专题22 图形的相似 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

这是一份专题22 图形的相似 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题22 图形的相似 2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）
一、单选题
1．（2021九上·密云期末）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（　　）

A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
2．（2022八下·大兴期中）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，下列结论错误的是（　　）

A．DE∥BC
B．DE＝12BC
C．△ADE的周长是△ABC周长的一半
D．S△ADE＝12S△ABC
3．（2022九上·昌平期中）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数5-12（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝5﹣1，则长AB为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（2022九上·昌平期中）下列各组线段中，成比例的是（　　）
A．1，2，2，4 B．1，2，3，4 C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
5．（2022九下·北京市开学考）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（　　）

A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
6．（2021九上·密云期末）如果4m=5n（n≠0），那么下列比例式成立的是（　　）
A．m4=n5 B．m5=n4 C．mn=45 D．m4=5n
7．（2021九上·石景山期末）若2y=5x(xy≠0)，则下列比例式正确的是（　　）
A．xy=52 B．x5=2y C．xy=25 D．yx=25
8．（2021九上·密云期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（　　）

A．12 B．14 C．2 D．4
9．（2021九上·平谷期末）如果3x=5y，则下列比例式成立的是（　　）
A．xy=35 B．xy=53 C．x3=y5 D．3x=5y
10．（2021九上·顺义期末）如果3x=4y（xy≠0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A．xy=34 B．yx=43 C．x4=y3 D．x3=y4
二、填空题
11．（2021九上·门头沟期末）如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个相似三角形的周长比是　 　．
12．（2022九上·昌平期中）如图，在△ABC中，DE分别与AB、AC相交于点D、E，且DE∥BC，如果ADDB=23，那么DEBC=　 　．

13．（2021九上·门头沟期末）已知xy＝23，那么x+yx＝　 　．
14．（2021九上·石景山期末）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是　 　．

15．（2021九上·通州期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝　 　m．

16．（2021九上·顺义期末）如图，在ΔABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则ΔADE与ΔABC的周长之比等于　 　.

17．（2021九上·平谷期末）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为　 　．（单位：m）

18．（2021九上·石景山期末）有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为　 　m．
19．（2021九上·通州期末）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：①DE∥BC；②△ADE∽△ABC；③S△EMDS△EMC=14；④EMEB=13．其中结论正确的是：　 　（只填序号）．

20．（2022·北京市）如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC=14，则AE的长为　 　．

三、综合题
21．（2022·朝阳模拟）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．

（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；
（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝12BE；
（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．
22．（2022九上·昌平期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．

（1）应用：
如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B，AB=10，BE=6，求EFDE的值．
23．（2022·门头沟模拟）如图， AB 是 ⊙O 的直径，点D、E在 ⊙O 上， ∠A=2∠BDE ，过点E作 ⊙O 的切线 EC ，交 AB 的延长线于C．

（1）求证： ∠C=∠ABD ；
（2）如果 ⊙O 的半径为5. BF=2 ．求 EF 的长．
24．（2021九上·昌平期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD

（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长
25．（2022·平谷模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．

（1）求证：∠DCB＝∠DOF；
（2）若tan∠A＝ 12 ，BC＝4，求OF、DF的长．
26．（2021九上·顺义期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BCD＝∠A，CD与AB的延长线交于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求AC的长．
27．（2022·朝阳模拟）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．

（1）观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；
（3）拓展延伸：若BC＝5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．
28．（2022·海淀模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D为AC的中点，⊙O的切线DE交OC延长线于点E．

（1）求证：DE；
（2）连接BD交AC于点P，若AC=8，cosA=45，求DE和BP的长．
29．（2022·顺义模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．

（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC=4，AD=2，cos∠ACB=45，求BC的长．
30．（2022九上·昌平期中）如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．

（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有　 　个，分别是　 　；
（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CD//AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD//AB，
∴△ECD∽△EBA
∴CDAB＝CEBE，即1.6AB＝210，
解得AB＝8（米），即路灯的高AB为8米．
故答案为：C．

