浙江省温州市苍南县六校联考2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份浙江省温州市苍南县六校联考2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
2．下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．若不等式﹣3x＜1，两边同时除以﹣3，得（ ）
A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞D．x＜
4．将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
5．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，使△ABC≌△DFE，需添加一个条件，下列所给的条件及相应的判定定理不正确的是（ ）
A．AB＝DF（SAS）B．∠B＝∠F（AAS）
C．BC＝FE（SSA）D．∠ACB＝∠DEF（ASA）
6．给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①
7．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
8．如图，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20°B．60°C．50°D．40°
9．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画弧GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC．O为AC中点，OE⊥OD交AB于点E，EF⊥CD于点F，交AC于点M，BO的延长线交DC于点G．若，则下列结论正确的（ ）
①OE＝OD；
②BG＝CM；
③若AB＝10，则四边形AEOD的面积为25；
④OE：AD＝：1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝3，则点D到AB的距离是 ．
13．按照下面给定的计算程序，当x＝﹣2时，输出的结果是 ；使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 ．
15．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积是 cm2．
16．如图是长方形纸带a，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数为 度，再沿BF折叠成图c，则图中的∠CFE的度数是 度．
17．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为 ．
18．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为 ．
三、解答题（共46分）
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：
（1）在AB上找一点D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一点E，使BE平分∠ABC．
20．莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？
21．已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△DCE．
（2）若∠AGE＝80°，求∠AFE的度数．
22．如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝70°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
23．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
参考答案
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定BC的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵在△ABC中，PA＝100m，PB＝90m，
∴100﹣90＜AB＜100+90，
∴10＜AB＜190，
故点A与点B之间的距离可能是120m．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是明确三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
2．下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
3．若不等式﹣3x＜1，两边同时除以﹣3，得（ ）
A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞D．x＜
【分析】利用不等式的性质解答即可．
解：不等式﹣3x＜1，两边同时除以﹣3，得x＞﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
4．将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l1∥l2，则∠α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
【分析】依据平行线的性质，可得∠ABC，再根据∠CBD＝90°，即可得到∠α＝90°﹣30°＝60°．
解：如图所示，∵l1∥l2，
∴∠A＝∠ABC＝30°，
又∵∠CBD＝90°，
∴∠α＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，使△ABC≌△DFE，需添加一个条件，下列所给的条件及相应的判定定理不正确的是（ ）
A．AB＝DF（SAS）B．∠B＝∠F（AAS）
C．BC＝FE（SSA）D．∠ACB＝∠DEF（ASA）
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．AB＝DF，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
B．∠B＝∠F，∠A＝∠D，AC＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
C．∠A＝∠D＝90°，BC＝FE，AC＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL（不是SSA），能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意；
D．∠ACB＝∠DEF，AC＝DE，∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
6．给出下列命题：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对应相等的两个三角形全等，下列属于真命题的是（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①
【分析】利用三角形的三边关系、外角的性质、全等三角形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：①三角形任何两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
②三角形任何一外角等于不相邻的两内角之和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两边和夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有①，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′O
