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陕西省安康市汉阴县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份陕西省安康市汉阴县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空題，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省安康市汉阴县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（ ）
A．∠AOD B．∠AOC C．∠AOB D．∠BOC
3．已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
4．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤ B．a≥ C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0
5．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝52 B．60（1﹣x）2＝52
C．60（1﹣x2）＝52 D．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52
7．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，连接OA，OC，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，且P、Q、M三点互不重合，若2am+b＝0，且m＜1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2≤y3 D．y3≤y2＜y1
二、填空題（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知关于x的方程x2+ax＝0，若该方程的一个根为3，则a的值为 ．
10．如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转 °．
11．某公园草坪上有一个草坪喷灌器OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱类似于抛物线，且形状相同．如图是该喷灌器喷水时的截面图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为最远的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5．则喷灌器OA的高度是 m．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ．
13．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为 ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上，求抛物线的解析式．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）．
（1）以点O为对称中心，在坐标系中画出与△ABC中心对称的图形△A1B1C1．
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝5，求m的值．
18．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数．
19．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，当n＝m﹣3时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+2．
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转30°后得到△COD，若CD恰CA好经过点A，且OC⊥OB，求∠B的度数．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝x2+bx+c经过点（1，4）和（0，7）．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
23．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
25．已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？
26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
∴C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（ ）
A．∠AOD B．∠AOC C．∠AOB D．∠BOC
【分析】根据旋转的性质进行判断．
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴旋转角为∠AOC或∠BOD．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3．已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝3，此题得解．
解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴a+b＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
4．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤ B．a≥ C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0的Δ≥0．
解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0．
解得a≤且a≠0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，
∴，
解得，
∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．
6．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝52 B．60（1﹣x）2＝52
C．60（1﹣x2）＝52 D．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52
【分析】降价率问题，一般用两次降价后的量＝降价前的量×（1﹣降价率）2，根据“由原来每盒60元下调到每盒52元”，即可得出方程．
解：设平均每次下调的百分率为x，
第一次下调到60（1﹣x%），
第二次下调到60（1﹣x%）（1﹣x%），
即60（1﹣x）2＝52．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
7．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，连接OA，OC，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
【分析】先利用圆周角定理可得：∠ABC＝∠AOC，再结合已知可得∠AOC＝50°，然后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答．
解：∵∠ABC＝∠AOC，∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，且P、Q、M三点互不重合，若2am+b＝0，且m＜1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2≤y3 D．y3≤y2＜y1
【分析】根据解析式求得开口向下，对称轴直线x＝m＜1，然后根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，即可得到答案．
解：2am+b＝0，且m＜1，
∴m＝﹣＜1，
∵a＜0，
∴开口向下，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，
∴点Q（3，y2）到对称轴的距离最大，点M（m，y3）在对称轴上，且P、Q、M三点互不重合
∴y2＜y1＜y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．
二、填空題（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知关于x的方程x2+ax＝0，若该方程的一个根为3，则a的值为 ﹣3． ．
【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程x2+ax＝0中得：32+3a＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
把x＝3代入方程x2+ax＝0中得：
32+3a＝0，
∴3a＝﹣9，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
10．如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转 60 °．
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
【点评】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质，属于中考常考题型．
11．某公园草坪上有一个草坪喷灌器OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱类似于抛物线，且形状相同．如图是该喷灌器喷水时的截面图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为最远的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5．则喷灌器OA的高度是 1.8 m．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出喷灌器OA的值．
解：当x＝0时，y＝﹣×（0﹣4）2+5＝1.8，
