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北京市东城区五中分校2022_2023学年八年级上学期 期中数学试卷(含答案)
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这是一份北京市东城区五中分校2022_2023学年八年级上学期 期中数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京五中分校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（ ）
A．3×10﹣6 B．30×10﹣3 C．3×10﹣5 D．0.3×10﹣4
2．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2 B．m＝4 C．m＝8 D．m＝9
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a5
4．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a﹣b+1）＝ma﹣mb+m B．x2+1＝x（x+）
C．m2﹣3m+2＝m（m﹣3）+2 D．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）
5．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
C．AB＝3，BC＝4，CA＝8 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
9．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边BC，AB上，CD＝DE，∠DEB＝∠C，若∠BAD＝20°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形ABC（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与△ABC全等，且有一条边与△ABC的一条边重合，这样的三角形可以构造出（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
11．如果分式的值为0，那么x的值是 ．
12．计算：（）﹣2+（π﹣5）0＝ ．
13．计算：（﹣）3＝ ．
14．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 ．
15．如图，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需补充一个条件，你补充的条件是 ．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是 ．
17．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论：
①PC＝PD；②OD＝OC；③△POC与△POD的面积相等；④∠POC+∠OPD＝90°．
其中正确的有 ．
18．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．若∠B＝55°，则∠BDF的度数为 °．
三、解答题（共10个小题，共54分）
19．因式分解：
（1）2x2﹣4xy+2y2；
（2）5（a﹣b）x2﹣20（a﹣b）y2．
20．（7分）计算：
（1）（3x3）2•（﹣2y2）÷（﹣6x2y）；
（2）（2x+1）（x﹣3）+（x﹣1）2﹣（x﹣2）（x+2）．
21．（5分）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．
22．（5分）解方程：．
23．（5分）化简求值：（﹣）÷，其中a是满足a2+2a﹣5＝0．
24．（5分）尺规作图：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB内部一点P以及线段PE和PF，使得PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F且PE＝PF．
作法：
①O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N；
②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
③作射线OC；
④在射线OC上取一点P（不与点O，C重合），过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
请根据尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接CM，CN．
在△OCM和△OCN中，
∴△OCM≌△OCN． （ ） （填推理依据）
∴∠MOC＝∠NOC． （ ） （填推理依据）
∴射线OC平分∠AOB．
∵点P在∠AOB的平分线OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF．（ ） （填推理依据）
25．（5分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第 步开始出现错误（填序号），错误的原因是 ；
（3）请写出正确解答过程．
26．（5分）列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买Z界跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
27．（7分）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中AD的取值范围： ．
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段EF和AD的数量关系和位置关系，并加以证明．
28．（6分）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝7有两个解，分别为x1＝ ，x2＝ ；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1，x2，若x1与x2互为倒数且x1＜x2，则x1＝ ，x2＝ ；
（3）关于x的方程3x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
2022-2023学年北京五中分校八年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（ ）
A．3×10﹣6 B．30×10﹣3 C．3×10﹣5 D．0.3×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000003＝3×10﹣6．
故选：A．
2．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2 B．m＝4 C．m＝8 D．m＝9
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：第三边m的取值范围是5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．，只有m＝2适合，
故选：B．
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
B．（3a）2＝9a2，故此选项不合题意；
C．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
故选：D．
4．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a﹣b+1）＝ma﹣mb+m B．x2+1＝x（x+）
C．m2﹣3m+2＝m（m﹣3）+2 D．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）
【分析】根据因式分解的意义和因式分解的方法逐个判断即可．
