2021学年第一章 直角三角形的边角关系综合与测试同步达标检测题

这是一份2021学年第一章 直角三角形的边角关系综合与测试同步达标检测题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第一章检测题(满分120分，考试用时120分钟 )姓名：________　　　班级：________　　　分数：________一、选择题(每小题3分，共30分)1．3tan 30°的值等于（A）A.  B.  C．1  D．32．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论中正确的是（B）A．bcos B＝c   B．csin A＝a  C．atan A＝b  D．ctan B＝b3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6 cm，则BC的长度为（C）A．6 cm  B．7 cm  C．8 cm  D．9 cm4．(石景山区期末)如图，某斜坡的长为100 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则这个斜坡的坡度为（C）A．30°  B．60°  C.  D.5．在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cos α＝，AB＝2，则AC的长为（C）A.   B.   C.  D. 6．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sin A的值为（B）A.  B.  C.  D.7．等腰三角形腰上的高与腰的比为1 ∶，则顶角为（C ）A．30°  B．45°  C．45°或135°  D．30°或150°8．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52 m到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8 m，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A，B，C，D，E，F在同一平面内)，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1 ∶2.4，那么建筑物AB的高度约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)（B）A．65.8 m  B．71.8 m  C．73.8 m  D．119.8 m9．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，cos A＝，有下列结论：①DE＝3 cm；②EB＝1 cm；③S菱形ABCD＝15 cm2.其中正确的个数为(　A　)A．3个    B．2个    C．1个   D．0个10．如图是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm，∠DOB＝100°，那么椅腿AB的长应设计为(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 50°＝cos 40°≈0.77，sin 40°＝cos 50°≈0.64，tan 40°≈0.84，tan 50°≈1.19)（C）A．38.1 cm  B．49.8 cm  C．41.6 cm  D．45.3 cm二、填空题(每小题3分，共24分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，若AB＝2，则cos B＝，BC＝.12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝.13．某超市的自动扶梯长度为15 m，扶梯到达的最大高度是5 m，设扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ＝.14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝，则tan B的值为.15．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(示意图如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了2(－ )m.(结果保留根号)16．如图，机器人从y轴上A点沿着西南方向行了4个单位长度，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A点的坐标为.17．(山西中考)太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80 cm，AD＝24 cm，BC＝25 cm，EH＝4 cm，则点A到地面的距离是80.8cm.18．已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD ∶CD＝2 ∶1，则△ABC的面积为8或24.【解析】分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，由BD ∶CD＝2 ∶1，可以求出BD，由tan B＝，可以求出AD，即得．三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)3tan 30°＋cos245°－2sin 60°；解：原式＝3×＋－2×＝＋－＝.　　　　　　  (2)tan260°－2sin 45°＋cos 60°.解：原式＝()2－2×＋＝3－＋＝－. 20．(10分)解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，求sin A，cos A，tan A；解：在Rt△ABC中，b＝＝＝12，则sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝. (2)在Rt△ABC中，斜边AB＝5，cos A＝0.5，求△ABC的其他元素．解：∵cos A＝＝0.5，∴AC＝5×0.5＝，∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°，BC＝＝＝. 21．(12分)如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A－C－B行驶，全长68 km，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果精确到1 km，参考数据：≈1.4，≈1.7)解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，在Rt△ACD中，sin A＝，AC＝＝2x，在Rt△BCD中，sin B＝，BC＝＝x，∵AC＋BC＝2x＋x＝68，∴x＝≈＝20，在Rt△ACD中，tan A＝，AD＝＝20 km，在Rt△BCD中，tan B＝，BD＝＝20，∴AB＝20＋20≈54(km)，∴AC＋BC－AB＝68－54＝14(km)．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14 km. 22．(12分)定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作底角的邻对(can)．如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作can  B，这时can B ＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：(1)can 30°＝；(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，can B＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．解：(2)过点A作AE⊥BC于点E，∵can B＝，∴可设BC＝8x，AB＝5x，则BE＝BC＝4x，          ①∴AE＝＝3x.∵S△ABC＝24，∴BC·AE＝12x2＝24，解得x＝，    故AB＝AC＝5，BC＝8，                          ②∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝5＋5＋8＝18.  23．(12分)如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5 cm，长度均为20 cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图②，求连杆端点D离桌面l的高度DE；(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？(精确到0.1 cm，参考数据：≈1.41，≈1.73)①　　　②　　　　③解：(1)如图②，过点B作BO⊥DE，垂足为O，则四边形ABOE是矩形，∠OBD＝150°－90°＝60°，∴DO＝BD·sin 60°＝40×sin 60°＝20 cm，∴DE＝DO＋OE＝DO＋AB＝20＋5≈39.6(cm)． (2)如图③，过点D作DF⊥l于点F，过点C作CP⊥DF于点P，过点B作BG⊥DF于点G，过点C作CH⊥BG于点H，则四边形PCHG为矩形，∵∠CBH＝60°，∴∠BCH＝30°.又∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BC·sin 60°＝10，DP＝CD·sin 45°＝10 cm，∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝(10＋10＋5)cm.∴下降高度为DE－DF＝20＋5－10－10－5＝10－10≈3.2(cm)．故连杆端点D离桌面l的高度减少了，减少了3.2 cm. 24．(12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2.(1)求证：DC＝BC；(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，判断△ECF的形状，并证明你的结论．(1)证明：过点A作AM⊥DC于点M，则AM＝BC＝2，在Rt△ADM中，tan∠ADM＝＝tan∠ADC＝2，∴DM＝＝＝1.∴DC＝DM＋MC＝DM＋AB＝1＋1＝2.∴DC＝BC.(2)解：△ECF是等腰直角三角形，证明：∵DE＝BF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC，∴△DEC≌△BFC(SAS)．∴CE＝CF，∠ECD＝∠FCB.∴∠ECF＝∠BCF＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE＝∠BCD＝90°.∴△ECF是等腰直角三角形．