2022-2023学年陕西省安康市汉阴县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省安康市汉阴县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，是由绕点按顺时针方向旋转而得，则旋转角为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，是方程的两根，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若抛物线与轴有公共点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒元下调至元，若设每次平均降价的百分率为，由题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，的顶点、、均在上，连接，，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知抛物线经过，，三点，且、、三点互不重合，若，且，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 已知关于的方程，若该方程的一个根为，则的值为______．
10. 如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转______

11. 某公园草坪上有一个草坪喷灌器，从点向四周喷水，喷出的水柱类似于抛物线，且形状相同．如图是该喷灌器喷水时的截面图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为最远的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为则喷灌器的高度是______

12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则实数的取值范围为______．
13. 如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为若，，则的半径为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    解方程：．
15. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中为常数，点在此抛物线上，求抛物线的解析式．
16. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
    以点为对称中心，在坐标系中画出与中心对称的图形．
    以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，在坐标系中画出．

17. 本小题分
    已知关于的一元二次方程若方程有两个实数根为，，且，求的值．
18. 本小题分
    如图，在中，，，求的度数．

19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程，当时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由．
20. 本小题分
    已知二次函数．
    将二次函数的解析式化为的形式，
    写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21. 本小题分
    如图，将绕点逆时针旋转后得到，若恰好经过点，且，求的度数．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点和．
    求抛物线的解析式；
    将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，求抛物线的顶点坐标．
23. 本小题分
    “双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低元，每天将多售出台，已知每台学习机的进价为元．如果该品牌学习机商店拟获利元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
24. 本小题分
    如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，．
    求证：．
    若等于，求的度数．

25. 本小题分
    已知菱形的两条对角线长度之和为厘米，面积单位：随其中一条对角线的长单位：的变化而变化．
    请直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
    当取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？
26. 本小题分
    如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
    求抛物线的解析式；
    点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
选项中的图形为中心对称图形，
故选：．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是由绕点按顺时针方向旋转而得，
旋转角为或．
故选：．
根据旋转的性质进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个根，
．
故选：．
根据根与系数的关系可得出，此题得解．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得且．
解得且．
故选：．
当抛物线与轴有公共点时，二次项系数不为零，且关于的一元二次方程的．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系．
决定抛物线与轴的交点个数．
时，抛物线与轴有个交点；
时，抛物线与轴有个交点；
时，抛物线与轴没有交点．
 

5.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，
解得，
点即在第三象限．
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出，的值是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设平均每次下调的百分率为，
第一次下调到，
第二次下调到，
即．
故选：．
降价率问题，一般用两次降价后的量降价前的量降价率，根据“由原来每盒元下调到每盒元”，即可得出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
先利用圆周角定理可得：，再结合已知可得，然后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，且，
，
，
开口向下，
抛物线经过，，三点，
点到对称轴的距离最大，点在对称轴上，且、、三点互不重合
．
故选：．
根据解析式求得开口向下，对称轴直线，然后根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，即可得到答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．
 

9.【答案】． 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：“雪花图案”可以看成正六边形，
正六边形的中心角为，
这个图案至少旋转能与原雪花图案重合．
故答案为：．
“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为，即可解决问题．
本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，
点的坐标为，
喷灌器的高度是．
故答案为：．
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出喷灌器的值．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，，
解得，
又，
解得，
实数的取值范围是：．
故答案为：．
根据根的情况可得，根据根与系数的关系可得，即可求出的取值范围．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，延长交于点设的半径为．

，
，
，
，，，
≌，
，
在中，，
，
，
的半径为．
故答案为：．
如图，连接，延长交于点设的半径为证明≌，推出，在中，根据，构建方程求解．
本题考查圆心角，弧，弦之间的格线，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：由原方程得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法．
首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
 

15.【答案】解：把点代入抛物线解析式，
得．
解得．
抛物线的解析式为． 

【解析】将点坐标代入解析式求解得出的值即可．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】根据关于原点对称的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

17.【答案】解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得． 

【解析】根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
． 

【解析】利用得到，再根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质．
 

19.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，理由如下：
，
，
，
．
，
方程有两个不相等的实数根． 

【解析】计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

20.【答案】解：

；
，
，
二次函数图象的开口向下．对称轴是直线，顶点坐标是． 

【解析】利用配方法把一般式化为顶点式即可；
根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

21.【答案】解：由旋转的性质得：≌，
，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质得出，，，由等腰三角形的性质得出，再求出，由三角形的外角性质求出，即可得出．
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：把点和分别代入，得
．
解得．
故该抛物线的解析式为：；

由知，抛物线为．
将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为：，即
故抛物线的顶点坐标是． 

【解析】利用待定系数法求得抛物线的解析式：
根据平移规律写出抛物线的解析式，继而求得顶点坐标．
本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，解题的过程中注意配方法的应用．
 

23.【答案】解：设每台学习机售价为元，则每台学习机的销售利润为元，每天可售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：该商店需要将每台学习机售价定为元或元． 

【解析】设每台学习机售价为元，则每台学习机的销售利润为元，每台可售出台，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润每台的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
；
解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
平分，
． 

【解析】根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线的定义解答．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意可得：，
为对角线，
，，
即；

，

，
即当时，菱形的面积最大，最大面积是． 

【解析】直接利用菱形面积公式得出与之间的关系式；
利用配方法求出最值即可．
此题主要考查了二次函数的应用，正确运用配方法得出最值是解题关键．
 

26.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
点，的坐标分别为，，
把点和点代入抛物线得：
，
解之，得，
抛物线的解析式为；
存在．由抛物线可得对称轴是直线．
是抛物线对称轴上的动点，
点的横坐标为．
当为边时，点到点的水平距离是，
点到点的水平距离也是．
点的横坐标是或，
点的坐标为或；

当为对角线时，点到点的水平距离是，

点到点的水平距离也是，
点的坐标为
综上所述，在抛物线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是或或 

【解析】先利用一次函数的性质求出、的坐标，然后把、的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质进行求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，掌握待定系数法求函数的解析式以及分类思想的应用是解题的关键．