【解答】解：A．m（a﹣b+1）＝ma﹣mb+m，是多项式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
5．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．
【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
所以（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
6．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据三角形的内角和求出∠2＝45°，再根据对顶角相等求出∠3＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：∵∠2＝90°﹣45°＝45°（直角三角形两锐角互余），
∴∠3＝∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+30°＝45°+30°＝75°．
故选：D．
7．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．
【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为50°．
故选：B．
8．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
C．AB＝3，BC＝4，CA＝8 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
B、∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
D、AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，符合全等三角形的判定定理SAS，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
9．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边BC，AB上，CD＝DE，∠DEB＝∠C，若∠BAD＝20°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，证明△CFD≌△EBD（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DB，由角平分线的性质得出∠BAC＝40°，则可得出答案．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∴∠CFD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CFD＝∠DBE，
在△CFD和△EBD中，
，
∴△CFD≌△EBD（AAS），
∴DF＝DB，
又∵DF⊥AC，DB⊥AB，
∴∠FAD＝∠BAD，
∵∠BAD＝20°，
∴∠BAC＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠BAC＝50°．
故选：C．
10．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形ABC（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与△ABC全等，且有一条边与△ABC的一条边重合，这样的三角形可以构造出（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据全等三角形的判定依据题目要求画出图形即可．
【解答】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．
故选：C．
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
11．如果分式的值为0，那么x的值是 3 ．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣3＝0，
解得：x＝3．
故答案为：3．
12．计算：（）﹣2+（π﹣5）0＝ 10 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（）﹣2+（π﹣5）0
＝9+1
＝10，
故答案为：10．
13．计算：（﹣）3＝ ﹣ ．
【分析】根据积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣，
故答案为：﹣．
14．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．
【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故答案为：5．
15．如图，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需补充一个条件，你补充的条件是 AC＝BD或∠ABC＝∠BAD ．
【分析】根据全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：添加AC＝BD，根据SSS得到△ABC≌△BAD；
添加∠ABC＝∠BAD，根据SAS得到△ABC≌△BAD；
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝∠BAD．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是 2 ．
【分析】证明△ADE≌△CFE（AAS），得出AD＝CF＝3，即可得出答案．
【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
17．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论：
①PC＝PD；②OD＝OC；③△POC与△POD的面积相等；④∠POC+∠OPD＝90°．
其中正确的有 ①②③④ ．
【分析】根据已知条件，可得△OCP≌△ODP（AAS），根据全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵P是∠AOB平分线上的点，
∴∠COP＝∠DOP，
∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（AAS），
∴PC＝PD，OC＝OD，
故①②选项符合题意，
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴△POC与△POD的面积相等，
故③选项符合题意；
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴∠OPD＝∠OPC，
∵∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠POC+∠OPD＝90°，
故④选项符合题意；
综上可知，①②③④均符合题意，
故答案为：①②③④．
18．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．若∠B＝55°，则∠BDF的度数为 70 °．
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出∠ADE＝∠FDE＝55°，则∠BDF即可求．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝55°，
∴∠EDF＝∠ADE＝55°，
∴∠BDF＝180﹣55﹣55＝70°．
故答案为：70．
三、解答题（共10个小题，共54分）
19．因式分解：
（1）2x2﹣4xy+2y2；
（2）5（a﹣b）x2﹣20（a﹣b）y2．
【分析】（1）先提取公因式2，再套用完全平方公式分解；
（2）先提取公因式，再套用平方差公式分解．
【解答】解：（1）2x2﹣4xy+2y2
＝2（x2﹣2xy+y2）
＝2（x﹣y）2；
（2）5（a﹣b）x2﹣20（a﹣b）y2．
＝5（a﹣b）（x2﹣4y2）
＝5（a﹣b）（x+2y）（x﹣2y）．
20．（7分）计算：
