九年级数学中考专题训练——二次函数与面积问题

这是一份九年级数学中考专题训练——二次函数与面积问题
中考专题训练——二次函数与面积问题1．已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣x+4与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；(3)如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF//x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．(1)求点B的坐标．(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．3．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值；(3)如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．4．如图二次函数的图象与轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D(1)求二次函数的解析式；(2)写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；(3)若直线与轴的交点为点，连结，，求的面积5．抛物线的对称轴为直线，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y轴的交点为C，其中．(1)求出抛物线的解析式；(2)若抛物线上存在一点P，使得的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；(3)点M是线段上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段长度的最大值．6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B(﹣1，0)，且抛物线经过点D(2，﹣2)． (1)求抛物线的表达式；(2)若点E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标；(3)若点P是y轴上一点，以P，A，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．7．如图，已知抛物线的顶点C的坐标为，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作轴垂足为E，连接AP，PD．(1)求抛物线和直线AD的解析式；(2)求线段PN的最大值；(3)当的面积是的面积的时，求点P的坐标．8．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．(3)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线的解析式，并求出点B的坐标；(2)点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；(3)在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），与轴交于点，已知，，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点为下方抛物线上一动点，连接、，当时，求点的坐标；(3)如图2，点为线段上一点，求的最小值．11．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．(1)求二次函数的表达式；(2)连接PA，PC，求的最大值；(3)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．12．如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A（2，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图②，P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到，设点P的纵坐标为m．当在△OAB的内部时，求m的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使，若存在，求出满足条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m（m≠0）与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．(1)直接写出点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若△ABC的面积为6，求m的值；(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随x的增大而减小的部分为H．当直线AC与H总有两个公共点时，求h的取值范围．14．已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．15．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），连结AP并延长AP交抛物线于另一点Q，连结CQ，BQ，设点Q的横坐标为x．(1)①写出A，B，C的坐标：A（       ），B（       ），C（       ）；②求证：是直角三角形；(2)记的面积为S，求S关于x的函数表达式；(3)在点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的横坐标为4．