2022年九年级中考数学专题+二次函数面积最值专题训练+
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这是一份2022年九年级中考数学专题+二次函数面积最值专题训练+,共31页。试卷主要包含了解答题等内容,欢迎下载使用。
二次函数面积最值 专题训练
一、解答题
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于A,两点,交轴于点,且,点是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)连接,求面积的最大值及此时点的坐标.
2.如图,已知抛物线经过两点A(﹣3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=﹣1.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若点Q是对称轴上一动点,当OQ+BQ最小时,求点Q的坐标.
(3)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于,两点,交轴于点,且,点是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若,求点的坐标;
(3)连接,求面积的最大值及此时点的坐标.
4.如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点,且OA=OC,连接AC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P是直线AC下方抛物线上一动点,求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标.
(3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于,点两点,与y轴交于点C
求抛物线的解析式:
若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点P的横坐标为t,连接PA、PC、AC.
求的面积S关于t的函数关系式.
求的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
6.如图,抛物线经过点和点.
(1)求此抛物线的函数表达式和直线的函数表达式;
(2)动点在第一象限内的抛物线上.
①如图1,连接,,当的面积和的面积相等时,求出点的横坐标;
②如图2,连接,求的面积的最大值及此时点的坐标.
7.如图,已知抛物线经过两点A(﹣3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=﹣1.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
8.如图,抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)以点A为圆心,作与直线BC相切的⊙A,求⊙A的半径;
(3)在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB,PC,请问:△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值的此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9.如图,二次函数的图象与轴交于、两点,与轴交于点,已知点(-1,0),点C(0,-2).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)试探究的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、C、B为顶点的四边形为梯形.若存在,请写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点是线段下方的抛物线上的一个动点,求面积的最大值以及此时点的坐标.
10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,,顶点为D,对称轴交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标.
(2)求四边形的面积.
(3)过E点的直线l将四边形的面积分成两部分,求直线l的解析式.
(4)直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得的面积最大?若存在求面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(5)直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得四边形的面积最大?若存在,求四边形面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(6)抛物线上是否存在点P,使得,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(7)抛物线上是否存在点P,使得,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(8)抛物线上是否存在点P,使得,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(9)抛物线上是否存在点P,使得BP平分的面积,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(10)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作轴于点M,使得AC平分的面积,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(11)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作轴于点M,交直线AC于点N,使得,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(12)抛物线上有一点P,其横坐标为t,抛物线上另有一点Q,其横坐标为,线段PQ上有一点M,作轴交抛物线于点N,求面积的最大值.
参考答案:
1.(1);(2)最大值8,点P的坐标为(-2,-5)
【分析】(1)由二次函数的性质,求出点C的坐标,然后得到点A、点B的坐标,利用待定系数法将A、B两点坐标代入解析式求解即可;
(2)先求出直线AC的解析式,过点P作PD∥y轴,交AC于点D,则,设点P为(,),则点D为(,),求出PD的长度,利用三角形面积列出函数解析式,利用二次函数的性质,即可得到面积的最大值,进一步即可求出点P的坐标.
【详解】解:(1)在抛物线中,
令,则,
∴点C的坐标为(0,),
∴OC=2,
∵,
∴,,
∴点A为(,0),点B为(,0),
则把点A、B代入解析式,得
,
解得:,
∴;
(2)设直线AC的解析式为,则
把点A、C代入,得
,
解得:,
∴直线AC的解析式为;
过点P作PD∥y轴,交AC于点D,如图:
设点P 为(,),则点D为(,),
∴,
∵OA=4,
∴,
∴,
∴当时,取最大值8;
∴,
∴点P的坐标为(,).
∵点P在第三象限的抛物线上,
∴点P的坐标为(,)满足条件.
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式,一次函数解析式,二次函数的性质,一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质,注意灵活利用数形结合的思想.
2.(1) y=﹣x2﹣2x+3;(2) 点Q(﹣1,);(3) S△PAB有最大值, 点P(﹣,)
【分析】(1)抛物线经过两点,对称轴为直线,则抛物线与轴另外一个交点坐标为:,即可求解;
(2)设点是点关于对称轴的对称点,则,连接交对称轴于点,则点为所求,即可求解;
(3)过点作轴的平行线交于点,由,即可求解.
