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初中数学第4章 直线与角4.3 线段的 长短比较教学课件ppt
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这是一份初中数学第4章 直线与角4.3 线段的 长短比较教学课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了逐点学练，本节小结，作业提升，本节要点，学习流程，知识点，线段的长短比较，线段的和差倍分，线段的中点，线段的基本事实等内容，欢迎下载使用。
线段的长短比较线段的和差倍分线段的中点线段的基本事实
1. 度量法 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较.
2. 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较.例如：比较线段AB，CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点A 和C 重合，另一个端点B 和D 落在点A 的同一侧，如图4.3－1.
特别解读当两条线段的长短差别不大，而又不便放在一起比较时，运用度量法；当两条线段能够放在一起而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法.度量法和叠合法分别是从“数”和“形”两个方面出发的，从“数”的方面比较，一般用度量法；从“形”的方面比较，一般用叠合法.
如图4.3－2 是一张三角形纸片，你能比较线段AB与线段BC 的长短吗？
解题秘方：可以利用度量法，分别量出每条线段的长度， 然后进行比较，或者利用叠合法进行比较.
方法点拨比较有公共端点的两条线段的长短的方法：1.借助刻度尺进行度量；2.借助圆规进行叠合.
解：方法一：度量法.用刻度尺量得AB=1.7 cm，BC=1.3 cm，所以AB>BC.方法二：叠合法. 如图4.3－2，将圆规的一端放在B 点，另一端放在C 点，将圆规绕B 点旋转，圆弧与AB 交于D 点.所以AB>BC.
1. 线段的和与差 如图4.3－3，已知线段a，b(a>b).
(1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC=a+b，如图4.3－4 ① .
(2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，在线段AB 上作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图4.3－4 ② . 2. 线段的倍与分 如图4.3－5，射线AE 上有B，C，D 三点，线段AB，BC，CD 的长度关系是AB=BC=CD， 则AC=2BC，AD=3AB，AB= AC，AB= AD，AC= AD.
特别提醒 几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段. 用尺规作线段的和时，依次向右截取；作线段的差时，从最右边的端点向左截取.
如图4.3－6，已知点B，C 在线段AD 上．(1)图中共有 ______条线段.(2)已知AB=CD．①比较线段的长短：AC____BD(填“>”“=”或“<”)；②若BD=4AB，BC=12 cm，则AD=____cm．
解题秘方：本题主要考查了线段长度的计算，解题关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
特别提醒 在将两条线段用“>”“<”或“=”连接起来的时候，字母前的“线段”两字就省略不写了.只有线段才能比较长短，而直线、射线不能比较长短.
解：(1)图中的线段有AB，BC，CD，AC，BD，AD，共6 条.(2)①因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=BD.②因为BD=4AB，AB=CD，所以BC=3AB. 因为BC=12 cm，所以AB=4 cm，所以AD=AB+BD=4+4×4=20(cm).
答案：(1)6 (2)① = ② 20
1. 线段的中点的定义把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点. 如图4.3－7，若M 是线段AB 的中点，则有AM=BM= AB.
特别提醒线段的中点表示法:线段的中点一定在线段上，点M为线段AB的中点有三种表达方式：(1)点M在线段AB上，且AM=BM；(2)AB=2AM=2BM；(3)AM=BM= AB.线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上.
2. 等分线段(1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点. 如图4.3－8，若M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB= AB.
(2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点. 如图4.3－9，若M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB= AB.
如图4.3－10，M 是线段AC 的中点，点B 在线段AC 上，且AB=4，BC=2AB，求线段MC 和线段BM 的长.
解题秘方：紧扣中点的意义及要求的线段与已知线段之间的数量关系，求线段长.
方法点拨 利用“逐段计算法”求线段长： 要求某条线段的长，先确定这条线段等于哪几条线段的和或差，分析这些线段的长度是已知的，还是要通过别的条件再求的，再进行逐段计算.
解：因为AB=4，BC=2AB，所以BC=8.所以AC=AB+BC=4+8=12.因为M 是线段AC 的中点，所以MC=AM= AC=6.所以BM=AM－AB=6－4=2.
如图4.3－11， 已知B，C 两点把线段AD 分成2 ∶ 5 ∶ 3 三部分，点M 为AD 的中点，BM=6 cm，求CM 和AD 的长.
解题秘方：利用已知条件BM=6 cm 作为等量关系列出方 程，求出CM 和AD 的长.