∴点A的坐标为（0，1.8），
∴喷灌器OA的高度是1.8m．
故答案为：1.8．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ﹣＜m＜ ．
【分析】根据根的情况可得Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，根据根与系数的关系可得2m＞﹣1，即可求出m的取值范围．
解：根据题意，Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，
解得m＜，
又∵x1x2＝2m＞﹣1，
解得m＞﹣，
∴实数m的取值范围是：﹣＜m＜．
故答案为：﹣＜m＜．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
13．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为 5 ．
【分析】如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．证明△AOT≌△COD（AAS），推出CD＝AT＝4，在Rt△COD中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求解．
解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．
∵＝，
∴CT⊥AE，
∴AT＝TE＝AE＝4，
∵∠ATO＝∠CDO＝90°，∠AOT＝∠COD，AO＝CO，
∴△AOT≌△COD（AAS），
∴CD＝AT＝4，
在Rt△COD中，OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的格线，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：由原方程得：（3x+1）（x﹣1）＝0，
可得3x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上，求抛物线的解析式．
【分析】将点坐标代入解析式求解得出a的值即可．
解：把点A（﹣4，2a﹣4）代入抛物线解析式y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，
得2a﹣4＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）﹣2a．
解得a＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）．
（1）以点O为对称中心，在坐标系中画出与△ABC中心对称的图形△A1B1C1．
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．
【分析】（1）根据关于原点对称的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝5，求m的值．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝5，得2m+1+3（m﹣2）＝5，
解得m＝2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
18．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数．
【分析】利用OA＝OB得到∠B＝∠BAO＝25°，再根据平行线的性质得到∠CAB＝∠B＝25°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
解：∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO＝25°，
∵OB∥AC，
∴∠CAB＝∠B＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质．
19．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，当n＝m﹣3时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由．
【分析】计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+8，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
解：方程有两个不相等的实数根，理由如下：
∵n＝m﹣3，
∴Δ＝m2﹣4n＝m2﹣4（m﹣3）＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴Δ＝（m﹣2）2+8＞0．
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+2．
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）y＝﹣x2+2x+2
＝﹣（x2﹣2x+1）+2+1
＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）y＝﹣（x﹣1）2+3，
∵a＝﹣1＜0，
∴二次函数图象的开口向下．对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转30°后得到△COD，若CD恰CA好经过点A，且OC⊥OB，求∠B的度数．
【分析】由旋转的性质得出OC＝OA，∠D＝∠B，∠COA＝∠DOB＝30°，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝75°，再求出∠AOD＝30°，由三角形的外角性质求出∠D，即可得出∠B．
解：由旋转的性质得：△OCD≌△OAB，
∴OC＝OA，∠D＝∠B，∠COA＝∠DOB＝30°，
∴∠C＝∠OAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴∠D＝∠OAC﹣∠AOD＝75°﹣30°＝45°，
∴∠B＝45°．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝x2+bx+c经过点（1，4）和（0，7）．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线C的解析式：
（2）根据平移规律写出抛物线C1的解析式，继而求得顶点坐标．
解：（1）把点（1，4）和（0，7）分别代入y＝x2+bx+c，得
．
解得．
故该抛物线C的解析式为：y＝x2﹣4x+7；
（2）由（1）知，抛物线C为y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3．
将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1的解析式为：y＝（x﹣2+5）2+3﹣1，即y＝（x+3）2+2
故抛物线C1的顶点坐标是（﹣3，2）．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，解题的过程中注意配方法的应用．
23．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
【分析】设每台学习机售价为x元，则每台学习机的销售利润为（x﹣1000）元，每天可售出（40﹣）台，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润＝每台的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设每台学习机售价为x元，则每台学习机的销售利润为（x﹣1000）元，每天可售出4+＝（40﹣）台，
依题意得：（x﹣1000）（40﹣）＝4200，
整理得：x2﹣3000x+2210000＝0，
解得：x1＝1300，x2＝1700．
答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元或1700元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）根据圆周角定理得到＝，根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝114°，根据等腰三角形的性质求出∠BDC，根据角平分线的定义解答．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
25．已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）直接利用菱形面积公式得出S与x之间的关系式；
（2）利用配方法求出最值即可．
解：（1）由题意可得：S＝x（40﹣x）＝﹣x2+20x，
∵x为对角线，
∴x＞0，40﹣x＞0，
即0＜x＜40；
（2）S＝x（40﹣x）＝﹣x2+20x，
＝﹣（x2﹣40x）
＝﹣[（x﹣20）2﹣400]
＝﹣（x﹣20）2+200，
即当x＝20时，菱形的面积最大，最大面积是200．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确运用配方法得出最值是解题关键．
26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质进行求解即可．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c得：
，
解之，得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）存在．由抛物线y＝﹣x2+x+4可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，
∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，
∴点P的坐标为（5，﹣）或（﹣3，﹣）；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，
∴点P的坐标为（3，）．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（5，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，掌握待定系数法求函数的解析式以及分类思想的应用是解题的关键．
