
（2）解：过点P作PF⊥AB，垂足为F．

∵PB为⊙O的切线，
∴∠OBA+∠PBF=90°．
∵PB=PE，
∴∠BPF+∠PBF=90°．
∴∠OBA=∠BPF=∠A．
∴tan∠BPF=tan∠A=512．
∵BE=10，
∴BF=EF=5．
∴PF=12．
∴PB=PF2+BF2=122+52=13．
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，对顶角线段、直角三角形的两个锐角互余和线切线的判定定理解答即可；
（2）过点P作PF⊥AB，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一，正切的意义解答即可。
23．【答案】（1）2；2；7；7
（2）解：猜想：CD=|a|⋅AE⋅BF，
证明：设点A，点B，点C的横坐标为：m，n，t，直线AB的解析式为：y=kx+h，
∴kx+h=ax2+bx+c，
∴ax2+(b-k)x+c-h=0，
∵m，n是方程的两根，
∴m+n=k-ba，m⋅n=c-ha，
∴AE=|t-m|，BF=|n-t|，
∴|a|⋅AE⋅BF
=|a|⋅|t-m|⋅|n-t|
=|a|⋅|t(m+n)-mn-t2|
=|a|⋅|t(k-ba)+h-ca-t2|
=|at2+(b-k)t+c-h|，
∵点C(t，at2+bt+c)，
∴CD=|at2+bt+c-kt-h|=|at2+(b-k)t+c-h|；
∴CD=|a|⋅AE⋅BF；
（3）解：过点C作CD//y轴交AB于D，

设点C的横坐标为x，△ACB的面积为S，
则AE=x+4，BF=2-x，CD=|-1|⋅(x+4)(2-x)=-x2-2x+8，
∵S=12×(AE+BF)⋅CD
=12×6×CD
=3(-x2-2x+8)
=-3(x+1)2+27，
∴当x=-1时，S最大=27．
【解析】【解答】(1)解：∵a=-2，b=4，c=6，
∴抛物线解析式为：y=-2x2+4x+6，
①当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，
∴点C(1，8)，点D(1，6)，点A(0，6)，点B(2，6)，
∴CD=2，AE=1，BF=1，
∴|a|⋅AE⋅BF=2，
故答案为：2，2；
②当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，
∴点C(2，6)，点D(2，-1)，
∴CD=7，
∵x-3=-2x2+4x+6，
∴x1=-1.5，x2=3，
∴点A(-1.5，-4.5)，点B(3，0)，
∴AE=3.5，BF=1，
∴|a|⋅AE⋅BF=6，
故答案为：7，7；

【分析】（1）①由已知得抛物线解析式为y=-2x2+4x+6，分别求出A、C、D、B的坐标，从而求出CD，AE，BF的长，继而得解；②当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，可求出C、D坐标，即得CD的长；联立y=-2x2+4x+6与y=x-3为方程组并解之，即得A、B坐标，即得AE、BF的长，继而得解；
（2） 猜想CD=|a|⋅AE⋅BF，设点A，点B，点C的横坐标为：m，n，t，直线AB的解析式为：y=kx+h， 分别求出|a|⋅AE⋅BF=CD=|at2+bt+c-kt-h|=|at2+(b-k)t+c-h|，即可得解；
（3） 过点C作CD//y轴交AB于D，设点C的横坐标为x，△ACB的面积为S，则AE=x+4，BF=2-x，CD=|-1|⋅(x+4)(2-x)=-x2-2x+8，根据 S=12×(AE+BF)⋅CD 可列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.

