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    第五章 数列

    要点1 等差数列

    定义

    一般地如果数列{an}从第2项起每一项与它的前一项之差都等于同一个常数dan1and恒成立则称{an}为等差数列其中d称为等差数列的公差

    等差

    中项

    xAy成等差数列Axy的等差中项2Axy

    通项

    公式

    ana1(n1)d.或anam(nm)d

    等差

    数列

    的性

    数列{an}是公差为d的等差数列则:

    (1)d(nm)

    (2)stpqasatapaq(stpqN)

    特别地,①2spq2asapaq

    有穷等差数列中与首末两项等距离的两项之和都相等都等于首末两项的和a1ana2an1aian1i

    (3)下标成等差数列的项akakmak2m,…组成以md为公差的等差数列.

    (4)数列{tanλ}(tλ是常数)是公差为td的等差数列.

    (5)若数列{bn}为等差数列则数列{tan±λbn}(tλ是常数)仍为等差数列

    n

    项和

    公式

    首项为a1公差为d项数为n的等差数列{an}的前n项和为Snna1

    n

    项和

    的性

    (1)项数的等和性质:Sn

    (2)若等差数列共有2n1S2n1(2n1)an

    若等差数列共有2nS2nn(anan1)

    (3)与项数有关的奇偶性质(SS分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和)

    若等差数列的项数为2nSSnd

    若等差数列的项数为2n1SSan(SnanS(n1)an)

    (4)已知等差数列{an}{bn}的前n项和分别为SnTn·

    (5)片段和性质:等差数列{an}公差为dk项的和为SkSkS2kSkS3kS2k,…,SmkS(m1)k,…构成公差为k2d的等差数列.

    (6)数列是等差数列首项为a1公差为等差数列{an}公差的一半

    要点2 等比数列

    定义

    一般地如果数列{an}从第2项起每一项与它的前一项之比都等于同一个常数qq恒成立则称{an}为等比数列其中q称为等比数列的公比

    等比

    中项

    xGy成等比数列Gxy的等比中项G2xy(xyG均不为零)

    通项

    公式

    ana1qn1anam·qnm

    等比

    数列

    的性

    若数列{an}是公比为q的等比数列

    (1)stpqstpqNasatapaq

    特别地:2spqaapaq

    a1ana2an1aian1i(nNn2i12,…,n)

    (2)mnp(mnpN)成等差数列amanap成等比数列.

    (3)数列{λan}(λ0)仍是公比为q的等比数列;

    数列是公比为的等比数列;

    数列{|an|}是公比为|q|的等比数列;

    若数列{bn}是公比为q的等比数列则数列{an·bn}是公比为q·q的等比数列.

    (4)在数列{an}每隔k(kN)项取出一项按原来的顺序排列所得数列仍为等比数列且公比为qk1

    (5)已知b>0b1如果数列{an}是以d为公差的等差数列那么数列{ban}是以bd为公比的等比数列.

    如果数列{an}是各项均为正且公比为q的等比数列那么数列{logban}是以logbq为公差的等差数列

    n

    项和

    公式

    设等比数列{an}的首项为a1公比为q{an}的前n项和公式为Sn

    n

    项和

    的性

    (1)q1;当q±1

    (2)SnmSmqmSnSnqnSm

    (3)SS分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2nq;若项数为2n1q

    (4)q1连续m项的和(SmS2mSmS3mS2m,…)仍组成等比数列(公比为qmm2)

    要点3 求数列前n项和的方法

    裂项

    相消

    裂项相消法求和的关键是能将数列的通项分裂为两个结构相同的式子之差的形式.求和时或是相邻项相消求和或是隔项相消求和需要在前后多呈现几项找出相消的规律确保正确求和.常见的裂项类型与方法如下:

    (1)an(t0)

    (2)an

    (3)anlogaloga(n1)logan

    (4)an

    (5)an

    错位

    相减

    当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时可使用错位相减法求数列的前n项和.