2022-2023学年陕西省安康市汉阴县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（ ）
A．∠AOD B．∠AOC C．∠AOB D．∠BOC
3．已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
4．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤ B．a≥ C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0
5．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝52 B．60（1﹣x）2＝52
C．60（1﹣x2）＝52 D．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52
7．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，连接OA，OC，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，且P、Q、M三点互不重合，若2am+b＝0，且m＜1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2≤y3 D．y3≤y2＜y1
二、填空題（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知关于x的方程x2+ax＝0，若该方程的一个根为3，则a的值为 ．
10．如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转 °．
11．某公园草坪上有一个草坪喷灌器OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱类似于抛物线，且形状相同．如图是该喷灌器喷水时的截面图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为最远的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5．则喷灌器OA的高度是 m．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ．
13．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为 ．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上，求抛物线的解析式．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）．
（1）以点O为对称中心，在坐标系中画出与△ABC中心对称的图形△A1B1C1．
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝5，求m的值．
18．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数．
19．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，当n＝m﹣3时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+2．
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转30°后得到△COD，若CD恰CA好经过点A，且OC⊥OB，求∠B的度数．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝x2+bx+c经过点（1，4）和（0，7）．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
23．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
25．已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？
26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
∴C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（ ）
A．∠AOD B．∠AOC C．∠AOB D．∠BOC
【分析】根据旋转的性质进行判断．
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴旋转角为∠AOC或∠BOD．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3．已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝3，此题得解．
解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴a+b＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
4．若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤ B．a≥ C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0
【分析】当抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0的Δ≥0．
解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0．
解得a≤且a≠0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，
∴，
解得，
∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．
6．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（ ）
A．60（1﹣2x）＝52 B．60（1﹣x）2＝52
C．60（1﹣x2）＝52 D．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52
【分析】降价率问题，一般用两次降价后的量＝降价前的量×（1﹣降价率）2，根据“由原来每盒60元下调到每盒52元”，即可得出方程．
解：设平均每次下调的百分率为x，
第一次下调到60（1﹣x%），
第二次下调到60（1﹣x%）（1﹣x%），
即60（1﹣x）2＝52．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
7．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，连接OA，OC，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
【分析】先利用圆周角定理可得：∠ABC＝∠AOC，再结合已知可得∠AOC＝50°，然后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答．
解：∵∠ABC＝∠AOC，∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，且P、Q、M三点互不重合，若2am+b＝0，且m＜1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2≤y3 D．y3≤y2＜y1
【分析】根据解析式求得开口向下，对称轴直线x＝m＜1，然后根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，即可得到答案．
解：2am+b＝0，且m＜1，
∴m＝﹣＜1，
∵a＜0，
∴开口向下，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）三点，
∴点Q（3，y2）到对称轴的距离最大，点M（m，y3）在对称轴上，且P、Q、M三点互不重合
∴y2＜y1＜y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．
二、填空題（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知关于x的方程x2+ax＝0，若该方程的一个根为3，则a的值为 ﹣3． ．
【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程x2+ax＝0中得：32+3a＝0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
把x＝3代入方程x2+ax＝0中得：
32+3a＝0，
∴3a＝﹣9，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
10．如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转 60 °．
【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
【点评】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质，属于中考常考题型．
11．某公园草坪上有一个草坪喷灌器OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱类似于抛物线，且形状相同．如图是该喷灌器喷水时的截面图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为最远的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5．则喷灌器OA的高度是 1.8 m．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出喷灌器OA的值．
解：当x＝0时，y＝﹣×（0﹣4）2+5＝1.8，
∴点A的坐标为（0，1.8），
∴喷灌器OA的高度是1.8m．
故答案为：1.8．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1x2＞﹣1，则实数m的取值范围为 ﹣＜m＜ ．