方法点拨利用方程思想求线段的长的方法： 当利用逐段计算法难以求出线段长时，可考虑运用方程思想，将其中已知的线段长作为等量关系，设出要求的线段长，用含要求线段长的式子表示已知线段长(利用它们之间的数量关系表示)，列出方程解决问题.
解：设AB=2x cm，则BC=5x cm，CD=3x cm.所以AD=AB+BC+CD=10x cm.因为M 是AD 的中点，所以AM=MD= AD= ×10x=5x(cm).因为BM=AM－AB，所以5x－2x=6. 所以x=2.所以CM=MD－CD=5x－3x=2x=2×2=4(cm)，AD=10x=10×2=20(cm).
警示误区 两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形. 因此不能把A，B 两点间的距离说成是线段AB. 另外， 连接两点是指画出以这两点端点的线段.
在同一所学校上学的小明、小亮、小红三位同学分别住在A，B，C 三个住宅区，如图4.3－12，A，B，C 三点共线，且AB=40 m，BC=100 m，他们打算合租一辆车去上学. 由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？
解题秘方：根据停靠点的不同位置，分别计算他们步行 到停靠点的路程之和，再进行比较，确定位置.
技巧点拨 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法，如本题中应分情况讨论车的停靠点.
解：AC=AB+BC=40+100=140(m).分情况讨论如下：(1)若停靠点设在A 住宅区，则他们的路程总和为40+140=180(m)；(2)若停靠点设在A 住宅区与B 住宅区之间(不包括A，B 住宅区)，则他们的路程总和大于140 m且小于180 m；(3)若停靠点设在B 住宅区，则他们的路程总和为140 m；
(4)若停靠点设在B 住宅区与C 住宅区之间(不包括B，C 住宅区)，则他们的路程总和大于140 m且小于240 m；(5)若停靠点设在C 住宅区，则他们的路程总和为140+100=240(m).综上所述，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，停靠点应设在B 住宅区.
详解 当停靠点位于A，B 之间时，不妨记为点D，如图4.3－13，则AD+DB=AB=40 m，100米=BC
解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路线， 而蜘蛛走的路线在正方体的表面上，因此应在正方体 的表面展开图中寻找.
解： 有四种走法， 分别是B → F → A，B → G → A，B → M → A，B → N → A(F，G，M，N 分别为DE，CD，KE，KH 的中点)，如图4.3－15.
三线(线段、射线、直线)
线段的长短比较线段的和差倍分线段的中点线段的基本事实
1. 度量法 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较.
2. 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较.例如：比较线段AB，CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点A 和C 重合，另一个端点B 和D 落在点A 的同一侧，如图4.3－1.
特别解读当两条线段的长短差别不大，而又不便放在一起比较时，运用度量法；当两条线段能够放在一起而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法.度量法和叠合法分别是从“数”和“形”两个方面出发的，从“数”的方面比较，一般用度量法；从“形”的方面比较，一般用叠合法.
如图4.3－2 是一张三角形纸片，你能比较线段AB与线段BC 的长短吗？
解题秘方：可以利用度量法，分别量出每条线段的长度， 然后进行比较，或者利用叠合法进行比较.
方法点拨比较有公共端点的两条线段的长短的方法：1.借助刻度尺进行度量；2.借助圆规进行叠合.
解：方法一：度量法.用刻度尺量得AB=1.7 cm，BC=1.3 cm，所以AB>BC.方法二：叠合法. 如图4.3－2，将圆规的一端放在B 点，另一端放在C 点，将圆规绕B 点旋转，圆弧与AB 交于D 点.所以AB>BC.
1. 线段的和与差 如图4.3－3，已知线段a，b(a>b).
(1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC=a+b，如图4.3－4 ① .
(2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，在线段AB 上作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图4.3－4 ② . 2. 线段的倍与分 如图4.3－5，射线AE 上有B，C，D 三点，线段AB，BC，CD 的长度关系是AB=BC=CD， 则AC=2BC，AD=3AB，AB= AC，AB= AD，AC= AD.
特别提醒 几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段. 用尺规作线段的和时，依次向右截取；作线段的差时，从最右边的端点向左截取.
如图4.3－6，已知点B，C 在线段AD 上．(1)图中共有 ______条线段.(2)已知AB=CD．①比较线段的长短：AC____BD(填“>”“=”或“<”)；②若BD=4AB，BC=12 cm，则AD=____cm．
解题秘方：本题主要考查了线段长度的计算，解题关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
特别提醒 在将两条线段用“>”“<”或“=”连接起来的时候，字母前的“线段”两字就省略不写了.只有线段才能比较长短，而直线、射线不能比较长短.
