2020-2021学年第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数练习题

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题23.1锐角三角函数

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•武侯区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA，则AC的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】根据正弦的定义求出AB，根据勾股定理计算，得到答案．

【解析】sinA，

∴，

解得，AB＝10，

由勾股定理得，AC8，

故选：C．

2．（2020秋•安居区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B，则BC＝（　　）

A．6 B．8 C．9 D．15

【分析】由锐角三角函数定义知：cos∠B，代入相关数值解答即可．

【解析】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B，cos∠B，

则BC＝AB•cos∠B＝108．

故选：B．

3．（2020•常州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．

【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，

∴cosA，∠A+∠B＝90°，

∴sinB＝cosA．

故选：A．

4．（2020•姑苏区一模）如图，△ABC中，∠C＝90o，tanA＝2，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据tanA2，于是设CB＝2k，AC＝k，由勾股定理得到ABk，于是得到结论．

【解析】∵△ABC中，∠C＝90o，

∴tanA2，

∴设CB＝2k，AC＝k，

∴ABk，

∴cosA，

故选：B．

5．（2020•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．

【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，

∴BC，

∴cosB．

故选：C．

6．（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得．

【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，

则tan∠BAC，

故选：C．

7．（2019•崇川区二模）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（　　）

A．msin35° B．mcos35° C． D．

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．

【解析】sin∠A，

∵AB＝m，∠A＝35°，

∴BC＝msin35°，

故选：A．

8．（2017•费县模拟）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα．

【解析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，

∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，

∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，

即EF与l2，l3，l4都垂直，

∴DE＝1，DF＝2．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，AD＝CD，

∴∠ADE+∠CDF＝90°，

又∵∠α+∠ADE＝90°，

∴∠α＝∠CDF，

∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE＝CF＝1，

∴在Rt△CDF中，CD，

∴sinα＝sin∠CDF．

故选：B．

9．（2020秋•金山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．

【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，

故选：B．

10．（2020秋•岑溪市期末）在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值（　　）

A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 

C．不变 D．以上都不对

【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．

【解析】由锐角三角函数的定义可知，

将Rt△ABC中的各边长都扩大为原来的3倍，其扩大前后相应的两条边的比值不变，

因此锐角A的正切值不变，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021春•萧山区月考）Rt△ABC在中，若ABAC，则cosB＝　或　．

【分析】分AB为斜边、AB为直角边两种情况，根据勾股定理和余弦的定义计算即可．

【解析】设AC＝x，则ABx，

当AB为斜边时，BCx，

则cosB；

当AB为直角边时，BC2x，

则cosB；

综上所述，cosB的值为或．

12．（2020秋•金山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA，那么BC＝　12　．

【分析】根据正弦的定义得到sinA，然后把AB＝15代入计算即可．

【解析】∵∠C＝90°，

∴sinA，

∴BCAB15＝12．

故答案为12．

13．（2021•宁波模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则tanA＝　2　．

【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．

【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，

∴tanA2，

故答案为：2．

14．（2018秋•香坊区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tanA，AB＝2，则BC＝　4　

【分析】直接利用锐角三角函数关系结合勾股定理得出BC的长．

【解析】如图所示：∵tanA，

∴设BC＝2x，AC＝3x，

∴在Rt△ABC中，

BC2+AC2＝AB2，

即（2x）2+（3x）2＝（2）2，

解得：x＝2，

故BC＝4，

故答案为：4．

15．（2017秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝　4sinαtanα　．（用锐角α的三角比表示）

【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD．

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，

∴∠BCD＝∠A＝α，

∴CD＝AC•sinα＝4sinα，

∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．

故答案为：4sinαtanα．

16．（2020•铁东区四模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 　1　．

【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．

【解析】如图所示，连接BC，

则AB＝BC，AC2，

∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，

∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°，

则tan∠BAC＝1，

故答案为：1．

17．（2019•咸宁模拟）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　　．

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．

【解析】∵P（12，a）在反比例函数图象上，

∴a5，

∵PH⊥x轴于H，

∴PH＝5，OH＝12，

∴tan∠POH，

故答案为：．

18．（2018•即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是　②③④　．

①cos（﹣30°）；

②cos75°；

③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；

④cos2x＝cos2x﹣sin2x．

【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．

【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°，命题错误；

②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°，命题正确；

③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；

④cos2x＝cosx•cosx﹣sinx•sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；

故答案为：②③④．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．求图中各直角三角形锐角的正切值．

【分析】根据勾股定理求出A1C1的值，再根据锐角三角函数的定义求出即可．

【解析】图①中：tanA，tanB；

图②中：由勾股定理得：A1C14，

tanA1，tanB1．

20．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝15．

（1）求AB的长．

（2）求sinA、cosA的值．

【分析】（1）根据勾股定理计算即可；

（2）根据正弦、余弦的定义计算，得到答案．

【解析】（1）由勾股定理得，AB3；

（2）sinA，

cosA．

21．（2010秋•崇明县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC，求：sinB的值．

【分析】先由AD＝BC＝5，cos∠ADC及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义即可求解．

【解析】∵AD＝BC＝5，cos∠ADC，

∴CD＝3，

在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC4，

在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB，

∴sinB．

22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．求：

（1）sinA，cosB．

（2）cosA，sinB．

（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由．

【分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

（2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

（3）根据（1）与（2）问的结果即可得出答案．

【解析】（1）根据勾股定理可知：AB，

∴sinA，cosB．

（2）cosA，sinB．

（3）由（1）、（2）可知：sinA＝cosB，cosA＝sinB．

23．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．

（1）求sinB的值；

（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．

【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB计算即可；

（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．

【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，

∴BD＝DCBC＝9，

∴AB3，

∴sinB；

（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴EF∥AD，

∴，

∴EFAD6＝4，BFBD9＝6，

∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，

在Rt△DEF中，DE5．

24．（2020•福州模拟）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．

（1）如图1，若AE＝DE，

①求证：CD平分∠ACB；

②求的值；

（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．

【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．

②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BDDT即可解决问题．

（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．

【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，

∴∠ADE＝∠DAE，

∵∠CAD＝90°，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，

∴∠CAE＝∠ACD，

∴EA＝EC，

∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，

∴∠ACD＝22.5°，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，

∴CD平分∠ACB．

②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．

∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，

∴DA＝DT，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝45°，

∴BDDTAD，

∴．

（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．

∵AE⊥BE，CT⊥AT，

∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，

∴∠ABE＝∠CAT，

∵AB＝AC，

∴△ABE≌△CAT（AAS），

∴AE＝CT，BE＝AT，

∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，

∴ET＝CT＝AE，

∴BE＝2AE，

∴tan∠ABE