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、C、D选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故B选项错误，
所以，不一定正确的是B．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
8．如图，∠BAC＝100°，AB＞AC．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20°B．60°C．50°D．40°
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝100°，可求得∠B+∠C的度数，又由MP，NQ分别垂直平分AB，AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AP＝BP，AQ＝CQ，继而求得∠BAP+∠CAQ的度数，则可求得答案．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝80°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝20°．
故选：A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画弧GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】由作图步骤①，可知OC＝OD，利用等边对等角，可得出∠OCD＝∠ODC，在△OCD中，利用三角形内角和定理，可求出∠OCD的度数，由作图步骤②，可知DO＝DE，利用等边对等角，可求出∠DEO的度数，由∠OCD是△CDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠CDE的度数．
解：由作图步骤①可知：OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
在△OCD中，∠COD＝40°，∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCD＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°．
由作图步骤②可知：DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°．
∵∠OCD是△CDE的外角，
∴∠OCD＝∠DEC+∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD﹣∠DEC＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，根据作图的步骤，找出OC＝OD＝DE是解题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC．O为AC中点，OE⊥OD交AB于点E，EF⊥CD于点F，交AC于点M，BO的延长线交DC于点G．若，则下列结论正确的（ ）
①OE＝OD；
②BG＝CM；
③若AB＝10，则四边形AEOD的面积为25；
④OE：AD＝：1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质推导出∠OBE＝∠OAD，OB＝OA＝OC＝AC，∠BOE＝∠AOD＝90°﹣∠AOE，即可证明△BOE≌△AOD，得OE＝OD，可判断①正确；
由∠DOG＝∠EOM，∠ODG＝90°﹣∠DIF＝90°﹣∠OIE＝∠OEM，OD＝OE，可证明△ODG≌△OEM，得OG＝OM，则OG+OB＝OM+OC，所以BG＝CM，可判断②正确，
由S四边形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝S△AOE+S△BOE＝S△AOB＝S△ABC≠S△ABC，可判断③错误；
连接DE，设AD＝BE＝m，由＝，可推导出AB＝BC＝3m，AE＝AB﹣BE＝2m，则2OE2＝m2+（2m）2，得OE＝m，所以＝，可判断④正确，于是得到问题的答案．
解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠BCA＝45°，
∵O为AC中点，
∴BO⊥AC，∠OBE＝∠OBC＝∠ABC＝45°，
∴∠OBE＝∠OAD，OB＝OA＝OC＝AC，
∵OE⊥OD，
∴∠AOB＝∠DOE＝∠AOG＝90°，
∴∠BOE＝∠AOD＝90°﹣∠AOE，∠DOG＝∠EOM＝90°﹣∠AOD，
在△BOE和△AOD中，
，
∴△BOE≌△AOD（ASA），
∴OE＝OD，BE＝AD，
故①正确；
∵EF⊥CD于点F，
∴∠EFD＝90°，
∵∠DIF＝∠OIE，
∴∠ODG＝90°﹣∠DIF＝90°﹣∠OIE＝∠OEM，
在△ODG和△OEM中，
，
∴△ODG≌△OEM（ASA），
∴OG＝OM，
∴OG+OB＝OM+OC，
∴BG＝CM，
故②正确；
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△COB＝S△ABC，
∵S△AOD＝S△BOE，
∴S四边形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝S△AOE+S△BOE＝S△AOB＝S△ABC≠S△ABC，
故③错误；
连接DE，设AD＝BE＝m，
∵＝，
∴AB＝BC＝3m，
∴AE＝AB﹣BE＝2m，
∵∠DOE＝∠DAE＝90°，OE＝OD，
∴2OE2＝OE2+OD2＝AD2+AE2＝DE2，
∴2OE2＝m2+（2m）2，
∴OE＝m，
∴＝＝，
故④错误，
故选：B．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明△BOE≌△AOD及△ODG≌△OEM是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 76° ．
【分析】由尺规作图的作法得到∠AOB＝2∠α，代入数据即可得到答案．
解：由尺规作图可知，∠AOB＝2∠α，
∵∠α＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故答案为：76°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝3，则点D到AB的距离是 3 ．
【分析】作DM⊥AB于点M，由作图知AD平分∠BAC且CD＝3，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DM＝DC＝3．
解：如图所示，过点D作DM⊥AB于点M，
由作图知AD平分∠BAC，且CD＝3，
∴DM＝DC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
13．按照下面给定的计算程序，当x＝﹣2时，输出的结果是 1 ；使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是 7 ．
【分析】由运算程序可计算出当x＝2时，输出结果，求得使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是7．
解：当x＝﹣2时，第1次运算结果为2×（﹣2）+5＝1，
∴当x＝﹣2时，输出结果是1，
使代数式2x+5的值小于20的最大整数x是7，
故答案为：1，7．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，能够理解题意是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 17 ．
【分析】连接PC，如图，先由勾股定理得AC的长，再根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，则PA+PB＝PA+PC，根据三角形三边之间的关系得到PA+PC≥AC（当且仅当A、P、C共线时取等号），则PA+PC的最小值为AC的长，所以△ABP周长的最小值＝AB+AC．
