数学九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试课后练习题

第二十一章 一元二次方程 综合复习题

一、单选题

1．（2022·广西梧州·八年级期末）解方程(x－3)2＝4，最合适的方法是（　　）

A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法

2．（2022·广西贺州·八年级期末）若方程是一个关于x的一元二次方程，则a满足的条件是（　 　）．

A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a≠0

3．（2022·广西南宁·八年级期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程是（　　）

A．  B．

C．  D．

4．（2022·广西贺州·八年级期末）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的40元降到28元，若设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据意题可列方程为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·广西柳州·九年级期末）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·广西柳州·九年级期末）已知，是一元二次方程x﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确是（　　）

A．﹣2＝0 B．＝ C．﹣＝﹣2 D．＝2

7．（2022·广西梧州·八年级期末）在下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·广西贺州·八年级期末）配方法解方程，配方后可得（　 　）．

A．  B．  C．  D．

9．（2022·广西钦州·九年级期末）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

10．（2022·广西百色·八年级期末）将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2022·广西贺州·八年级期末）当___________时，方程是一元二次方程．

12．（2022·广西·南宁三中八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m=_____．

13．（2022·广西崇左·八年级期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为_________．

14．（2022·广西崇左·八年级期末）设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为________．

15．（2022·广西梧州·八年级期末）关于x的一元二次方程的一个根是1，则这个方程的另一个根是______．

三、解答题

16．（2022·广西来宾·九年级期末）解方程：．

17．（2022·广西梧州·八年级期末）竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式h=v0t-gt2，其中重力加速度g以10米/秒2计算．爆竹点燃后以初速度v0=20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？

18．（2022·广西梧州·八年级期末）新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗，今年七月，国家发布通知，12~17岁未成年人也可接种新冠疫苗．随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物制药厂现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

19．（2022·广西百色·八年级期末）已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．

(1)请判断的形状；

(2)当，时，求一元二次方程的解．

20．（2022·广西百色·八年级期末）解方程：．

21．（2022·广西崇左·八年级期末）计算或解方程：

(1)；

(2)．

22．（2022·广西贵港·九年级期末）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月未累计进馆910人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

(1)求进馆人次的月平均增长率；

(2)因条件有限，学校图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．

23．（2022·广西百色·八年级期末）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售出3件．

(1)若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？

(2)每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？

24．（2022·广西贺州·八年级期末）随着夏天的临近，某商场购进了一批凉鞋，每双凉鞋的进货价为18元，市场调研表明：当每双凉鞋销售价格为30元时，平均每天可以卖出30双；而当销售价格每双每降低1元时，平均每天可以多卖10双．商场要想使这种凉鞋的销售利润平均每天达到540元且尽量减少库存，则每双凉鞋的定价应为多少元？

25．（2022·广西来宾·九年级期末）关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．

26．（2022·广西防城港·九年级期末）已知关于的一元二次方程．

(1)求上述方程根的判别式；

(2)若方程有实数根，求出取得最大整数值时该方程的两个根．

27．（2022·广西桂林·九年级期末）解方程：．

28．（2022·广西贺州·八年级期末）用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)                         (2)

29．（2022·广西梧州·八年级期末）解方程：

(1)；                         (2)．

参考答案：

1．A

【解析】观察方程特点确定出适当的解法即可．

解：方程(x－3)2＝4，最合适的方法是直接开平方法；

故答案为：A

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

2．D

【解析】根据一元二次方程的定义求解即可．

解：根据题意得：

a≠0，

故选：D．

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

3．B

【解析】设门高AB为x尺，则门宽BC为（x-6.8）尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解．

解：设门高AB为x尺，则门宽BC为（x-6.8）尺，根据勾股定理得：

．

故选：B

本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键．

4．B

【解析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来40元降到28元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．

解：设平均每次降价的百分率为x，意题可列方程为：，

故选：B．

本考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．

5．B

【解析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程．

解：由题意得：；

故选B．

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．

6．A

【解析】先计算一元二次方程的两个根，再逐项判断即可．

解：x﹣2x＝0，

x(x−2)=0，

∴，

∴，＝0，﹣＝﹣2或2，故B、C、D错误．

故选A．

本题考查一元二次方程的两个实数根，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

7．C

【解析】计算出各选项中方程的判别式的值，从而得出答案．

解：A．此方程的Δ＝，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

B．此方程的Δ＝，方程没有实数根，不符合题意；

C．此方程的Δ＝，方程有两个相等的实数根，符合题意；

D．原方程整理得：，此方程的Δ＝，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

故选：C．

本题主要考查根的判别式与一元二次方程根的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：

①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；

②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；

③当Δ＜0时，方程无实数根．

8．B

【解析】根据解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．

解：，

，

，

，

故选：B．

本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法，是解题的关键．

9．A

【解析】先把x=1代入方程x2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b的值即可．

将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，

∴a﹣2b＝﹣1，

∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2，

故选：A．

本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．

10．C

【解析】根据一元二次方程定义解答．

解：一元二次方程化为一般形式为，

二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，-5，-1，

故选：C．

此题考查了一元二次方程的定义，熟记方程的一般形式的特点及各字母的名称是解题的关键．

11．

【解析】根据一元二次方程得出二次项系数不等于0列关于k的不等式即可求解．

解：∵方程是一元二次方程

∴k-1≠0，即k≠1．

故答案为k≠1．

本题主要考查了对一元二次方程的定义的应用，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）是解答本题的关键．