（1）（3x3）2•（﹣2y2）÷（﹣6x2y）；
（2）（2x+1）（x﹣3）+（x﹣1）2﹣（x﹣2）（x+2）．
【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再从左到右依次计算；
（2）先展开，去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝9x6•（﹣2y2）÷（﹣6x2y）；
＝﹣18x6y2÷（﹣6x2y）
＝3x4y；
（2）原式＝2x2﹣6x+x﹣3+x2﹣2x+1﹣（x2﹣4）
＝2x2﹣6x+x﹣3+x2﹣2x+1﹣x2+4
＝2x2﹣7x+2．
21．（5分）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．
【分析】由已知条件得到AC＝CB，∠A＝∠BCE，根据三角形全等的判定定理ASA可证得△ACD≌△CBE．
【解答】证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵AD∥CE，
∴∠A＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
22．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+3x+2﹣x2+4＝5，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是原方程的解．
23．（5分）化简求值：（﹣）÷，其中a是满足a2+2a﹣5＝0．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再根据a2+2a﹣5＝0，得到a2+2a＝5，最后代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]•
＝•
＝
＝
＝，
∵a2+2a﹣5＝0，
∴a2+2a＝5，
当a2+2a＝5时，原式＝．
24．（5分）尺规作图：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB内部一点P以及线段PE和PF，使得PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F且PE＝PF．
作法：
①O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N；
②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
③作射线OC；
④在射线OC上取一点P（不与点O，C重合），过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
请根据尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接CM，CN．
在△OCM和△OCN中，
∴△OCM≌△OCN． （ SSS ） （填推理依据）
∴∠MOC＝∠NOC． （ 全等三角形对应角相等 ） （填推理依据）
∴射线OC平分∠AOB．
∵点P在∠AOB的平分线OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF．（ 角平分线上的点到角的两边距离相等 ） （填推理依据）
【分析】（1）根据题意即可补全图形；
（2）根据全等三角形的判定和性质即可完成证明．
【解答】（1）解：如图所示即为补全的图形；
（2）证明：连接CM，CN．
在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC（全等三角形对应角相等），
∴射线OC平分∠AOB．
∵点P在∠AOB的平分线OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：SSS，全等三角形对应角相等，角平分线上的点到角的两边距离相等．
25．（5分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 甲 同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第 ② 步开始出现错误（填序号），错误的原因是 第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘 ；
（3）请写出正确解答过程．
【分析】（1）根据题目中的解答过程，选择一个进行分析即可；
（2）根据（1）中的结果，写出相应的错步，并写出错因；
（3）先通分，然后再化简即可．
【解答】解：（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，
故答案为：甲；
（2）该同学的解答从第②步开始出现错误，错误的原因是第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘，
故答案为：②，第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘；
（3）﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝﹣．
26．（5分）列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买Z界跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
【分析】设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+10）元，由题意：用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+10）元，
由题意得：，＝，
解得：x＝32，
经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，
则x+10＝42，
答：甲种跳绳的单价为32元，乙种跳绳的单价为42元．
27．（7分）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中AD的取值范围： 1＜AD＜5 ．
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段EF和AD的数量关系和位置关系，并加以证明．
【分析】（1）先判断出BD＝CD，由“SAS”可证△MDB≌△ADC，得出BQ＝AC＝6，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDM≌△CDA，则BM＝AC，进而判断出∠ABM＝∠EAF，进而判断出△ABM≌△EAF，得出AM＝EF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝4，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴6﹣4＜AM＜4+6，2＜AM＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）AC∥BM，AC＝BM，
理由如下：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
28．（6分）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝7有两个解，分别为x1＝ 1 ，x2＝ 6 ；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1，x2，若x1与x2互为倒数且x1＜x2，则x1＝ ，x2＝ 9 ；
（3）关于x的方程3x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）方程x+＝7变形得：x+＝1+6，
根据题意得：x1＝1，x2＝6，
故答案为：1，6；
（2）方程变形得：x+＝+9，
由题中的结论得：方程有一根为9，另一根为，
则x1＝，x2＝9；
故答案为：，9；
（3）方程整理得：3x﹣1+＝n+n﹣1，
得3x﹣1＝n或3x﹣1＝n﹣1，
可得x1＝，x2＝，
则原式＝＝．
