2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.  代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  正八边形的每一个外角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次，射击成绩的平均数均为环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4.  用一条长的绳子围成一个面积为的矩形，设矩形的一边长为，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  矩形一定具有的性质是(    )

A. 邻边相等 B. 对角线垂直
C. 对角线相等 D. 对角线平分每一组对角

6.  对于反比例函数图象的叙述正确的是(    )

A. 关于原点成中心对称 B. 关于轴对称
C. 随的增大而减大 D. 随的增大而减小

7.  用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时第一步应先假设(    )

A. 在直角三角形中，每一个锐角都大于
B. 在直角三角形中，至多有一个锐角大于
C. 在直角三角形中，每一个锐角都不大于
D. 在直角三角形中，至多有一个锐角不大于

8.  如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

9.  如图，已知四边形中，，，，点，分别是边，的中点，连接，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知四边形中，，，四边形的面积是，有如下结论：，，，，其中一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共10小题，共34分）

11.  的算术平方根是______．

12.  若一组数据，，，，，，的唯一的众数是，则这组数据的平均数是______ ．

13.  关于的一元二次方程有一个解是，则 ______ ．

14.  已知一个菱形的边长是，一个内角为，则这个菱形的面积是______ ．

15.  已知点是直线上的一个动点，若点到轴的距离是其到轴的距离的倍，则点的坐标是______ ．

16.  如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则的长度为______ ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，轴，若的面积为，则 ______ ．

18.  如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，，，，则的长度为______ ．

19.  如图，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点是线段与的交点，，的面积和的面积相等则的值为______ ．

20.  如图，正方形的边长为，点是边上一动点，点在边上，，则的最小值为______ ．

三、解答题（本题共6小题，共46分）

21.  计算：
；
．

22.  解方程：
；
．

23.  如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，，在格点上，每一个小正方形的边长为．
在图中作关于点中心对称的三角形；
在图中以为边作一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积是的倍．
 

24.  如图，在平行四边形中，，分别是和的角平分线．
求证：≌；
当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．

25.  某商品进价元，销售期间发现，当销售单价定价元时，每天可售出个临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降元，每天销量增加个，设每个商品降价元．
求每天销量个关于元的函数关系式；
求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利元；
请说明：商家每天的获利是否能达到元？

26.  如图，已知矩形，点是边上一点，点是延长线上一点，且，．
求证：四边形是正方形；
如图，在的条件下，若，点是边上一点，连结交于点，有，求．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
，
解得：，
的取值范围是：．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出，进而求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：多边形的外角和为，
每个外角度数为：，
故选：．
根据多边形的外角和为度，再用度除以边数即可得到每一个外角的度数．
主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，是解题的基础．
 

3.【答案】 

【解析】解：射击成绩的平均成绩都相同，方差分别是，，，，
，
射击成绩最稳定的是丁．
故选：．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

4.【答案】 

【解析】解：绳子的长度为，且围成的矩形的一边长为，
与该边相邻的边长为．
根据题意得：．
故选：．
由绳子的长度及矩形的一边长，可得出与该边相邻的边长为，根据矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：矩形对角线相等且互相平分，
故选：．
根据矩形的对角线的性质即可求出答案．
本题考查矩形的性质，解题的关键是熟记矩形的性质，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：：当在上时，即，则，
在上，
故A是正确的；
：当在上时，即，则，
不在上，
故B是错误的；
：、在上，且，但是，
故C是错误的；
：、在上，且，但是，
故D是错误的；
故选：．
根据反比例函数的图象和性质求解．
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设每个锐角都大于．
故选：．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为，
点的横坐标为．
观察函数图象，发现：
当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
当时，的取值范围是或．
故选：．
由正、反比例的对称性结合点的横坐标即可得出点的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点的横坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的横坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、，

、分别是边、的中点，
且，
且，
，
，
．
故选：．
取的中点，连接、，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出、，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在四边形中，
，
，故正确；
如图，延长至，使，连接，，