(1)求抛物线的解析式与直线的解析式；(2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；(3)若点是抛物线上的点，且，请直接写出点的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是位于x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴，垂足为点E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)是否存在点P，使得以A、P、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，说明理由；(3)是否存在点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；(3)是抛物线的对称轴上一点，是抛物线上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．19．已知抛物线与x轴交于，两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是线段CD上的一个动点，过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作交抛物线于点F，连接FB，FC．①求面积最大值时，点P的坐标；②当面积等于最接近最大值的整数时，直接写出此时点P的坐标．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A(0，5)，B(5，0)，点P为抛物线上的一动点．(1)求二次函数的解析式；(2)如图，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，若点P在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D，连接PA，PC，当S四边形APCD＝时，求点P坐标；(3)设抛物线的对称轴与AB交于点M，点Q在直线AB上，当以点M、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．参考答案：1．(1)(2)P（,），最大面积为(3)M（2，8）或M（5，4）【分析】（1）将A（−1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，即可求解；（2）过点P作PG⊥x轴交直线CD于点G，设P（t，），则G（t，），由S△CDP＝S△PCG−S△PDG＝×PG×3＝−（t−）2＋，即可求解；（3）由题意可得FM＝5，设M（m，），则F（m−5，），再由F点在直线CD上，即可求m的值，进而确定M点的坐标．(1)解：将A（−1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，∴，∴， ∴(2)过点P作PG⊥x轴交直线CD于点G，设P（t，），则G（t，），，∴GP＝令y＝0，则x＝3，∴D（3，0），∵S△CDP＝S△PCG−S△PDG＝×PG×3＝−（t−）2＋，，∴当t＝时，S△CDP有最大值此时P（,）；(3)存在点M，使得△MEF≌△COD，理由如下：∵ME⊥CD，∴∠MEF＝90°，∵MF∥x轴，∴∠FME＝∠CDO，∵△MEF≌△COD，∴MF＝CD，∵OC＝4，OD＝3，∴CD＝5，∴FM＝5，设M（m，），则F（m−5，），∵F点在直线CD上，∴＝∴m＝2或m＝5，∴M（2，8）或M（5，4）．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键．2．(1)点B的坐标为(2)①；②或；③有最大值，点的坐标为，．【分析】（1）根据对称轴和点坐标直接求出点坐标即可；（2）①先根据对称轴求出，再用待定系数法求出，即可得出解析式；②设点坐标为，根据面积关系求出的值即可；③用待定系数法求出的解析式，设出点的坐标，根据的代数式求最值即可．（1）解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，、两点关于直线对称，点的坐标为，点的坐标为；（2）解：①时，抛物线的对称轴为直线，，解得，将代入，得，解得，抛物线的解析式为；②抛物线的解析式为，抛物线与轴的交点的坐标为，，设点坐标为，，，即，，解得，当时，，当时，，点的坐标为或；③有最大值，点的坐标为，，设直线的解析式为，将，代入，得，，解得，即直线的解析式为，设点坐标为，，则点坐标为，，当时，有最大值，此时，．【点评】本题主要考查二次函数的知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．3．(1)(2)，9(3)，或【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式；（2）设，根据，由二次函数的性质可得出结论；（3）分两种情形分别求解即可，①时，②时，设，利用面积法求出，根据相似三角形的性质．分别构建方程即可解决问题．（1）解：设抛物线的解析式为．将代入得：，解得，抛物线的解析式为，即；（2）设，、，，点在直线下方的抛物线上，，当时，最大是9，点的坐标为；（3）设，、，，，，，，，于点，，①时，，，解得：（与点重合，舍去），，点的坐标为，；②时，，，解得：（不合题意，舍去），，点的坐标为；综上，点的坐标为，或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．(1)(2)或(3)4【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A、B、C，即可解答本题；（2）根据题意可以求得点D的坐标，再根据函数图象即可解答本题；（3）根据题意作出辅助线，即可求得△ADE的面积．（1）∵二次函数 过，∴解得所以解析式为：（2）∴该函数的对称轴是直线x=-1，∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴点D（-2，3），∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1（3）连结AE，设直线BD：y＝mx＋n，代入B（1，0），D（−2，3）得，解得：，故直线BD的解析式为：y＝−x＋1把x＝0代入y＝−x＋1得，y=1，所以E（0，1），∴OE＝1，又∵AB＝4   【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．5．