2022-2023学年北京五中分校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（ ）
A．3×10﹣6 B．30×10﹣3 C．3×10﹣5 D．0.3×10﹣4
2．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2 B．m＝4 C．m＝8 D．m＝9
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a5
4．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a﹣b+1）＝ma﹣mb+m B．x2+1＝x（x+）
C．m2﹣3m+2＝m（m﹣3）+2 D．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）
5．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
C．AB＝3，BC＝4，CA＝8 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
9．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边BC，AB上，CD＝DE，∠DEB＝∠C，若∠BAD＝20°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形ABC（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与△ABC全等，且有一条边与△ABC的一条边重合，这样的三角形可以构造出（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
11．如果分式的值为0，那么x的值是 ．
12．计算：（）﹣2+（π﹣5）0＝ ．
13．计算：（﹣）3＝ ．
14．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 ．
15．如图，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需补充一个条件，你补充的条件是 ．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是 ．
17．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论：
①PC＝PD；②OD＝OC；③△POC与△POD的面积相等；④∠POC+∠OPD＝90°．
其中正确的有 ．
18．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．若∠B＝55°，则∠BDF的度数为 °．
三、解答题（共10个小题，共54分）
19．因式分解：
（1）2x2﹣4xy+2y2；
（2）5（a﹣b）x2﹣20（a﹣b）y2．
20．（7分）计算：
（1）（3x3）2•（﹣2y2）÷（﹣6x2y）；
（2）（2x+1）（x﹣3）+（x﹣1）2﹣（x﹣2）（x+2）．
21．（5分）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．
22．（5分）解方程：．
23．（5分）化简求值：（﹣）÷，其中a是满足a2+2a﹣5＝0．
24．（5分）尺规作图：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB内部一点P以及线段PE和PF，使得PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F且PE＝PF．
作法：
①O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N；
②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
③作射线OC；
④在射线OC上取一点P（不与点O，C重合），过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
请根据尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接CM，CN．
在△OCM和△OCN中，
∴△OCM≌△OCN． （ ） （填推理依据）
∴∠MOC＝∠NOC． （ ） （填推理依据）
∴射线OC平分∠AOB．
∵点P在∠AOB的平分线OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF．（ ） （填推理依据）
25．（5分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第 步开始出现错误（填序号），错误的原因是 ；
（3）请写出正确解答过程．
26．（5分）列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买Z界跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
27．（7分）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中AD的取值范围： ．
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段EF和AD的数量关系和位置关系，并加以证明．
28．（6分）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝7有两个解，分别为x1＝ ，x2＝ ；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1，x2，若x1与x2互为倒数且x1＜x2，则x1＝ ，x2＝ ；
（3）关于x的方程3x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
2022-2023学年北京五中分校八年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（ ）
A．3×10﹣6 B．30×10﹣3 C．3×10﹣5 D．0.3×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000003＝3×10﹣6．
故选：A．
2．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2 B．m＝4 C．m＝8 D．m＝9
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：第三边m的取值范围是5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．，只有m＝2适合，
故选：B．
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
B．（3a）2＝9a2，故此选项不合题意；
C．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
故选：D．
4．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a﹣b+1）＝ma﹣mb+m B．x2+1＝x（x+）
C．m2﹣3m+2＝m（m﹣3）+2 D．a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）
【分析】根据因式分解的意义和因式分解的方法逐个判断即可．
【解答】解：A．m（a﹣b+1）＝ma﹣mb+m，是多项式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
5．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．
【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
所以（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
所以这个多边形的边数是6．
故选：B．