24．【答案】（1）菱
（2）证明：∵∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠FAE，
在△BAD和△FAE中，
∠BAD=∠FAE∠ABD=∠AFE=90°AD=AE，
∴△BAD≌△FAE(AAS)，
∴AB=AF，
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴AC=2AF，
∴F为AC的中点；

（3）解：①如图3，作EF⊥AC于F，连接EC，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4，
∴BC=AC2-AB2=23，
∵D为BC的中点，
∴BD=12BC=3，
∴AD=AB2+BD2=7，
∵AF=FC，EF⊥AC，
∴EC=AE=AD=7，
∵EC=EA=ED，EG⊥DC，
∴CG=12CD=32，
∴EG=EC2-CG2=52；
②23．
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=30°．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠EAC=30°，
∴∠EAC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，
∴AE∥DC，AD=DC．
∵AE=AD，∴AE=CD，
∴四边形ADCE为平行四边形．
∵AD=AE，
∴平行四边形ADCE为菱形．

故答案为：菱形；
（3）②如图4，当点D与点B重合时，点E在E'处，点E'是AC中点；

当点D与点C重合时，点E在E''处，其中△ACE''是等边三角形，
由（1）得：AE=CE，∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，
∴E'E''垂直平分AC，
∴点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E''处，
在△E'AE''和△BAC中，
∠CAB=∠E''AE'∠ABC=∠AE'E''AC=AE''，
∴△E'AE''≌△BAC(AAS)，
∴E'E''=BC=23．
故答案为：23．

【分析】（1）先证明四边形ADCE为平行四边形，由等边三角形的性质可得AD=AE，根据菱形的判定定理即证；
（2）证明△BAD≌△FAE(AAS)，可得AB=AF， 在Rt△ABC中 ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=2AB，即得AC=2AF，继而得解；
（3）①作EF⊥AC于F，连接EC， 根据直角三角形的性质可得AC=2AB=4 ， BC = 23 ，由线段的中点可得BD=12BC=3 ，由勾股定理求出AD=7.根据线段垂直平分线的性质可得EC=AE=AD=7， 根据等腰三角形三线合一的性质可得CG=12CD=32， 利用勾股定理求出EG的长；
②可判断出点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E''处，则点E所经过路径长为E'E''的长，可证△E'AE''≌△BAC(AAS)，可得E'E''=BC=23．
25．【答案】（1）DE⊥BC
（2）解：AM⊥CD，AM=12CD，
证明：延长BA至点N，使AN=AB，连接NE，

∵将ΔABC绕点A逆时针旋转90°得到ΔADE，
∴∠DAB=∠EAC=90°，AE=AC，AD=AB，
∴∠DAC=90°-∠DAE=∠NAE，
∴ΔACD≅ΔAEN(SAS)，
∴CD=EN，
∵∠CAE=∠DAN=90°，
∴ΔAEN可以由ΔACD绕点A逆时针旋转90°得到，
由（1）可知EN⊥CD，
∵AN=AB，M为BE的中点，
∴AM//EN，AM=12EN
∴AM⊥CD，AM=12CD，
（3）解：①如图，连接DE，DG，

∵四边形ABCD，AEFG为正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG，
∴ΔBAE≅ΔDAG(SAS)，
∴ΔDAG可以由ΔBAE绕点A逆时针旋转90°得到，
∵AB=4，BE=3，
∴CE=1，CD=4，
由（1）中②可知AM=12DE，
∴AM=12DE=12×CE2+CD2=12×11+42=172；
②2a2-2ab+b22．
【解析】【解答】(1)∵将ΔABC绕点A逆时针旋转90°得到ΔADE，
∴DE⊥BC；
故答案为：DE⊥BC；
(3)②同①可知EC=AB-BE=a-b，CD=a，
∴DE=CE2+CD2=(a-b)2+a2=2a2-2ab+b2，
∴AM=12DE=122a2-2ab+b2．
故答案为2a2-2ab+b22．
【分析】（1）由旋转的性质即得结论；
（2）延长BA至点N，使AN=AB，连接NE，证明ΔACD≅ΔAEN(SAS)，可得CD=EN， 从而得出△AEN可以由ΔACD绕点A逆时针旋转90°得到， 根据三角形中位线定理可得 AM//EN，AM=12EN ，由（1）知EN⊥CD， 即得 AM⊥CD；
（3）①连接DE，DG，证明ΔBAE≅ΔDAG(SAS)，可得ΔDAG可以由ΔBAE绕点A逆时针旋转90°得到.求出CE=1，CD=4，利用勾股定理求出DE，由AM=12DE即可求解；
② 易得EC=AB-BE=a-b，CD=a，利用勾股定理求出DE，由AM=12DE即可求解.