(1)(2)或(3)【分析】（1）函数的对称轴为：x＝1，点A（−1，0），则点B（3，0）；抛物线的解析式用两点式求解即可；（2）△POC的面积是△BOC的面积的2倍，则设P（x, ），利用面积求出则，即可求解；（3）易得直线BC的表达式，设出点M（x，x−3），则可得MD＝x−3−（x2−2x−3）＝−x2＋3x，然后求二次函数的最值即可．(1)抛物线的对称轴为，点坐标为，则点，二次函数表达式为：，∴，解得：，故抛物线的表达式为：(2)由题意得：，设P（x, ）则所以则， 所以当时，=21，当时，=45故点的坐标为或；(3)如图所示，将点坐标代入一次函数得表达式得，解得：，故直线的表达式为：，设：点坐标为，则点坐标为，则，故MD长度的最大值为．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，图形的面积计算以及二次函数的最值问题等，难度不大，熟练掌握相关知识点即可解答．6．(1)(2)E(，-1)(3)P点的坐标(0，2)或(0，﹣2)或(0，﹣2﹣)或(0，)【分析】（1）用待定系数法求解即可，将坐标代入表达式得解．（2）欲求三角形得面积，通过A、B两点得坐标，我们很轻松得得到AB得长度，同时E点纵坐标的绝对值就是新三角形的高，三角形的面积为2，通过面积公式，便可得解．因为抛物线的对称性，我们可以找到两个横坐标，又因为E点在第四象限，所以横坐标为正数，此题可解．（3）如图2，设P(0,m)，则PC =m+2，OA =3．根据勾股定理得到． ①当PA=CA时，则OP1= OC=2．②当PC = CA＝时，可得即m+2=，解方程即可求解．③当PC= CA= 时，可得m＝-2-， 于是得到结论．④当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，根据相似三角形性质得到．(1)把B(﹣1，0)，D(2，﹣2)代入中，得，解得：．  ∴ 抛物线的表达式为；(2)当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A(3，0)，∴AB＝4，如图1，过点E作x轴的垂线交x轴于点D，连接AE，BE．设点点E(t，)，其中0＜t＜3，∴∴，解得，(舍去)．此时，∴E(，-1)．(3)在中，当x＝0时，y＝﹣2，∴C(0，﹣2)∴OC＝2，如图2，设P(0，m)，则PC＝m+2，OA＝3，AC＝，①当PA＝CA时，则OP1＝OC＝2，  ∴P1(0，2)②当PC＝CA＝时，即m+2＝，∴m＝﹣2，∴P2(0，﹣2)③当PC＝CA＝时，，m＝﹣2﹣，∴P3(0，﹣2﹣)．④当PC＝PA时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOC∽△P4FC，  ∴∴ ∴P4C＝，∴，  ∴P4(0，)，      综上所述，P点的坐标(0，2)或(0，﹣2)或(0，﹣2﹣)或(0，)．【点评】本题考察了二次函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式，利用相似三角形的比例建立表达式，正确地作出辅助线也是解题的关键．7．(1)，(2)PN的最大值为(3)点P的坐标为或【分析】（1）利用顶点式写出二次函数解析即可；（2）设点P的坐标为，则点N的坐标为，则，根据二次函数的性质即可求得；（3）求得的面积，进而求得的面积为5，然后根据列出关于m的方程，解方程即可求得P点的坐标．(1)∵抛物线的顶点C的坐标为，∴抛物线的解析式为，即；令，则，解得或，∴A（﹣5，0），，令，则，∴，设直线AD的解析式为，则，解得∴直线AD的解析式为：；(2)设点P的坐标为，则点N的坐标为∴，∴PN的最大值为；(3)∵顶点C的坐标为，，，∴，∵的面积是的面积的，∴，∴，解得：或，则点P的坐标为或【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和三角形面积等知识，根据已知利用数形结合得出是解题关键．8．(1)．(2)存在Q（﹣1，2），理由见解析．(3)四边形BOCE面积的最大值为，此时E点的坐标为．【分析】（1）将和代入抛物线解析式中，利用待定系数法求解即可．（2）由已易得抛物线的对称轴为直线，由题意可知点A、B关于直线对对称，连接BC交直线x=1于点Q，则此时△QAC的周长最小，由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，把代入所求解析式中求得对应的值，即可得到点Q的坐标．（3）过点E作轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），根据割补法可找出S四边形EFOC = S△BEF + S四边形EFOC之间的关系，在利用配方法将函数关系式化为顶点式即可完成解题．（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得：，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．（2）解：存在Q（﹣1，2），理由如下：连接BC交对称轴于Q，如图：在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴C（0，3），而A（1，0），∴AC＝，要使得△QAC的周长最小，只需QC+AQ最小，又A、B关于对称轴对称，有QA＝QB，∴只需QC+QB最小即可，∴Q、B、C共线时，△QAC的周长最小，设直线BC解析式为y＝kx+t，则，解得，∴直线BC解析式为y＝x+3，令x＝﹣1得y＝2，∴Q（﹣1，2）．（3）解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图：设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），则F（a，0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a﹣（﹣3）＝a+3，OF＝0﹣a＝﹣a，∴S△BEF＝BF•EF＝（a+3）（﹣a2﹣2a+3），S四边形EFOC＝（OC+EF）•OF＝（﹣a2﹣2a+3+3）•（﹣a），∴S四边形BOCE＝S△BEF+S四边形EFOC＝，＝，，∴当时，S四边形BOCE最大，且最大值为，此时﹣a2﹣2a+3＝，∴点E坐标为．