专题06 平面向量及应用（亮点讲）

这是一份专题06 平面向量及应用（亮点讲），文件包含专题06平面向量及应用亮点讲解析版docx、专题06平面向量及应用亮点讲原卷版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共71页， 欢迎下载使用。

专题06 平面向量及应用
知识回顾
一、向量的概念及表示
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量、平行，记作．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有．
5．相等向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，则记作．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
7.向量的表示：
（1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
（2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同．也可以用两个大写的字母表示向量：（首字母为向量的起点，尾字母为向量的终点）
二、平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
交换律：

结合律：


减法
求与的相反向量
-的和的运算叫做与的差

三角形法则


三、向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下：
①|λ|＝|λ|||；
②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①；②；③.
3.向量共线定理：
如果有一个实数，使，那么与是共线向量；
反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使.
4.三点共线的性质定理：
(1)若平面上三点共线，则＝.
(2)若平面上三点共线，为不同于的任意一点，则＝＋，且＝1.
【温馨提示】(1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．
(3)两个重要的结论：
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
四、平面向量的基本定理及坐标表示：

1.平面向量基本定理
如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2.平面向量基本定理及其应用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.
用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．这对基底没有给定的情况下，合理的选取基底解决问题带来很多意想不到的便利.要熟练应用分点及中
点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
3.平面向量的坐标运算
1）平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2)平面向量的坐标表示:
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．
(2)若，则．
3）平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则，.
【温馨提示】
1.平面向量的坐标运算技巧：向量的坐标表示又是向量的代数表示，是向量数与形的完美结合.向量的坐标运算主要利用加、减、乘的运算法则进行的运算，如果已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量坐标，提示向量的坐标一定是有向线段的终点坐标减去起点坐标.
比如：，则
2.注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
五、平面向量的数量积：
一）主要公式：
1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=.
若=(,),=(,)，则·=.
2.向量的模：若=，则||=.
3.两向量的夹角余弦值：.
4.向量垂直的等价条件：.
二）主要知识点：
1.两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角．

（2） 夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，
夹角θ＝180°.
（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.
2.平面向量数量积：
（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，
即＝，其中θ是与的夹角．
规定.
当⊥时，θ＝90°，这时.
（2）的几何意义：
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
3.向量数量积的性质：
（1），.
（2）(θ为与的夹角).
（3）.
4.数量积的运算律
（1）交换律：.
（2）分配律：
（3）对.
5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：
（1）.
（2）.
（3）
（4）(θ为与的夹角).
六、常见的向量法解决简单的平面几何问题：
1.垂直问题:
(1)对非零向量与, .
(2)若非零向量 .
2.平行问题:
(1)向量与非零向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使得 .
(2)设是平面向量,则向量与非零向量共线 .
3.求角问题:
(1)设是两个非零向量,夹角记为,则 .
(2)若是平面向量,则 .
4.距离（长度）问题:
(1)设,则 ,即 .
(2)若,且,则 .
【答案】1.
2.(1),(2)
3.(1),(2).
4.(1)(2).
常考题型
1.平面向量的概念及线性运算：
【例题1-1】给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【自我提升】给出下列命题：
①两个长度相等的向量一定相等；
②零向量方向不确定；
③若为平行六面体，则；
④若为长方体，则．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例题1-2】设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．与共线 D．
【自我提升】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）

A． B． C． D．
【例题1-3】已知在边长为2的菱形中．．则________.
【自我提升】若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
【例题1-4】如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.

【例题1-5】化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例题1-6】已知，则的取值范围是__________．
【例题1-7】如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.

【例题1-8】如图所示，已知在矩形中，，.设，求.

【例题1-9】等于(　　)
A． B．
C． D．
【例题1-10】如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，C三点共线．


【例题1-11】已知向量，，且，求向量．
【例题1-12】在平行四边形中，点N在上，，M为中点，求证：M，N，C三点共线.
【自我提升1】设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.


【自我提升2】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则(　　)．
A． B． C． D．
【自我提升3】已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【自我提升4】已知向量，.求证：与是共线向量．
【自我提升5】如图，设为内一点，且，则与的面积之比为

A． B．
C． D．
2.平面向量的基本定理：
【例题2-1】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【例题2-2】设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与


【自我提升1】（多选题）是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
【自我提升2】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例题2-3】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）.
【自我提升】（多选题）四边形中，，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题2-4】如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．1
【自我提升】如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（　　）

A． B．
C． D．
3.平面向量的数量积及坐标运算：
【例题3-1】设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A． B．与不垂直
C． D．
【例题3-2】已知，，与的夹角是，计算：
（1）；
（2）.
【自我提升】已知，且，，，求的值.
【例题3-3】若，，，则______．
【自我提升】已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影的数量等于______．
【例题3-4】在中，，，，则______．
【例题3-5】已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：
（1）；
（2）；
（3）．

【例题3-6】在中，，，当时，判断的形状．
【自我提升】若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【例题3-7】以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（　　）
A． B．或 C． D．或
【自我提升】已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（ ）
A． B． C． D．
【例题3-8】已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【自我提升】已知向量，，若与反向共线，则的值为（       ）
A．0 B．48 C． D．
4. 平面向量的综合应用：
（1）在平面几何中的应用
【例题4-1】如图，已知四边形是梯形，，，，，分别是，，，的中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
【自我提升1】已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．
C．2 D．1
【自我提升2】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．

【例题4-2】设平面内四边形及任一点O，．．若且．则四边形的形状是_________．

【例题4-3】已知中，,边上的高为，求点和向量的坐标.
（2）在三角函数中的应用：
【例题4-4】已知向量，．设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，，，求（）的取值范围.
【例题4-5】在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（ ）
A． B． C． D．1

【自我提升】已知向量
（1）若，求的值； （2）若求的值。
【例题4-6】已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，
(1)若，求角的大小；
(2)在（1）的条件下，，求的最大值.
（3）在解析几何中的应用：
【例题4-7】椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是 .
【自我提升】已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．
（4）在物理学中的应用：
【例题4-8】
如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 .
]






【例题4-9】作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.

（1）求的大小；
（2）求的大小.
【自我提升】已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ）
A. B. C. D.
【自我提升1】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【自我提升2】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_________.
【自我提升3】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．














1. 设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
2. 已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
3. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 在△中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为( )
A． B． C． D．
5. 已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
7. 设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－ B．－
C． D．
8. 已知平面上三点A、B、C满足则的值等于（ ）
A．-25 B．-20 C．-15 D．-10
9. 已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
10.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．
11.在平行四边形ABCD中，，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=_______.
12.如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.

（1）求证：；
（2）求.
13.已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
14.已知是不共线的三点，且＝＋()．
(1)若＝1，求证：三点共线；
(2)若三点共线，求证：＝1.
15.在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
16.点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．

（1）用和表示和；
（2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值．
17.已知与的夹角为120°．
（1）求与的值；
（2）x为何值时，与垂直？
18.已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．