人教B版高中数学选择性必修第三册全书要点速记课件+学案

定义

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差

等差

中项

x，A，y成等差数列⇔A是x，y的等差中项⇔2A＝x＋y

通项

公式

an＝a1＋(n－1)d．或an＝am＋(n－m)d

等差

数列

的性

质

数列{an}是公差为d的等差数列，则：

(1)d＝(n≠m)．

(2)若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)．

特别地，①若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq；

②有穷等差数列中，与首末两项等“距离”的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…．

(3)下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以md为公差的等差数列．

(4)数列{tan＋λ}(t，λ是常数)是公差为td的等差数列．

(5)若数列{bn}为等差数列，则数列{tan±λbn}(t，λ是常数)仍为等差数列

前n

项和

公式

首项为a1，公差为d，项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn＝＝na1＋

前n

项和

的性

质

(1)项数的“等和”性质：Sn＝＝．

(2)若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an；

若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)．

(3)与项数有关的“奇偶”性质(S奇，S偶分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和)：

①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；

②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．

(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·．

(5)“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．

(6)数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半

定义

一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比

等比

中项

x，G，y成等比数列⇔G是x，y的等比中项⇔G2＝xy(x，y，G均不为零)

通项

公式

an＝a1qn－1或an＝am·qn－m

等比

数列

的性

质

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

(1)若s＋t＝p＋q，s，t，p，q∈N＋，则asat＝apaq．

特别地：①若2s＝p＋q，则a＝apaq；

②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i(n∈N＋，n≥2，i＝1，2，…，n)．

(2)若m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．

(3)数列{λan}(λ≠0)仍是公比为q的等比数列；

数列是公比为的等比数列；

数列{|an|}是公比为|q|的等比数列；

若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列．

(4)在数列{an}中，每隔k(k∈N＋)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1．

(5)已知b>0且b≠1，如果数列{an}是以d为公差的等差数列，那么数列{ban}是以bd为公比的等比数列．

如果数列{an}是各项均为正且公比为q的等比数列，那么数列{logban}是以logbq为公差的等差数列

前n

项和

公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和公式为Sn＝

前n

项和

的性

质

(1)当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝．

(2)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm．

(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q．

(4)当q≠－1时，连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(公比为qm，m≥2)

裂项

相消

法

裂项相消法求和的关键是能将数列的通项分裂为两个结构相同的式子之差的形式．求和时或是相邻项相消求和，或是隔项相消求和，需要在前后多呈现几项，找出相消的规律，确保正确求和．常见的裂项类型与方法如下：

(1)an＝＝(t≠0)；

(2)an＝＝－；

(3)an＝loga＝loga(n＋1)－logan；

(4)an＝＝；

(5)an＝＝－

错位

相减

法

当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用错位相减法求数列的前n项和．

设数列{an}为等差数列，公差为d；数列{bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{anbn}的前n项和为Tn．则Tn的求解步骤如下：

(1)列出和式Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn．

(2)两边同乘以公比q：qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1．

(3)两式相减(错位相减)并求和：

(1－q)Tn＝a1b1＋(a2b2－a1b2)＋(a3b3－a2b3)＋…＋(anbn－an－1bn)－anbn＋1＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d×－anbn＋1．

(4)两边同除以(1－q)即得数列{anbn}的前n项和Tn

分组

求和

法

分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cn＝an＋bn的形式的数列求和问题，其中数列{an}与{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列．基本的解题步骤为：

(1)准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；

(2)分组求和，分别求出各个数列的和；

(3)得出结论，对拆分后每个数列的和进行求和，解决原数列的求和问题

几何

意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，

即k＝f′(x0)＝

切线

方程

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋y0．

(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤：

①设切点为A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程(含参)；

②把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程

函数

导数

f(x)＝C(C为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xα

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝ax(a>0，且a≠1)

f′(x)＝axln a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a>0，且a≠1)

f′(x)＝

f(x)＝ln x

f′(x)＝

f(x)＝sin x

f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x

f′(x)＝－sin x

和差的导数

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，可推广为[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)

乘积的导数

[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，

特别地，[Cf(x)]′＝Cf′(x)

商的导数

′＝，

特别地，′＝－

复合函

数的导

数

一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝h(x)＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)，也可以表示为y′x＝y′uu′x

导数与函数的单调性

增函数

如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，那么f(x)在(a，b)上是增函数

减函数

如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，那么f(x)在(a，b)上是减函数

导数与

函数的

极值

一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0．

(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，即“左正右负”，那么此时x0是f(x)的极大值点．

(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，即“左负右正”，那么此时x0是f(x)的极小值点．

(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，即“左右同号”，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．

提醒：可导函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值，则它在x＝x0处的导数值等于0；但导数值为0的点不一定是函数的极值点．因此，f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件

导数与

函数的

最值

一般地，如果函数y＝f(x)在定义域(a，b)内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点．

所以，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

提醒：当可导函数在区间(a，b)内只有一个极值时，若该极值为极大(小)值，则该极大(小)值即函数的最大(小)值，这里的区间(a，b)也可以是无穷区间

不等式

恒成立

的依据

(1)不等式f(x)≥0在定义域内恒成立，等价于f(x)min≥0；

(2)不等式f(x)≤0在定义域内恒成立，等价于f(x)max≤0；

(3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F(x)＝f(x)－g(x)>0，x∈(a，b)恒成立