解：(1)图中的线段有AB，BC，CD，AC，BD，AD，共6 条.(2)①因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=BD.②因为BD=4AB，AB=CD，所以BC=3AB. 因为BC=12 cm，所以AB=4 cm，所以AD=AB+BD=4+4×4=20(cm).
答案：(1)6 (2)① = ② 20
1. 线段的中点的定义把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点. 如图4.3－7，若M 是线段AB 的中点，则有AM=BM= AB.
特别提醒线段的中点表示法:线段的中点一定在线段上，点M为线段AB的中点有三种表达方式：(1)点M在线段AB上，且AM=BM；(2)AB=2AM=2BM；(3)AM=BM= AB.线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上.
2. 等分线段(1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点. 如图4.3－8，若M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB= AB.
(2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点. 如图4.3－9，若M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB= AB.
如图4.3－10，M 是线段AC 的中点，点B 在线段AC 上，且AB=4，BC=2AB，求线段MC 和线段BM 的长.
解题秘方：紧扣中点的意义及要求的线段与已知线段之间的数量关系，求线段长.
方法点拨 利用“逐段计算法”求线段长： 要求某条线段的长，先确定这条线段等于哪几条线段的和或差，分析这些线段的长度是已知的，还是要通过别的条件再求的，再进行逐段计算.
解：因为AB=4，BC=2AB，所以BC=8.所以AC=AB+BC=4+8=12.因为M 是线段AC 的中点，所以MC=AM= AC=6.所以BM=AM－AB=6－4=2.
如图4.3－11， 已知B，C 两点把线段AD 分成2 ∶ 5 ∶ 3 三部分，点M 为AD 的中点，BM=6 cm，求CM 和AD 的长.
解题秘方：利用已知条件BM=6 cm 作为等量关系列出方 程，求出CM 和AD 的长.
方法点拨利用方程思想求线段的长的方法： 当利用逐段计算法难以求出线段长时，可考虑运用方程思想，将其中已知的线段长作为等量关系，设出要求的线段长，用含要求线段长的式子表示已知线段长(利用它们之间的数量关系表示)，列出方程解决问题.
解：设AB=2x cm，则BC=5x cm，CD=3x cm.所以AD=AB+BC+CD=10x cm.因为M 是AD 的中点，所以AM=MD= AD= ×10x=5x(cm).因为BM=AM－AB，所以5x－2x=6. 所以x=2.所以CM=MD－CD=5x－3x=2x=2×2=4(cm)，AD=10x=10×2=20(cm).
警示误区 两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形. 因此不能把A，B 两点间的距离说成是线段AB. 另外， 连接两点是指画出以这两点端点的线段.
在同一所学校上学的小明、小亮、小红三位同学分别住在A，B，C 三个住宅区，如图4.3－12，A，B，C 三点共线，且AB=40 m，BC=100 m，他们打算合租一辆车去上学. 由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？
解题秘方：根据停靠点的不同位置，分别计算他们步行 到停靠点的路程之和，再进行比较，确定位置.
技巧点拨 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法，如本题中应分情况讨论车的停靠点.
解：AC=AB+BC=40+100=140(m).分情况讨论如下：(1)若停靠点设在A 住宅区，则他们的路程总和为40+140=180(m)；(2)若停靠点设在A 住宅区与B 住宅区之间(不包括A，B 住宅区)，则他们的路程总和大于140 m且小于180 m；(3)若停靠点设在B 住宅区，则他们的路程总和为140 m；
(4)若停靠点设在B 住宅区与C 住宅区之间(不包括B，C 住宅区)，则他们的路程总和大于140 m且小于240 m；(5)若停靠点设在C 住宅区，则他们的路程总和为140+100=240(m).综上所述，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，停靠点应设在B 住宅区.
详解 当停靠点位于A，B 之间时，不妨记为点D，如图4.3－13，则AD+DB=AB=40 m，100米=BC
解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路线， 而蜘蛛走的路线在正方体的表面上，因此应在正方体 的表面展开图中寻找.
解： 有四种走法， 分别是B → F → A，B → G → A，B → M → A，B → N → A(F，G，M，N 分别为DE，CD，KE，KH 的中点)，如图4.3－15.
三线(线段、射线、直线)
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