    设数列{an}为等差数列公差为d;数列{bn}为等比数列公比为q(q1);数列{anbn}的前n项和为Tn.则Tn的求解步骤如下:

    (1)列出和式Tna1b1a2b2a3b3anbn

    (2)两边同乘以公比qqTna1b1qa2b2qa3b3qanbnqa1b2a2b3a3b4anbn1

    (3)两式相减(错位相减)并求和:

    (1q)Tna1b1(a2b2a1b2)(a3b3a2b3)(anbnan1bn)anbn1a1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1d×anbn1

    (4)两边同除以(1q)即得数列{anbn}的前n项和Tn

    分组

    求和

    分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cnanbn的形式的数列求和问题其中数列{an}{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列.基本的解题步骤为:

    (1)准确拆分根据通项公式的特征将其分解为可以直接求和的一些数列的和;

    (2)分组求和分别求出各个数列的和;

    (3)得出结论对拆分后每个数列的和进行求和解决原数列的求和问题

    第六章 导数及其应用

    要点1 导数的几何意义

    几何

    意义

    函数yf(x)xx0处的导数f′(x0)就是曲线yf(x)在点(x0f(x0))处的切线的斜率k

    kf′(x0)

    切线

    方程

    (1)曲线yf(x)在点P(x0y0)处的切线方程为yf′(x0)(xx0)y0

    (2)求曲线yf(x)过点P(x0y0)的切线方程的步骤:

    设切点为A(xAf(xA))求切线的斜率kf′(xA)写出切线方程(含参)

    把点P(x0y0)的坐标代入切线方程建立关于xA的方程解得xA的值进而求出切线方程

    要点2 基本初等函数的导数公式

    函数

    导数

    f(x)C(C为常数)

    f′(x)0

    f(x)xα

    f′(x)αxα1

    f(x)ax(a>0a1)

    f′(x)axln a

    f(x)ex

    f′(x)ex

    f(x)logax(a>0a1)

    f′(x)

    f(x)ln x

    f′(x)

    f(x)sin x

    f′(x)cos x

    f(x)cos x

    f′(x)=-sin x

    要点3 导数的四则运算法则及复合函数的导数

    和差的导数

    [f(xg(x)]f′(xg′(x)可推广为[f1(xf2(x±fn(x)]f1(xf2(x±fn(x)

    乘积的导数

    [f(x)g(x)]f′(x)g(x)f(x)g′(x)

    特别地,[Cf(x)]Cf′(x)

    商的导数

    特别地=-

    复合函

    数的导

    一般地对于由函数yf(u)ug(x)复合而成的函数yh(x)f(g(x))它的导数与函数yf(u)ug(x)的导数间的关系为h′(x)[f(g(x))]f′(u)g′(x)f′(g(x))g′(x)也可以表示为yxyuux

    要点4 导数的应用

    导数与函数的单调性

    增函数

    如果在区间(ab)f′(x)>0那么f(x)(ab)上是增函数

    减函数

    如果在区间(ab)f′(x)<0那么f(x)(ab)上是减函数

    导数与

    函数的

    极值

    一般地设函数f(x)x0处可导f′(x0)0

    (1)如果对于x0左侧附近的任意x都有f′(x)>0对于x0右侧附近的任意x都有f′(x)<0左正右负”,那么此时x0f(x)的极大值点.

    (2)如果对于x0左侧附近的任意x都有f′(x)<0对于x0右侧附近的任意x都有f′(x)>0左负右正”,那么此时x0f(x)的极小值点.

    (3)如果f′(x)x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)左右同号”,x0一定不是yf(x)的极值点.

    提醒:可导函数yf(x)xx0处取得极值则它在xx0处的导数值等于0;但导数值为0的点不一定是函数的极值点.因此f′(x0)0是函数yf(x)xx0处取得极值的必要不充分条件

    导数与

    函数的

    最值

    一般地如果函数yf(x)在定义域(ab)内的每一点都可导且函数存在最值则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数yf(x)的定义域为[ab]且存在最值函数yf(x)(ab)内可导那么函数的最值点要么是区间端点ab要么是极值点.

    所以求函数yf(x)在区间[ab]上的最大值与最小值的步骤如下:

    (1)求函数yf(x)在区间(ab)上的极值;

    (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)f(b)比较其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值.

    提醒:当可导函数在区间(ab)内只有一个极值时若该极值为极大()则该极大()值即函数的最大()这里的区间(ab)也可以是无穷区间

    不等式

    恒成立

    的依据

    (1)不等式f(x)0在定义域内恒成立等价于f(x)min0

    (2)不等式f(x)0在定义域内恒成立等价于f(x)max0

    (3)不等式f(x)>g(x)x(ab)恒成立等价于F(x)f(x)g(x)>0x(ab)恒成立

     

     

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