【分析】先证明△ECD∽△EBA，再利用相似三角形的性质可得CDAB＝CEBE，再将数据代入计算即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE=12BC，选项A、B不符合题意；
∴△ABC~△ADE，
∴ADAB=AEAC=DEBC=12，
∴C△ADE=AD+DE+AE=12AB+12BC+12AC=12C△ABC，选项C不符合题意；
∴由中位线的性质可得：设△ADE中DE边上的高为h，则△ABC边上的高为2h，
S△ADE=12DE·h=12·12BC·12·2h=14·12BC·2h=14S△ABC，选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】易得DE为△ABC的中位线，可得DE∥BC且DE=12BC，据此判断A、B；利用平行线可证△ABC~△ADE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可判断C、D.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵黄金矩形的宽与长的比等于黄金数5-12，
∴ADAB=5-12，
∴AB=(5-1)÷5-12=2．
故答案为：C．

【分析】根据黄金矩形的定义可得ADAB=5-12，再求出AB的长即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、1×4=2×2，符合题意；
B、1×4≠2×3，不符合题意；
C、3×13≠5×9，不符合题意；
D、1×3≠2×2，不符合题意．
故答案为：A．

【分析】根据成比例线段的判断方法逐项判断即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴CBAC=CECD，即 CBAB+BC=CEDE+EC，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴1AB+1=1.21.8+1.2
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．

【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 CBAC=CECD，即 CBAB+BC=CEDE+EC，再将数据代入计算可得 1AB+1=1.21.8+1.2，最后求出AB的长即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A. 由m4=n5，可得5m=4n，不符合题意；
B. 由m5=n4，可得4m=5n，符合题意；
C. 由mn=45，可得5m=4n，不符合题意；
D. 由m4=5n，可得nm=4×5，不符合题意；
故答案为：B．

【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、xy=52，得2x=5y，A不符合题意；
B、 x5=2y，得xy=10，B不符合题意；
C、xy=25，得5x=2y，C符合题意；
D、yx=25，得5y=2x，D不符合题意；
故答案为：C．

【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，
则有AB=1，BC=12+22=5，AC=12+12=2，DE=2，EF=22+22=22，DF=22+42=25，
∴ABDE=BCDF=ACEF=12，
∴△ABC∽△EDF，
∴S△ABC：S△DEF=(12)2=14，
故答案为：B．

【分析】先证明△ABC∽△EDF，再利用相似三角形的性质可得S△ABC：S△DEF=(12)2=14。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、由xy=35得5x=3y，故本选项不符合题意；
B、由xy=53得3x=5y，故本选项符合题意；
C、由x3=y5得5x=3y，故本选项不符合题意；
D、由3x=5y得5x=3y，故本选项不符合题意；
故答案为：B．

【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故C符合题意；
D、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故D不符合题意；
故答案为：C．

【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
11．【答案】1：3
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3
∴这两个相似三角形的周长比是1：3
故答案为：1：3

【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案。
12．【答案】25
【解析】∵ADDB=23，∴ADAB=ADAD+DB=25，∵DE∥BC，∴DEBC=ADAB＝25，故答案为 25.
【分析】先求出ADAB=ADAD+DB=25，再利用平行线分线段成比例的性质可得DEBC=ADAB＝25，从而得解。
13．【答案】52
【解析】【解答】解：∵xy＝23，
∴x＝23y，
∴x+yx＝23y+y23y＝52．
故答案为：52．

【分析】根据xy＝23可得x＝23y，再代入x+yx计算即可。
14．【答案】ΔACD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：本题答案不唯一；
与ΔAOE相似的三角形有：ΔBOD，ΔACD，ΔBCE，
选择求证：ΔACD∽ΔAOE．
证明：∵ΔABC的高AD，BE交于点O，
∴∠ADC=∠AEO=90°．
∵∠CAD=∠OAE，
∴ΔACD∽ΔAOE，
故答案是：ΔACD．

【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
15．【答案】12
【解析】【解答】解：∵∠ECD=∠ACB
∴△ABC≌△EDC
∴ABBC=EDDC=1.62
∴AB=BC×0.8=15×0.8=12（m）
故答案为：12

【分析】根据全等三角形证出△ABC≌△EDC，可得出ABBC=EDDC=1.62，从而得出AB的长。
16．【答案】1：2
【解析】【解答】∵点D，点E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE：BC=1：2，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的周长比为1：2.
故答案为1：2.

