河南省驻马店市泌阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份河南省驻马店市泌阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省驻马店市泌阳县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≤5 B．x≠5 C．x＞5 D．x≥5
2．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（　　）
A．1 B．8 C．7 D．2
3．下列计算中，正确的是（　　）
A．+＝ B．4﹣＝3 C．2×＝6 D．＝3
4．一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（　　）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若BF：FC＝2：3，AB＝15，则BD＝（　　）

A．6 B．9 C．10 D．12
7．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
8．在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F．AB＝8，BC＝6，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）

A．12 B．7 C．6 D．5
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第30次运动后，动点P的坐标是（　　）

A．（30，1） B．（30，0） C．（30，2） D．（31，0）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．计算：3÷＝　 　．
12．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是 　 　．
13．已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为 　 　．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为　 　．

三、解答题（共8小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）2tan45°﹣﹣2sin260°+．
17．根据要求解下列方程
（1）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）；
（2）3x2+5（2x﹣1）＝0．（用公式法）
18．请在如图所示的方格内（每个小表格的边长均为1）画出△ABC，使它的顶点都在格点上，且AC＝2，AB＝2，BC＝2，求：
（1）△ABC的面积；
（2）最长边上的高．

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
20．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．

21．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα＝ cosα＝ tanα＝
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45℃os30°﹣cos45°sin30°
＝
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：sin75°＝　 　；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．

22．皇帝柑广受各地消费者的青睐的优质新品种，某柑橘种植基地2019年种植皇帝柑100亩，到2021年皇帝柑的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当皇帝柑的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地皇帝柑的平均成本价为12元/千克，若使销售皇帝柑每天获利1750元，则售价应降低多少元？
23．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．
（1）当PQ∥BC时，求x的值．
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．



参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≤5 B．x≠5 C．x＞5 D．x≥5
【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．
解：依题意有：x﹣5≥0，
解得x≥5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点．
2．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（　　）
A．1 B．8 C．7 D．2
【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
解：关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项分别为4、1和﹣3．
所以一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是4+1﹣3＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
3．下列计算中，正确的是（　　）
A．+＝ B．4﹣＝3 C．2×＝6 D．＝3
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断．
解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
4﹣＝3，故B错误，不符合题意；
2×3＝18，，故C错误，不符合题意；
÷＝＝3，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
4．一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（　　）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】将x＝1代入原方程可得k﹣3＝0，解之即可得出k的值．
解：将x＝1代入原方程得（1﹣1）2+k﹣3＝0，
即k﹣3＝0，
解得k＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义得出cosB＝，再代入求出答案即可．
解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以cosB＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若BF：FC＝2：3，AB＝15，则BD＝（　　）

A．6 B．9 C．10 D．12
【分析】根据平行线分线段成比例可得＝＝，从而可得＝，再利用平行线分线段成比例得出＝，然后进行计算即可解答．
解：∵EF∥AB，BF：FC＝2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝9，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
7．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是18cm2即可列出方程．
解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（8﹣2x）•（5﹣2x）＝18，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
8．在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F．AB＝8，BC＝6，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长，易求EF的长度．
解：∵在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB＝8，
∴DE∥AB，DE＝AB＝4．
∴∠EDC＝∠ABC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠EDC＝2∠FBD．
∵在△BDF中，∠EDC＝∠FBD+∠BFD，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴FD＝BD＝BC＝×6＝3．
∴FE＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）

A．12 B．7 C．6 D．5
【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
解：∵在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN＝OM：PF，
∵EF＝x，MO＝3，PN＝4，
∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，
∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4），
∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，即x2﹣4x﹣3x+12＝12，
∴x＝0（不符合题意，舍去）或x＝7．
故选：B．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．
10．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第30次运动后，动点P的坐标是（　　）

A．（30，1） B．（30，0） C．（30，2） D．（31，0）
【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第30次运动后，动点P的坐标．
解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0，4个数一个循环，
因为30÷4＝7……2，
所以经过第30次运动后，
动点P的坐标是（30，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．计算：3÷＝　1　．
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算便可．
解：原式＝，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则是关键，易错点：违反只有乘除运算顺序（从左至右依次计算），而先计算后面的乘法，再算前面的除法．
12．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是 　27　．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+3a＝8，a+b＝﹣3，再将其代入3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）中即可求出结论．
解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝8，a+b＝﹣3，
∴3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）＝3×8﹣（﹣3）＝27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
13．已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为 　75°　．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，求出sinA＝，cosB＝，从而求出∠A和∠B的度数，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
解：由题意得：
sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　　．

【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：由题意得，DE＝1，BC＝3，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，
则AB＝＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：BD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为　或　．