【分析】根据根的情况可得Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，根据根与系数的关系可得2m＞﹣1，即可求出m的取值范围．
解：根据题意，Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，
解得m＜，
又∵x1x2＝2m＞﹣1，
解得m＞﹣，
∴实数m的取值范围是：﹣＜m＜．
故答案为：﹣＜m＜．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
13．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为 5 ．
【分析】如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．证明△AOT≌△COD（AAS），推出CD＝AT＝4，在Rt△COD中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求解．
解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．
∵＝，
∴CT⊥AE，
∴AT＝TE＝AE＝4，
∵∠ATO＝∠CDO＝90°，∠AOT＝∠COD，AO＝CO，
∴△AOT≌△COD（AAS），
∴CD＝AT＝4，
在Rt△COD中，OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的格线，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共13小题，计81分。解答应写出过程）
14．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：由原方程得：（3x+1）（x﹣1）＝0，
可得3x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上，求抛物线的解析式．
【分析】将点坐标代入解析式求解得出a的值即可．
解：把点A（﹣4，2a﹣4）代入抛物线解析式y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，
得2a﹣4＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）﹣2a．
解得a＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）．
（1）以点O为对称中心，在坐标系中画出与△ABC中心对称的图形△A1B1C1．
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，在坐标系中画出△A2B2C2．
【分析】（1）根据关于原点对称的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝5，求m的值．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝5，得2m+1+3（m﹣2）＝5，
解得m＝2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
18．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数．
【分析】利用OA＝OB得到∠B＝∠BAO＝25°，再根据平行线的性质得到∠CAB＝∠B＝25°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
解：∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO＝25°，
∵OB∥AC，
∴∠CAB＝∠B＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质．
19．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，当n＝m﹣3时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由．
【分析】计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+8，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
解：方程有两个不相等的实数根，理由如下：
∵n＝m﹣3，
∴Δ＝m2﹣4n＝m2﹣4（m﹣3）＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴Δ＝（m﹣2）2+8＞0．
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+2．
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）y＝﹣x2+2x+2
＝﹣（x2﹣2x+1）+2+1
＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）y＝﹣（x﹣1）2+3，
∵a＝﹣1＜0，
∴二次函数图象的开口向下．对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转30°后得到△COD，若CD恰CA好经过点A，且OC⊥OB，求∠B的度数．
【分析】由旋转的性质得出OC＝OA，∠D＝∠B，∠COA＝∠DOB＝30°，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝75°，再求出∠AOD＝30°，由三角形的外角性质求出∠D，即可得出∠B．
解：由旋转的性质得：△OCD≌△OAB，
∴OC＝OA，∠D＝∠B，∠COA＝∠DOB＝30°，
∴∠C＝∠OAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴∠D＝∠OAC﹣∠AOD＝75°﹣30°＝45°，
∴∠B＝45°．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝x2+bx+c经过点（1，4）和（0，7）．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线C的解析式：
（2）根据平移规律写出抛物线C1的解析式，继而求得顶点坐标．
解：（1）把点（1，4）和（0，7）分别代入y＝x2+bx+c，得
．
解得．
故该抛物线C的解析式为：y＝x2﹣4x+7；
（2）由（1）知，抛物线C为y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3．
将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1的解析式为：y＝（x﹣2+5）2+3﹣1，即y＝（x+3）2+2
故抛物线C1的顶点坐标是（﹣3，2）．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，解题的过程中注意配方法的应用．
23．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
【分析】设每台学习机售价为x元，则每台学习机的销售利润为（x﹣1000）元，每天可售出（40﹣）台，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润＝每台的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设每台学习机售价为x元，则每台学习机的销售利润为（x﹣1000）元，每天可售出4+＝（40﹣）台，
依题意得：（x﹣1000）（40﹣）＝4200，
整理得：x2﹣3000x+2210000＝0，
解得：x1＝1300，x2＝1700．
答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元或1700元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）根据圆周角定理得到＝，根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝114°，根据等腰三角形的性质求出∠BDC，根据角平分线的定义解答．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
25．已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）直接利用菱形面积公式得出S与x之间的关系式；
（2）利用配方法求出最值即可．
解：（1）由题意可得：S＝x（40﹣x）＝﹣x2+20x，
∵x为对角线，
∴x＞0，40﹣x＞0，
即0＜x＜40；
（2）S＝x（40﹣x）＝﹣x2+20x，
＝﹣（x2﹣40x）
＝﹣[（x﹣20）2﹣400]
＝﹣（x﹣20）2+200，
即当x＝20时，菱形的面积最大，最大面积是200．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确运用配方法得出最值是解题关键．
26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质进行求解即可．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c得：
，
解之，得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）存在．由抛物线y＝﹣x2+x+4可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，
∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，
∴点P的坐标为（5，﹣）或（﹣3，﹣）；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，
∴点P的坐标为（3，）．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（5，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，掌握待定系数法求函数的解析式以及分类思想的应用是解题的关键．
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