6．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据三角形的内角和求出∠2＝45°，再根据对顶角相等求出∠3＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：∵∠2＝90°﹣45°＝45°（直角三角形两锐角互余），
∴∠3＝∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+30°＝45°+30°＝75°．
故选：D．
7．若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．
【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为50°．
故选：B．
8．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
C．AB＝3，BC＝4，CA＝8 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
B、∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
D、AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，符合全等三角形的判定定理SAS，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
9．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边BC，AB上，CD＝DE，∠DEB＝∠C，若∠BAD＝20°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，证明△CFD≌△EBD（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DB，由角平分线的性质得出∠BAC＝40°，则可得出答案．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∴∠CFD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CFD＝∠DBE，
在△CFD和△EBD中，
，
∴△CFD≌△EBD（AAS），
∴DF＝DB，
又∵DF⊥AC，DB⊥AB，
∴∠FAD＝∠BAD，
∵∠BAD＝20°，
∴∠BAC＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠BAC＝50°．
故选：C．
10．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形ABC（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与△ABC全等，且有一条边与△ABC的一条边重合，这样的三角形可以构造出（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据全等三角形的判定依据题目要求画出图形即可．
【解答】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．
故选：C．
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
11．如果分式的值为0，那么x的值是 3 ．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣3＝0，
解得：x＝3．
故答案为：3．
12．计算：（）﹣2+（π﹣5）0＝ 10 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（）﹣2+（π﹣5）0
＝9+1
＝10，
故答案为：10．
13．计算：（﹣）3＝ ﹣ ．
【分析】根据积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣，
故答案为：﹣．
14．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．
【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．
【解答】解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故答案为：5．
15．如图，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需补充一个条件，你补充的条件是 AC＝BD或∠ABC＝∠BAD ．
【分析】根据全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：添加AC＝BD，根据SSS得到△ABC≌△BAD；
添加∠ABC＝∠BAD，根据SAS得到△ABC≌△BAD；
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝∠BAD．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是 2 ．
【分析】证明△ADE≌△CFE（AAS），得出AD＝CF＝3，即可得出答案．
【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
17．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论：
①PC＝PD；②OD＝OC；③△POC与△POD的面积相等；④∠POC+∠OPD＝90°．
其中正确的有 ①②③④ ．
【分析】根据已知条件，可得△OCP≌△ODP（AAS），根据全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵P是∠AOB平分线上的点，
∴∠COP＝∠DOP，
∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
在△OCP和△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（AAS），
∴PC＝PD，OC＝OD，
故①②选项符合题意，
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴△POC与△POD的面积相等，
故③选项符合题意；
∵△OCP≌△ODP（AAS），
∴∠OPD＝∠OPC，
∵∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠POC+∠OPD＝90°，
故④选项符合题意；
综上可知，①②③④均符合题意，
故答案为：①②③④．
18．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．若∠B＝55°，则∠BDF的度数为 70 °．
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出∠ADE＝∠FDE＝55°，则∠BDF即可求．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝55°，
∴∠EDF＝∠ADE＝55°，
∴∠BDF＝180﹣55﹣55＝70°．
故答案为：70．
三、解答题（共10个小题，共54分）
19．因式分解：
（1）2x2﹣4xy+2y2；
（2）5（a﹣b）x2﹣20（a﹣b）y2．
【分析】（1）先提取公因式2，再套用完全平方公式分解；
（2）先提取公因式，再套用平方差公式分解．
【解答】解：（1）2x2﹣4xy+2y2
＝2（x2﹣2xy+y2）
＝2（x﹣y）2；
（2）5（a﹣b）x2﹣20（a﹣b）y2．
＝5（a﹣b）（x2﹣4y2）
＝5（a﹣b）（x+2y）（x﹣2y）．
20．（7分）计算：
（1）（3x3）2•（﹣2y2）÷（﹣6x2y）；
（2）（2x+1）（x﹣3）+（x﹣1）2﹣（x﹣2）（x+2）．
【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再从左到右依次计算；