【分析】根据中位线的性质可得DE：BC=1：2，再利用相似三角形的性质可得△ADE与△ABC的周长比为1：2。
17．【答案】9
【解析】【解答】解：如图，

BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，
由题意得∠ACB=∠DCE，
∵∠ABC=∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴ABDE=BCCE，即1.52=BC12，
∴DE=9．
即旗杆的高度为9m．
故答案为：9

【分析】先证明△ACB∽△DCE，然后利用相似三角形的性质列出比例式ABDE=BCCE，然后将数据代入计算求出DE的长即可。
18．【答案】30
【解析】【解答】解：设这块草坪的周长为xm，
由题意可得：实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，
∴x15=105，
解得：x=30，
所以这块草坪的周长为30m.
故答案为：30

【分析】设这块草坪的周长为xm，根据题意列出比例式x15=105，再求解即可。
19．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵BE是边AC上的中线，CD是AB边上的中线，
∴点E为AC边的中点，点D为AB边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，故结论①符合题意；
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∴△ADE∽△ABC，故结论②符合题意；
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC
∴ΔEDM∼ΔBCM
∴EMBM=DMCM=DEBC=12
∴S△EMDS△EMC=DMCM=12，故③不符合题意；
∵DE//BC
∴ΔEDM∼ΔBCM
∴EMBM=DMCM=DEBC=12
∴EMEB=13，故④符合题意；
∴正确的结论是①②④
故答案为：①②④

【分析】根据相似三角形的判定定理判断各选项即可得出答案。
20．【答案】1
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中：AD∥BC，∠ABC=90°，
∴AEBC=AFFC=14，BC=AC2-AB2=52-32=4，
∴AE4=14，
∴AE=1，
故答案为：1．
【分析】先求出AEBC=AFFC=14，BC=4，再求解即可。
21．【答案】（1）解：如图1，过点B作BT⊥DA交DA延长线于T，

∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠ABC=45°，
∴DT∥BC，
∴∠BAT=∠ABC=45°，∠ADB=∠DBC=30°，
∵∠T=90°，AB=6，
∴BT=AT=32，
∴BD=2BT=62；
（2）证明：如图2，延长ED到R，使DR=DE，连接AR、BR，延长RB交CF的延长线于J，

∵∠ADE=90°，
∴AD⊥ER，
∵DR=DE，
∴AD垂直平分RE，
∴AR=AE，
∵AD=DR=DE，
∴∠RAE=∠BAC=90°，
∴∠RAB=∠EAC，
∵AR=AE，AB=AC，
∴△RAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABR=∠ACE，
∵∠ABR+∠ABJ=180°，
∴∠ACJ+∠ABJ=180°，
∴∠J+∠BAC=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠J=90°，
∵DF⊥CF，
∴∠DFC=∠J=90°，
∴DF∥RJ，
∴DERD=EMMB，
∵DE=DR，
∴EM=BM，
∴BM= 12BE；
（3）解：SΔANK=92+27510．
【解析】【解答】解：（3）取AB的中点Q，连接QN、QG，取QG的中点P，连接PA、PN、CE，