解：连接PC，如图，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC＝＝12，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PA+PB＝PA+PC，
∵PA+PC≥AC（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴PA+PC的最小值为AC的长，
∴△ABP周长的最小值＝AB+AC＝5+12＝17．
故答案为：17．
【点评】此题考查的是轴对称﹣最短线路问题、线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
15．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积是 6 cm2．
【分析】根据周长列出关于另外两直角边的关系，再利用勾股定理列出另一关系，联立即可解得两直角边之积，再进行面积的计算．
解：设另外两直角边分别为x，y．
则x+y+5＝12 ①
x2+y2＝25②
①②联立解得xy＝12，
故直角三角形的面积为．
【点评】考查根据已知条件列方程的能力，并与直角三角形的面积结合起来进行简单应用．注意不需要解出两直角边的长．
16．如图是长方形纸带a，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数为 140 度，再沿BF折叠成图c，则图中的∠CFE的度数是 120 度．
【分析】由折叠知∠DEF＝∠GEF＝20°，根据平行线的性质可得∠AEF+∠GFE＝180°，然后再求∠CFE的度数．
解：∵∠DEF＝20°，
∴∠FEG＝20°，
∴∠AEG＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵AE∥BF，
∴∠AEF+∠GFE＝180°，
∵∠AEF＝180°﹣20°＝160°，
∴∠GFE＝20°，
∴∠CFE＝180°﹣20°×3＝120°，
故答案为：140；120．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数不变．
17．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为 ．
【分析】根据勾股定理可求AB＝10，由折叠的性质可得BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，根据勾股定理可求BE的长，DE的长．
解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，
∴BE＝AE，AD＝BD＝5，DE⊥AB，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2+CE2，
∴BE2＝36+（8﹣BE）2，
∴BE＝，
在Rt△BDE中，DE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
18．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为 ．
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．
解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
三、解答题（共46分）
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：
（1）在AB上找一点D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一点E，使BE平分∠ABC．
【分析】（1）取格点T，连接CT交AB于点D，点D即为所求；
（2）取格点P，连接AP，取AP的中点Q，连接BQ交AC于点E，点E即为所求．
【解答】解；（1）如图，点D即为所求；
（2）如图，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABD≌△ACD（SSS），进而得出答案．
解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AP平分∠BAC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确得出△ABD≌△ACD是解题关键．
21．已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB＝DC，∠B＝∠C，BE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△DCE．
（2）若∠AGE＝80°，求∠AFE的度数．
【分析】（1）由BE＝CF，两边加上EF，得到BF＝CE，利用SAS即可得证．
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴GE＝GF，
∵∠AGE＝80°，
∴∠EGF＝180°﹣80°＝100°，
∴∠AFE＝＝40°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
22．如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝70°．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据角平分线的定义求出∠ECB，再根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AF＝FC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴∠ECB＝∠ACB＝×50°＝25°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠ECB＝20°+25°＝45°；
（2）能求出BC的值，
理由如下：∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，
∴BC﹣AB＝3，
∵AB＝7，
∴BC＝3+7＝10．
【点评】本题考查的是三角形的高、中线、角平分线，掌握它们的概念是解题的关键．
23．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；
（2）设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，得∠E＝∠DCE＝60°﹣α，根据三角形内角和定理可得α＝15°，过D作DH⊥CE于H，根据等腰直角三角形的性质即可得DH的长，进而可得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】问题背景：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF＝FG，得到答案；
探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF＝AE+FB．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE＝∠AOB，利用结论EF＝AE+BF求解即可．
解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE＝DG，EF＝GF，
∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．
故答案为：EF＝BE+FD．
探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，
＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
【点评】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用．