12．

分析：利用判别式的意义得到△=32-4m=0，然后解关于m的方程即可，

详解：根据题意得△=32-4m=0，

解得m=．

故答案为．

点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

13．1

【解析】根据一元二次方程根的定义，将x=1代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．

将x=1代入该方程，得：

解得：．

故答案为：1．

本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．

14．

【解析】把x=a代入方程得出a2+a-2012=0，求出a2+a=2012，根据根与系数的关系得出a+b=-1，代入求出即可．

把x=a代入方程x2+x-2012=0得：a2+a-2012=0，

∴a2+a=2012，

∵a，b是方程x2+x-2012=0的两个根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b

=a2+a+a+b

=2012+（-1）

=2011，

故答案为：2011

本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．

15．

【解析】根据方程的一个根1代入方程求出k，得到一元二次方程，解方程即可求解．

解：∴关于x的一元二次方程的一个根是1，

∴，

∴，

∴，

解得，，

∴方程的另一个根是-5．

故答案为：-5．

本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．

16．

【解析】利用配方法解答，即可求解．

解： 方程可化为，

解得： ，

∴．

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．

17．经过1秒或3秒时，爆竹离地15米．

【解析】根据题意，可以将h=15代入题目中的关系式h=v0t-gt2，从而可以求得t的值．

解：依题意得：当g=10，v0=20，h=15时

20t-

整理，得t2-4t+3=0

解得t1=1，t2=3

答：经过1秒或3秒时，爆竹离地15米．

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会列一元二次方程．

18．应该增加3条生产线

【解析】设增加x条生产线，能保证每天生产疫苗144万支．根据题意列出一元二次方程并求解即可．

解：设增加x条生产线，能保证每天生产疫苗144万支．

根据题意得．

解得，．

∵既增加产能同时又要节省投入，而且生产线越多，投入越大．

∴应该增加3条生产线．

答：应该增加3条生产线．

本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．

19．(1)△ABC为直角三角形；

(2)

【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；

（2）由（1）可得，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．

（1）∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴△ABC为直角三角形；

（2）∵，，，∴，∴，∴原方程为，解得：．

本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．

20．，

【解析】方程利用因式分解法求出解即可．

解：把方程左边分解因式得：（x+2）（x+3）＝0，

所以x+2＝0或x+3＝0，

解得：，．

此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

21．(1)

(2)，

【解析】（1）按照运算的优先级，根据二次根式的运算法则，先计算乘除法，再计算加减法即可解题

（2）利用公式法进行解题

（1）

解：（1）原式

（2）

（2）

∵，，

∴，

本题考查了二次根式的混合远算和用公式法求解一元二次方程，熟练掌握二次根式的运算法则和运算优先级是求解第一问的关键,掌握公式法，找到各项系数是成功求解一元二次方程的关键.

22．(1)20%

(2)能，见解析

【解析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；

（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．

(1)

设进馆人次的月平均增长率为x．

根据题意，得，

化简得

解得，（不符题意，舍去），

答：进馆人次的月平均增长率为20%．

(2)

因为第四个月的进馆人次为（人次），

而，

所以校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．

本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．

23．(1)商家平均每天能盈利1575元

(2)每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元

【解析】（1）利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每天的利润每天的销售量，即可求出结论；

（2）设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-x)元，每天的销售为(30+3x)件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每件的利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

（1）

(100-60-5)(30+35)=3545=1575(元)；

答：商家平均每天能盈利1575元．

（2）

设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-x)元，每天的销售为(30+3x)件，

依据题意得(100-60-x)(30+3x)=1800，

整理得，

解得，

为能让利于顾客，取x=20．

答：每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元．

本题主要考查了一元一次方程的应用（销售与盈亏），解决此题的关键是读懂题意并列出正确的式子．

24．24元

【解析】设每双凉鞋应降价x元，根据题意可以得到关于x的一元二次方程，解方程即可得解．

解：设每双凉鞋应降价x元，根据题意，得:

（30-18-x）（30+10x）=540,

 解这个方程，得 x1=3，x2=6 ,

 ∵ 要尽量减少库存，

∴ 只取x=6 ,

∴ 30-x=30-6=24 ，

答：每双凉鞋的定价应为24元.

本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程并利用适当的方法解出一元二次方程是解题关键．

25．（1）；（2）的值为．

【解析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；

（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．

解：（1）根据题意得，

解得；

（2）的最大整数为2，

方程变形为，解得，

∵一元二次方程与方程有一个相同的根，

∴当时，，解得；

当时，，解得，

而，

∴的值为．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

26．(1)

(2)

【解析】（1）根据题意，将相应的值代入方程根的判别公式中，即可得到方程根的判别式．

（2）由题意，，解不等式，即可得到最大整数值，代入即可求得该方程的解．

(1)

解：

；

(2)

依题意，.

∴，取得最大整数值

当时，方程为

解这个方程得．

本题考察了一元二次方程根的判别，以及对根的判别的进一步应用；关键在于对根判别情况的灵活掌握．

27．．

【解析】利用因式分解法求解即可．

∵，

∴，

∴，

故原方程的根为．

本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择因式分解法是解题的关键．

28．(1)

(2)

【解析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）利用公式法解方程．

（1）

（x-1）（x-2）=0

∴；

（2）

∵a=1，b=-1，c=-3，

∴∆=-4×1×(-3)=13＞0，

∴x=，

∴．

此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及根据每个一元二次方程的特点恰当选择解法是解题的关键．

29．(1)，

(2)，

【解析】（1）用公式法解一元二次方程即可；

（2）用直接开平方法解一元二次方程即可．

(1)

解：，

∵，，，

∴，

∴，

∴，．

(2)

解：，

移项得：，

方程两边同除以2得：，

开平方得：，

∴，

∴原方程的解为：，．

本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法解一元二次方程．