∵AB=AC，∠BAC=90°，点G为BC的中点，
∴∠AGC=∠AGB=90°，∠AEG=∠ACG=45°，AG=BG=CG，
∴A、G、E、C四点共圆，
∴∠AEC=∠AGC=90°，
∵BN=NE，BG=GC，BQ=AQ，
∴NG∥CE，QN∥AE，
∴∠QNG=∠AEC=90°，
∵GA=GB，AQ=QB，∠AGB=90°，
∴GQ=QA=QB=3，∠AQG=90°，
∴PQ=PG= 32，
∴NP= 12QG=32，AP=AQ2+QP2=352，
∵AN≤PA+PN，
∴当A、P、N三点共线时，AN最大，最大值为32+352，过点G作GM⊥AC于M，
∵PN=PG，
∴∠PNG=∠PGN，
∵BG=GC，BQ=AQ，
∴GQ∥AC，
∴∠PGN=∠AKN，
∴∠PNC=∠AKN，即∠ANK=∠AKN，
∴AK=AN=32+352，
∵∠AGC=90°，AG=GC，GM⊥AC，
∴GM=12AC=3，
∴SΔAGK=12×(32+352)×3=94+954，
∵PQ=PG，
∴S△APG=S△AQP=12·AQ·PQ=12×3×32=94，
∵SΔANGSΔAPG=ANAP=32+352352=55+1，
∴SΔANG=(55+1)×94=9520+94，
∴SΔANK=SΔANG+SΔAGK=92+27510．

【分析】（1） 过点B作BT⊥DA交DA延长线于T，证明 ∠BAT=∠ABC=45°， ∠ADB=∠DBC=30°， 求出BT，可得BD=2BT；
（2） 延长ED到R，使DR=DE，连接AR、BR，延长RB交CF的延长线于J， 证明△RAB≌△EAC（SAS），再证明DF∥RJ， 根据平行线分线段成比例定理可得DERD=EMMB， 可证BM= 12BE；
（3）取AB的中点Q，连接QN、QG，取QG的中点P，连接PA、PN、CE，先证明A、G、E、C四点共圆，再证明当A、P、N三点共线时，AN最大，最大值为32+352，过点G作GM⊥AC于M，再求出SΔAGK和SΔANG，即可求出SΔANK。
22．【答案】（1）证明：∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
∵CB=CA，
在△BCE和△CAD中，
∵∠CDA=∠BEC=90°∠ACD=∠EBCCB=CA，
∴△BEC≌△CDA(AAS)；
（2）解：如图，在BC的延长线上取点M，使DM=DC，连接DM，

∴∠DCM=∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM=AB=10，AB∥CD，
∴∠B=∠DCM=∠M，
∵∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE，∠DEF=∠B，
∴∠DEC=∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴EFDE=BEDM=610=35．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△BEC≌△CDA即可；
（2）在BC的延长线上取点M，使DM=DC，连接DM，先证明△BFE∽△MED，再利用全等三角形的性质可得EFDE=BEDM=610=35。
23．【答案】（1）证明：如图1，连接OE，

∵ AB是⊙的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠A＋∠ABD＝90°
∵CE是⊙的切线
∴OE⊥CE
∴∠OEC＝90°
∴∠C＋∠COE＝90°
∵∠A＝2∠BDE，∠COE＝2∠BDE
∴∠C＝∠ABD
（2）解：如图2，连接BE，

解：设∠BDE＝α，∴∠ADF＝90°﹣α，∠A＝2α，∠DBA＝90°﹣2α，
在△ADF中，∠DFA＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ADF＝∠DFA，
∴AD＝AF＝AO+OB－BF＝8，
∴AD＝AF＝8
∵∠ADF＝∠AFD，∠ADF＝∠FBE，∠AFD＝∠BFE，
∴∠BFE＝∠FBE，
∴BE＝EF，
由（1）知，∠A＝2∠BDE＝∠COE，
∵∠BED＝∠A，
∴∠BEF＝∠COE，
∵∠FBE＝∠OBE，
∴△BEF∽△BOE，
∴EFOE=BFBE
∴EF5=2EF
∴EF＝ 10 ，
故EF的长为 10 ．
【解析】【分析】（1）先证明∠A＋∠ABD＝90° ，∠C＋∠COE＝90°，再结合∠A＝2∠BDE，∠COE＝2∠BDE，即可得到∠C＝∠ABD；
（2）连接BE，先证明△BEF∽△BOE，可得EFOE=BFBE，再将数据代入可得EF5=2EF，最后求出EF的长即可。
24．【答案】（1）证明：连接OC

∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB＝90°
∴∠OBC＋∠BCD＝90°
∴∠OCB＋∠BCD＝90°
∵∠BCP＝∠BCD，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°
∴OC⊥CP
∴CP是⊙O的切线
（2）解：∵AB⊥CD于点E，
∴E为CD中点
∵O为GD中点，
∴OE为△DCG的中位线
∴GC＝2OE＝6，OE∥GC
∵AO∥GC
∴△GCF∽△OAF
∴GCOA=GFOF
即65=GFOF
∵GF＋OF＝5，
∴OF＝2511
【解析】【分析】（1）连接OC，求出∠OCP=90°，根据切线的判定定理即可证明；
（2）由垂径定理可得E为CD中点 ，从而求出OE为△DCG的中位线，可得GC＝2OE＝6，OE∥GC，根据平行线△GCF∽△OAF，可得GCOA=GFOF ，结合GF+OF=5，即可求解.
25．【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，

∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，
∴∠DCB=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，
∵OF∥AC ，
∴∠DOF=∠OAC，
∴∠DOF=∠DCB；
（2）解：设OF与BC交于点G，

∵OF∥AC ，
∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°
∴BGBC=OBAB=OGAC=12 ，∠CGF=90°
∴BG=12BC=2 ，
∴CG=2，
∵∠BCD=∠OAC， tan∠A=12 ，
∴tan∠FCG=tan∠A=FGCG=12=BCAC ，
∴GF=12CG=1，AC=2BC=8 ，
∴OG=12AC=4 ， CF=GF2+CG2=5 ，
∴OF=OG+GF=5 ，
同理可证△OFD∽△ACD，
∴DFDC=OFAC ，
∴DFDF+5=58 ，
∴DF=553 ．
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA=∠DCB，再结合OF//AC可得∠DOF=∠OAC，即可得到∠DOF=∠DCB；
（2）先利用解直角三角形求出OG和CF的长，再利用线段的和差求出OF的长，然后根据△OFD∽△ACD，可得DFDC=OFAC，再将数据代入可得DFDF+5=58，最后求出DF的长即可。
26．【答案】（1）证明：连接OC，

∵ OA=OC ，
∴ ∠OCA=∠A .
∵∠BCD=∠A ，
∴ ∠OCA=∠BCD .
∵ AB是⊙O的直径 ，
∴ ∠ACB=90º ，即∠OCA+∠OCB=90º .
∴ ∠BCD+∠OCB=90º .
∴ OC⊥CD .
又∵ CD经过半径OC的外端 ，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵ DE⊥AC ，
∴ ∠E=90º
∴ ∠ACB=∠E ，
∴ BC∥DE，
∴ ∠BCD=∠CDE，
∵∠BCD+∠BOC =90º，∠ACO+∠BOC =90º，
∴∠BCD=∠ACO，
∵∠A=∠ACO，
∴ ∠A=∠CDE，
∴△ADE∽△DCE，
∴AEDE=DECE 即AE4=42，
∴ AE=8，
∴ AC=AE－CE=8－2=6．
【解析】【分析】（1）要证明CD是⊙O的切线，连接OC，只要证明∠OCA+∠OCB=90º 即可得出结论；
（2）根据已知得出△ADE∽△DCE，从而得出AE4=42，得出AE=8，即可得出结论。
27．【答案】（1）AD＝2CE；AD⊥CE
（2）证明：AD＝2DE，AD⊥CE，
理由：∵把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，

∴∠CBE＝∠ABD，
∵AB＝2BC，BD＝2BE．
∴BDBE＝ADCE＝2，
∴△BCE∽△BAD，
∴ADCE＝BDBE＝2，∠BEC＝∠BDA，
∴AD＝2CE，
延长CE交AD于H，
∴∠CEB+∠BEH＝180°，
∴∠BEH+∠BDA＝180°，
∴∠DHE+∠DBE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴CE⊥AD；
（3）解：如图③，
过D作DG⊥AB于G，