【分析】先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC＝6，再根据折叠的性质得到BE＝DE，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，△ADE恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE＝90°，②∠AED＝90°，设BE＝x，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6．
直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，
根据折叠的性质：BE＝DE
设BE＝x，则DE＝x，AE＝10﹣x
①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，
∴
∴
解得：x＝
②当∠AED＝90°时，
则△AED∽△ACB
∴
∴
解得：x＝
故所求BE的长度为：或．
故答案为：或．

【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）2tan45°﹣﹣2sin260°+．
【分析】（1）先算除法与乘法，再算减法即可；
（2）代入特殊角的三角函数值，再进行相应的运算即可．
解：（1）
＝
＝；
（2）2tan45°﹣﹣2sin260°+
＝2×1﹣﹣2×（）2+
＝2﹣2﹣2×+
＝2﹣2﹣
＝0．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，解答的关键是熟记特殊角的三角函数值．
17．根据要求解下列方程
（1）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）；
（2）3x2+5（2x﹣1）＝0．（用公式法）
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
解：（1）方程整理得：x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）方程整理得：3x2+10x﹣5＝0，
这里a＝3，b＝10，c＝﹣5，
∵Δ＝102﹣4×3×（﹣5）＝100+60＝160＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．请在如图所示的方格内（每个小表格的边长均为1）画出△ABC，使它的顶点都在格点上，且AC＝2，AB＝2，BC＝2，求：
（1）△ABC的面积；
（2）最长边上的高．

【分析】（1）结合无理数尝试依次画出相应图形即可；
（2）由图中可以看出AC边上的高2，利用等积法求得最长边上的高即可．
解：（1）如图：

S△ABC＝×2×2＝2．
（2）根据图形知：AC边上的高为2，设AB边上的高为h，
根据题意得：AB×h＝2×2，
解得：h＝．
【点评】此题考查了二次根式的应用，所求的线段为无理数，通常整理为边长为有理数的直角三角形的斜边长；三角形一边上的高为三角形的面积的2倍除以这个边长．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
20．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝8，CE＝3，求△ABC的周长．

【分析】（1）先根据斜边上的中线性质得到DA＝DC，则∠A＝∠ACD，再根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CDE，所以∠A＝∠CDE，加上∠ACB＝∠DCE＝90°，则根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△DEC；
（2）先利用斜边上的中线性质得到CD＝AB＝4，再利用勾股定理计算出DE＝5，接着根据相似三角形的性质得到＝＝，然后求出AC、BC，从而得到△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵DC⊥CE，
∴∠DCE＝90°，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝4，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝5，
∵△ABC∽△DEC，
∴＝＝，即＝＝，
∴AC＝，BC＝，
∴△ABC的周长＝++8＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
21．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα＝ cosα＝ tanα＝
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45℃os30°﹣cos45°sin30°
＝
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：sin75°＝　　；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．

【分析】（1）根据公式可求．
（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．
解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cos45°+cos30°sin45°
＝×+×
＝，
故答案为：．

（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°＝＝
∴BC＝AB×＝4×＝
∵∠B＝90﹣∠A
∴∠B＝15°
∵sin∠B＝sin15°＝＝
∴AC＝AB×＝
【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．
22．皇帝柑广受各地消费者的青睐的优质新品种，某柑橘种植基地2019年种植皇帝柑100亩，到2021年皇帝柑的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当皇帝柑的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地皇帝柑的平均成本价为12元/千克，若使销售皇帝柑每天获利1750元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率为x，利用2021年皇帝柑的种植面积＝2019年皇帝柑的种植面积×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每千克的销售利润为（20﹣y﹣12）元，每天的销售量为（200+50y）千克，利用每天销售皇帝柑获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽量减少库存，即可得出结论．
解：（1）设该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝196，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率为40%．
（2）设售价应降低y元，则每千克的销售利润为（20﹣y﹣12）元，每天的销售量为（200+50y）千克，
依题意得：（20﹣y﹣12）（200+50y）＝1750，
整理得：y2﹣4y+3＝0，
解得：y1＝1，y2＝3．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝3．
答：售价应降低3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．
（1）当PQ∥BC时，求x的值．
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值；
（2）分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况．
解：（1）当PQ∥BC时，AP：AB＝AQ：AC，
∵AP＝4x，AQ＝30﹣3x，
∴，
解得：x＝；
即当x＝，PQ∥BC；
（2）能，
①当△APQ∽△CQB时，有，
即：，
解得：x＝，
∴AP＝4x＝（cm），
②当△APQ∽△CBQ时，有，
即：，
解得：x＝5或x＝﹣10（舍去），
∴PA＝4x＝20（cm），
综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．