【点评】本题是二次函数综合运用，涉及利用待定系数法求二次函数的解析式、解一次函数解析式、由抛物线的对称性解求最短路径问题、将二次函数解析式化为顶点式解析式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．9．(1)，(2)(3)存在，点的坐标【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，进而点B的坐标可求；（2）先求直线的解析式，表示出、两点的坐标，利用纵坐标的差计算的长即可；（3）根据面积公式得：，的长是定值为3，所以的最大值即为面积的最大值，求所表示的二次函数的最值即可．（1）解：抛物线经过点，，两点，，，抛物线的解析式：；令y=0时，则有，解得：，∴点；（2）解：由（1）可知：，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，，又轴，，；（3）解：存在，连接CN、BN，如图所示：，当最大时，的面积最大，，当时，的有最大值为，所以当时，的面积最大，点的坐标，．【点评】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用铅直高度与水平宽度的积求三角形的面积，同时要熟练掌握二次函数的最值的求法．10．(1)(2)(3)的最小值【分析】（1）先根据，，求出，，利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入得出，解方程组即可；（2）用待定系数法求出直线BC的解析式，设，可求，先求出PD，△BOC的面积，根据列方程，解方程即可；（3）作点作NM⊥，垂足为点M，过A作AH⊥BC于H，先证为等腰直角三角形，，再证为等腰直角三角形得出，得出≥AH，根据点到直线距离距离最短得出当A、、M三点共线时，最小值=，求出，再证出为等腰直角三角形，，利用三角函数求解即可．（1）解：由得，．∵．∴．将，代入得：，解得，∴；（2）解：∵交于点，∴，设，将，分别代入，得，解得，∴，过点作轴，交轴于点，与的交点记为点，设，将代入，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，解得，∴；（3）解：作点作NM⊥，垂足为点M，过A作AH⊥BC于H，∵，∴为等腰直角三角形，∵NM⊥∴∠NMC=90°，∴∠CNM=90°-∠NCM=90°-∠OCB=45°，∴为等腰直角三角形，∴，∴≥AH，当A、、M三点共线时，最小值=，∵，∵∠ABH=45°，AH⊥BC，∴∠BAH=90°-∠ABH=45°=∠ABH，∴为等腰直角三角形，，∴∴的最小值【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积，一元二次方程解法，线段和最短，点到直线距离，锐角三角函数，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积，一元二次方程解法，线段和最短，点到直线距离，锐角三角函数是解题关键．11．(1)y＝﹣x2﹣3x＋4(2)8(3)y＝﹣x＋【分析】（1）先将点A和点B代入二次函数的解析式，然后求得a和b的值，最后得到二次函数的表达式；（2）先求出点C的坐标，然后求得直线AC的解析式，将PD与AC的交点记为点N，过点C作CH⊥PD于点H，然后求得△PAC的面积，最后根据二次函数的性质求得△PAC的面积最大值；（3）记BP与y轴的交点为点E，由PD∥y轴得到∠DPB=∠OEB，然后由∠DPB=2∠BCO得到∠ECB=∠EBC，从而得到CE=BE，然后设OE=a，通过直角三角形OEB中的勾股定理列出方程求得a的值得到点E的坐标，最后求得直线PB的解析式．（1）解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），∴，解得：，∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x＋4；（2）解：将x=0代入y=-x2-3x+4得，y=4，∴点C（0，4），设直线AC所在直线的表达式为y=k1x+b1，则，解得：，∴直线AC的表达式为y=x+4，如图，设PD与线段AC交于点N， 设P（t，-t2-3t+4），∵PD⊥x轴交AC于点N，∴N（t，t+4），∴PN=yP-yN=-t2-4t，过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4，∴S△APC=S△APN+S△PCN=PN•AD+PN•CH=PN•(AD+CH)= (−t2−4t)•(−t+t+4)=-2t2-8t=-2(t+2)2+8，∵a=-2＜0，∴当t=-2时，S△APC有最大值，△PAC面积的最大值为8．（3）解：设BP与y轴交于点E，∵PD∥y轴，∴∠DPB=∠OEB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OEB=2∠BCO，∴∠ECB=∠EBC，∴BE=CE，∵C（0，4），B（1，0），∴OC=4，OB=1，设OE=a，则CE=BE=4-a，在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2，∴（4-a）2=a2+12，解得：a=，∴E（0，），设BP所在直线表达式为y=kx+b（k≠0），∴，解得：，∴直线BP的表达式为y=-x+．【点评】本题考查了二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、解题的关键会用切割法求得△APC的面积最大值．12．(1)(2)(3)点P的坐标为（2，）【分析】（1）根据题意抛物线的解析式为，由OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，把B（3，﹣2）代入，求得，进而求得抛物线的解析式；（2）直线OB的解析式，根据的坐标，求得的坐标，当在△OAB的内部时，即可m的取值范围；（3）待定系数法求得直线AB的解析式为，根据，建立一元二次方程，解方程求解，根据（2）的范围取舍即可．（1）∵抛物线的顶点是A（2，3），∴设抛物线的解析式为，∵OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B（3，﹣2）， 把B（3，﹣2）代入解得：， ∴抛物线的解析式为，即，（2）设直线OB的解析式为，把B（3，﹣2）代入得，，∴直线OB的解析式为，∴C（2，），设P（2，m），∵，A（2，3），∴， ∴（2，），即（2，）， 当在△OAB的内部时，有，解得：．