（2）先展开，去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝9x6•（﹣2y2）÷（﹣6x2y）；
＝﹣18x6y2÷（﹣6x2y）
＝3x4y；
（2）原式＝2x2﹣6x+x﹣3+x2﹣2x+1﹣（x2﹣4）
＝2x2﹣6x+x﹣3+x2﹣2x+1﹣x2+4
＝2x2﹣7x+2．
21．（5分）如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE．
【分析】由已知条件得到AC＝CB，∠A＝∠BCE，根据三角形全等的判定定理ASA可证得△ACD≌△CBE．
【解答】证明：∵点C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵AD∥CE，
∴∠A＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
22．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+3x+2﹣x2+4＝5，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是原方程的解．
23．（5分）化简求值：（﹣）÷，其中a是满足a2+2a﹣5＝0．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再根据a2+2a﹣5＝0，得到a2+2a＝5，最后代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]•
＝•
＝
＝
＝，
∵a2+2a﹣5＝0，
∴a2+2a＝5，
当a2+2a＝5时，原式＝．
24．（5分）尺规作图：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB内部一点P以及线段PE和PF，使得PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F且PE＝PF．
作法：
①O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N；
②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
③作射线OC；
④在射线OC上取一点P（不与点O，C重合），过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
请根据尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下列证明．
证明：连接CM，CN．
在△OCM和△OCN中，
∴△OCM≌△OCN． （ SSS ） （填推理依据）
∴∠MOC＝∠NOC． （ 全等三角形对应角相等 ） （填推理依据）
∴射线OC平分∠AOB．
∵点P在∠AOB的平分线OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF．（ 角平分线上的点到角的两边距离相等 ） （填推理依据）
【分析】（1）根据题意即可补全图形；
（2）根据全等三角形的判定和性质即可完成证明．
【解答】（1）解：如图所示即为补全的图形；
（2）证明：连接CM，CN．
在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC（全等三角形对应角相等），
∴射线OC平分∠AOB．
∵点P在∠AOB的平分线OC上，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：SSS，全等三角形对应角相等，角平分线上的点到角的两边距离相等．
25．（5分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 甲 同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第 ② 步开始出现错误（填序号），错误的原因是 第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘 ；
（3）请写出正确解答过程．
【分析】（1）根据题目中的解答过程，选择一个进行分析即可；
（2）根据（1）中的结果，写出相应的错步，并写出错因；
（3）先通分，然后再化简即可．
【解答】解：（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，
故答案为：甲；
（2）该同学的解答从第②步开始出现错误，错误的原因是第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘，
故答案为：②，第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘；
（3）﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝﹣．
26．（5分）列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买Z界跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
【分析】设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+10）元，由题意：用1600元购买甲种跳绳与用2100元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+10）元，
由题意得：，＝，
解得：x＝32，
经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，
则x+10＝42，
答：甲种跳绳的单价为32元，乙种跳绳的单价为42元．
27．（7分）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中AD的取值范围： 1＜AD＜5 ．
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段EF和AD的数量关系和位置关系，并加以证明．
【分析】（1）先判断出BD＝CD，由“SAS”可证△MDB≌△ADC，得出BQ＝AC＝6，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDM≌△CDA，则BM＝AC，进而判断出∠ABM＝∠EAF，进而判断出△ABM≌△EAF，得出AM＝EF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝4，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴6﹣4＜AM＜4+6，2＜AM＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）AC∥BM，AC＝BM，
理由如下：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
28．（6分）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n有两个解，分别为x1＝m，x2＝n．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝7有两个解，分别为x1＝ 1 ，x2＝ 6 ；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1，x2，若x1与x2互为倒数且x1＜x2，则x1＝ ，x2＝ 9 ；
（3）关于x的方程3x+＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）方程x+＝7变形得：x+＝1+6，
根据题意得：x1＝1，x2＝6，
故答案为：1，6；
（2）方程变形得：x+＝+9，
由题中的结论得：方程有一根为9，另一根为，
则x1＝，x2＝9；
故答案为：，9；
（3）方程整理得：3x﹣1+＝n+n﹣1，
得3x﹣1＝n或3x﹣1＝n﹣1，
可得x1＝，x2＝，
则原式＝＝．
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