，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形的面积，
，
，故正确；
，
，故正确；
，
，故错误；
综上所述：其中一定正确的是．
故选：．
根据四边形内角和等于可以判断正确；延长至，使，连接，，证明≌，可得，，证明是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可逐一进行判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的算术平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根的定义解答即可．
本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，，的众数是，
，
这组数据的平均数是：．
故答案为：．
根据众数的概念先得出的值，再利用算术平均数的概念求解即可．
本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有一个解是，
且，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程有一个解是，可以求得的值，本题得以解决．
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，求出的值，注意一元二次方程中二次项系数不等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，

菱形的边长为，一个内角为，
是等边三角形，
，
，，，
，
，
．
故答案为：．
一个内角是，则与它相邻的角为，则较短对角线与两边组成等边三角形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半填空即可．
本题考查了菱形的对角线互相垂直且平分的性质，根据一个内角是，判断出较短的对角线与两邻边够成等边三角形是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：设点的坐标为，
点为直线上的一点，
，
点到轴距离是它到轴距离的倍，
得，
当时，代入得，，，即点坐标为，
当时，代入得，，，即点坐标为，
点的坐标为或
故答案为：或
设点的坐标为，则，由点到轴距离是它到轴距离的倍得，分别把，代入式即可求得点的坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，是基础题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
在▱中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：延长交轴于点，过点作轴于点，轴于点，
▱的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
延长交轴于点，过点作轴于点，轴于点，利用反比例函数系数的几何意义求得，得出．
本题考查了反比例函数系数的几何意义与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数的几何意义是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：延长交的延长线于点，连接，过点作于点，如图所示：
则，
在平行四边形中，，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
根据勾股定理，得，
，
或舍去，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
是的中点，
，
，
，
故答案为：．
延长交的延长线于点，连接，过点作于点，根据平行四边形的性质可得，，进一步可证≌，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再求出和的长，在中，根据勾股定理求出的长，再根据，可得的长．
本题考查了平行四边形的性质，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；




． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先化简，然后计算乘法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
．
，
或，
，． 

【解析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，三角形即为所求．

如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，
则平行四边形即为所求．
 

【解析】根据中心对称的性质作图即可．
延长至点，使，延长至点，使，连接，，即可．
本题考查中心对称、平行四边形的判定与性质，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，分别是和的角平分线，
，，
，
≌；
解：当时，四边形是矩形，理由如下：
由可知，≌，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
又，平分，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】由平行四边形的性质得，，，，则，再证，然后由证明≌即可；
先证四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意得：，
即；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：该商品的销售单价是元时，商家每天获利元；
商家每天的获利不能达到元，理由如下：
假设商家每天的获利能达到元，
根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
假设不成立，即商家每天的获利不能达到元． 

【解析】利用每天销量，可得出关于的函数关系式；
利用总利润每个的销售利润每天的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
商家每天的获利不能达到元，假设商家每天的获利能达到元，利用总利润每个的销售利润每天的销售量，可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出假设不成立，即商家每天的获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
矩形是正方形；
解：过点作交于点，连接，如图所示：

，
，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
，
，，
，，，
，
根据勾股定理，得，
解得，
，
，
根据勾股定理，得，
，，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据矩形的性质得出，进而利用证明≌，利用全等三角形的性质和正方形的判定即可得证；
过点作交于点，连接，易证≌，根据全等三角形的性质可得，设，根据勾股定理列方程，求出的长度，进一步可得的长度，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得．
本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形得性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，延长交轴于，
作轴于，轴于，轴正半轴取一点
轴，
，
，
，
，
，
≌，
，
点的坐标为，
，，
，
，
的面积和的面积相等．
，
点的坐标为，
，
，
，
轴，轴，
∽，
：：，即：：，
，
，
，
．
故答案为：．

根据条件先证出，所以≌，求出长，根据等面积求出，再利用相似求出，再求出点坐标即可．
本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，三角形全等及相似的应用是解题关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，如图，

根据题意可知，点是在以为圆心，为直径的圆弧上运动，
和的长度是定值，
当、、三点在同一条直线上时，取得最小值，
四边形是边长为的正方形，
，，
，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
取的中点，连接，根据题意可知，点是在以为圆心，为直径的圆弧上运动，且和的长度是定值，因此当、、三点在同一条直线上时，取得最小值，根据勾股定理求出，则的最小值为．
本题考查了正方形的性质、勾股定理，根据题意得出点是在以为圆心，为直径的圆弧上运动，且当、、三点在同一条直线上时，取得最小值是解题关键．