（3）设直线OA的解析式为，把A（2，3）代入得，，∴直线OA的解析式为，设直线AB的解析式为，把A（2，3）、B（3，﹣2）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为，∵P（2，m），∴M（，），N（，），∴， ∵，∴， 整理得：，方程可化为或（无实数根），解得：，， ∵，∴，∴满足条件点P的坐标为（2，）．【点评】本题考查了二次函数综合面积问题，待定系数法求解析式，旋转的性质，轴对称的性质，弄清旋转变换和轴对称变换后的坐标规律是解题的关键．13．(1)(2)(3)【分析】（1）令，即可求点出的坐标；（2）求出，利用三角形面积公式再求出面积即可；（3）平移后的抛物线解析式为，再求直线的解析式为，由题意，直线过抛物线顶点，当把抛物线向右平移时，顶点的纵坐标不变，还是，把代入，得，解得，可得到，联立 ，当，此时与有两个交点，即可求的取值范围．（1）解：令，则（2）解：        ， （3）解： 由题意将抛物线向右平移个单位 设直线的解析式为 当把抛物线向右平移时，顶点的纵坐标不变，还是把代入，得解得 联立 当时，抛物线与直线总有两个公共点即   综上所述，当直线与总有两个公共点时，【点评】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握是解题的关键．14．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．(1)解：∵，∴根据函数图象的性质可知，当时，， ∵∴解得．(2)证明：如图，分别过点作交点分别为∴设两点横坐标分别为，由题意知：∴， ∵∴∵，∴∴∴．(3)解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，∵∴∴有相同的纵坐标∴解得故可知点横纵标∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标∴解得．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．15．(1)①-1，0；4，0；0，-2；②见解析(2)(3)存在，当时，最大，最大为.【分析】（1）①分别令即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；②根据点的坐标，分别求得进而勾股定理逆定理即可证明；（2）连接OQ，设点Q的坐标为，进而根据进行求解即可；（3）过点Q作于点H，证明，由（2）可得，进而列出关于的关系式，根据二次函数的性质求最值即可（1）①由，令，则，令，即解得，，故答案为：-1，0；4，0；0，-2； ②证明：∵，，∴，，∴∴是．（2）连接OQ，如图所示设点Q的坐标为（3）过点Q作于点H，如图所示∴∵∴∴当时，最大，最大为．【点评】本题考查了二次函数坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，二次函数求面积问题，二次函数的最值问题，熟练运用以上知识是解题的关键．16．(1)，(2)最大值为，(3)，或【分析】（1）先利用待定系数法抛物线的解析式为，然后求出点D坐标，在利用待定系数法求直线解析式即可．（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为，根据，抛物线开口向下，函数有最大值，求出△PAD的面积最大值，再求出点P坐标即可．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交抛物线轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交抛物线于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式，然后利用联立方程组求出点Q坐标即可．（1）解：抛物线与轴交于、两点，设抛物线的解析式为，∴，解得，抛物线的解析式为，∵点D在抛物线上，当x=4时，∴点D（4，3），直线经过、，设直线的解析式为，代入坐标得：，解得，，直线的解析式为；（2）解：如图1中，过点作轴交于点．设点P的横坐标为m，∴，则．，，∴，，抛物线开口向下，函数有最大值，时， 最大=，当m=1, ，∴．（3）（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，∴y=4-(-2)=6，-2-x=3-0,解得x=-5则，设交抛物线于点，则， ，直线的解析式为，∴，或，，作点关于的对称点，∵点A（-2,0），点T（-5,6）∴，解得x=1，0-y=6-0，解得y=-6,∴点则直线的解析式为，设交抛物线于点，则，∴，解得或，，综上所述，满足条件的坐标为，或．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，图形旋转性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决面积最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．17．(1)y=-x2-2x+3(2)P1（-2，3）或P2(，)(3)点P的坐标为（-，），理由见解析．【分析】（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c求出b、c的值即可求出该函数表达式；（2）设P（m，-m2-2m+3），表示出PE、AE的长，分或两种情况讨论即可找到P的坐标；（3）连接AC交PE于点H，把四边形分成两部分，表示出S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC即可根据二次函数最值找到P的坐标．（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），∴OC=3，OB=1，∴设P（m，-m2-2m+3），∴PE=-m2-2m+3，AE=m+3，根据题意得：，解得：m1=-2，m2=-3（舍去），∴-m2-2m+3= ∴P1（-2，3），或，解得：m1＝，m2＝−3（舍去），∴ ∴P2(，)，综上，点P坐标为P1（-2，3）或P2(，)．