由（2）知，△BCE∽△BAD，
∴BDBE=ABBC=2，∠CBE＝∠ABD，
∵BC＝5，BE＝1，
∴AB＝25，BD＝2，
∴AC＝BC2+AB2＝5，
∵∠CBE＝∠ACB＝∠ABD，∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△DGB，
∴DGAB＝BGBC＝BDAC，
∴DG25＝BG5＝25，
∴BG＝255，DG＝455，
∴AG＝25-255=855，
∴AD＝AG2+DG2＝(855)2+(455)2＝4．
【解析】【解答】(1)∵AB＝2BC，BD＝2BE，
∴ABBC＝BDBE＝2，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴BDAD=BECE
∴BDBE＝ADCE＝2，即AD=2CE，
∵∠B＝90°，
∴AD⊥CE，
故答案为：AD＝2CE，AD⊥CE；

【分析】证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理可证AD=2CE，根据∠B＝90°可得AD⊥CE；
（2）先证明△BCE∽△BAD，根据相似三角形的性质可得ADCE＝BDBE＝2，∠BEC＝∠BDA，则 AD＝2CE；延长CE交AD于H，可证 ∠DHE＝90°， 则CE⊥AD；
（3）过D作DG⊥AB于G，由（2）知，△BCE∽△BAD，则 BDBE=ABBC=2，∠CBE＝∠ABD，根据勾股定理求出AC ，再证明 △ABC∽△DGB， 根据相似三角形的性质求出 BG、DG，可得AG，根据勾股定理求出AD。
28．【答案】（1）证明：连接OD，

∵点D是AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC
（2）解：设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，

∵DE∥AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴△ABC∽△EOD，
∴ODBC=DEAC，
∵cos∠BAC=ACAB=45，AC=8，
∴AB=10，
∴BC=AB2-AC2=6，OD=5，
∴56=DE8
∴DE=203，
∵OF=12BC=3，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵AF=12AC=4，
∴AD=AF2+DF2=25，
∴cos∠CAD=AFAD=425=25，
∴cos∠CBD=BCBP=6BP=25，
∴BP=35
【解析】【分析】（1）连接OD，因为OD和AC、DE均垂直，根据平行的判定可证明
（2）连接AD，构造直角三角形。证明三角形相似 △ABC∽△EOD ，根据cosA和勾股定理可知AF=CF=4，OA=5，OF=3，BC=6，利用相似线段比例关系式求出DE，在直角三角形△ADF中，用勾股定理求AD和cos∠CAD，因为∠CAD=∠CBD，利用余弦值就可以求出BP
29．【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，DE⊥BD，
∴∠BOC=∠BDE=90°，
∴AC∥DE，
在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：在RtΔBOC中，cos∠ACB=45，设OC=4x，BC=5x，
在▱ACDE中，AC∥DE，AC=DE=4，AD=CE=2，
∴ΔBOC∼ΔBDE，
∴BCBE=OCDE，即5x5x+2=4x4，解得x=0（舍弃）或x=35，
∴BC=5x=5×35=3．
【解析】【分析】（1）先证明AC//DE，再结合AD//BC，可得四边形ACED是平行四边形；
（2）先证明ΔBOC∼ΔBDE可得 BCBE=OCDE，即5x5x+2=4x4，再求出x的值即可。
30．【答案】（1）3；Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF
（2）解：选Rt△BCP∽Rt△EPB，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP+∠PBC=∠ABC=∠C=90°，
∴∠PBC+∠BPC=90°，
∴∠ABP=∠BPC，
∵∠BPE=∠C=90°，
∴Rt△BCP∽Rt△EPB；
选Rt△BCP∽Rt△PDF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DPF+∠PFD=90°，
∵∠BPE=90°，
∴∠DPF+∠BPC=90°，
∴∠PFD=∠BPC，
∴Rt△BCP∽Rt△PDF；
选Rt△BCP∽Rt△EAF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP+∠PBC=∠ABC=∠EAF=∠C=90°，
∵∠BPE=90°，
∴∠E+∠ABP=90°，
∴∠PBC=∠E，
∴Rt△BCP∽Rt△EAF．
【解析】【解答】（1）解：图中与Rt△BCP相似的三角形共有3个，
分别是Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；
故答案为：3，Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF

【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可