（3）连接AC交PE于点H，由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的表达式为：y=x+3，设P（m，-m2-2m+3），则H（m，m+3），∴PH=-m2-3m∴S△PAC＝⋅(−m2−3m)×3∴S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC=当m＝−时，S最大＝，此时点P的坐标为（-，）．【点评】本题考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．18．(1)(2)最大值为2(3)，，【分析】（1）将点A，B坐标代入得方程组，求解即可；（2）分别求出点B，C，D的坐标，运用待定系数法求出BC解析式，设，则，，根据三角形面积公式可得二次函数关系式，配方求解即可；（3）分两种情况：①若AD是平行四边形的对角线，②若AD是平行四边形的边，分别进行讨论即可．(1)将，代入，解这个方程组得∴该抛物线的函数表达式为(2)在中，当时，，∴，∵点D为线段BC的中点，且，∴，即，设直线BC的解析式为，将，代入得， 解得，∴直线BC的解析式为，过点作轴交于点，设，则，当时，有最大值为2(3)满足条件的点的坐标为：，，由可得对称轴为：直线，设，又，①若AD是平行四边形的对角线，当MN与AD互相平分时，四边形ANDM是平行四边形，即MN经过AD的中点（），即（0，-1）∴ ∴n=-1，∴，②若AD是平行四边形的边，Ⅰ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形ANMD是平行四边形，∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，∴点N的横坐标为1-4=-3，∴∴点N的坐标为；Ⅱ．当NM∥AD且NM=AD时，四边形AMND是平行四边形，∵A（-2，0），D（2，2），点M的横坐标为1，∴点N的横坐标为1+4=5，∴∴点N的坐标为；综上所述，点M的坐标为，，．【点评】本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，平行四边形性质等，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质及平行四边形性质等相关知识，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．19．（1）；（2）①点P的坐标为；②点P的坐标为，【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式；（2）①先求出直线BC的解析式，设点E的横坐标为m，则点E的坐标，点F的坐标，根据，利用二次函数的性质进行求解；②由第①小题的解答可知：有最大值为，最接近这个最大值的整数是3，求解即可．【解析】（解法不唯一）解：（1）∵，，∴由对称性可知：D点坐标为．∴．∴．∴C点坐标为．∵，，在抛物线上∴∴∴抛物线的解析式为．（2）①设直线BC的解析式为y=kx+b，由，，，解得：，直线的解析式为．设点E的横坐标为m，则点E的坐标为，点F的坐标为∴．∴当时，有最大值为．此时，点E的坐标为，点P的坐标为．②由第①小题的解答可知：有最大值为．∴最接近这个最大值的整数是3．∴．解得，．此时点P的坐标为，．【点评】本题本题考查了一次函数、二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法求解出函数的解析式．20．(1)y＝﹣x2+4x+5(2)P(2，9)或(3，8)(3)Q(﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)或（-5，10）【分析】（1）由点A，B坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；（2）设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+4t+5），D（t，﹣t+5），求出S四边形APCD＝﹣2t2+10t，S△AOE＝，由题意得出方程求出t即可得出答案；（3）分EM为边和为对角线两种情况进行求解：①当EM为平行四边形的边时，由EM＝PQ建立方程求解；②当EM为对角线时，由EM与PQ互相平分建立方程组求解即可．(1)将点A（0，5），B（5，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；(2)∵AC∥x轴，点A（0，5），∴当y＝5时，﹣x2+4x+5＝5，∴x1＝0，x2＝4，∴C（4，5），∴AC＝4，设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，5），B（5，0）分别代入y＝mx+n得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+4t+5），D（t，﹣t+5），∴PD＝（﹣t2+4t+5）﹣（﹣t+5）＝﹣t2+5t，∵AC＝4，∴S四边形APCD＝PD＝（﹣t2+5t）＝﹣2t2+10t，函数y＝﹣x2+4x+5，当y＝0时，有﹣x2+4x+5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴E（﹣1，0），∴OE＝1，又∵OA＝5，∴＝＝，∵S四边形APCD＝S△AOE，∴＝12，解得：t1＝2，t2＝3，∴P(2，9)或(3，8)；(3)∵抛物线的对称轴与y＝﹣x+5交于点M，∴M（2，3），设Q（a，﹣a+5），P（m，﹣m2+4m+5），若EM＝PQ，四边形EMPQ为平行四边形，∴，解得或，∴Q（﹣1，6）或（0，5）；若EM＝PQ，四边形EMQP为平行四边形，同理求出Q（9，﹣4）；若EM为对角线，则，解得（不合题意舍去）或(不合题意舍去)，综合以上可得出点Q的坐（）标为Q(﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)或（-5,10）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q的坐标时，分类讨论是解本题的难点