【详解】解:(1)抛物线经过两点,对称轴为直线,则抛物线与轴另外一个交点坐标为:,
则抛物线的表达式为:,即,解得:,
个抛物线的表达式为:;
(2)设点是点关于对称轴的对称点,则,
连接交对称轴于点,则点为所求,
则点的表达式为:,
当时,,故点;
(3)过点作轴的平行线交于点,
直线的表达式为:,
设点,则点,
则,
,有最大值,此时,
点,.
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等,其中(2)用点的对称性求解线段的最值,其中(3)在坐标系中利用三角形面积等于水平宽×铅直高的一半表示是常用方法.
3.(1);(2)(,);(3)面积的最大值是8;点的坐标为(,).
【分析】(1)由二次函数的性质,求出点C的坐标,然后得到点A、点B的坐标,再求出解析式即可;
(2)由,则点P的纵坐标为,代入解析式,即可求出点P的坐标;
(3)先求出直线AC的解析式,过点P作PD∥y轴,交AC于点D,则,设点P为(,),则点D为(,),求出PD的长度,利用二次函数的性质,即可得到面积的最大值,再求出点P的坐标即可.
【详解】解:(1)在抛物线中,
令,则,
∴点C的坐标为(0,),
∴OC=2,
∵,
∴,,
∴点A为(,0),点B为(,0),
则把点A、B代入解析式,得
,解得:,
∴;
(2)由题意,∵,点C为(0,),
∴点P的纵坐标为,
令,则,
解得:,,
∴点P的坐标为(,);
(3)设直线AC的解析式为,则
把点A、C代入,得
,解得:,
∴直线AC的解析式为;
过点P作PD∥y轴,交AC于点D,如图:
设点P 为(,),则点D为(,),
∴,
∵OA=4,
∴,
∴,
∴当时,取最大值8;
∴,
∴点P的坐标为(,).
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,二次函数的性质,一次函数的性质,解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题,注意利用数形结合的思想进行解题.
4.(1)
(2)当时,△ACP面积的最大值为,此时点;
(3)点F的坐标为(﹣5,12)或(3,12)或(﹣1,﹣4)
【分析】(1)利用抛物线的解析式令时,求得点的坐标,再利用OA=OC,求得点的坐标,代入抛物线的解析式即可求解;
(2)过点P作轴交AC于点H,利用即可求解;
(3)分AB是边、AB是对角线两种情况,利用图形平移的性质和中点公式,即可求解.
(1)
解:∵抛物线的解析式为,
∴当时,,
∴(0,-3)
故OC=3=OA,
∴A(﹣3,0),
将点A的坐标代入抛物线表达式得:9a﹣6a﹣3=0,解得a=1,
故抛物线的表达式为;
(2)
设直线AC的表达式为,
∵直线AC过点(0,-3),A(﹣3,0),
∴,解得
∴直线AC的表达式为y=﹣x﹣3,
过点P作轴交AC于点H,
设点P(x,),则点H(x,﹣x﹣3),
∴,
则
,
∵<0,故△ACP面积有最大值,当时,△ACP面积的最大值为,
∴当时,
此时点P(,);
(3)
对于,令y=0,
即,
解得x=﹣3或1,
故点B(1,0),
∴抛物线的对称轴为直线为x=﹣1,
设点F(m,n),即n=m2+2m﹣3①,点E(﹣1,t),
①当AB是边时,
点A向右平移4个单位得到点B,同样点F(E)向右平移4个单位得到点E(F),
即m±4=﹣1②,
联立①②并解得或,
故点F的坐标为(﹣5,12)或(3,12);
②当AB是对角线时,A(﹣3,0),B(1,0),
由中点公式得:③,
联立①③并解得,
故点F的坐标为(﹣1,﹣4);
综上,点F的坐标为(﹣5,12)或(3,12)或(﹣1,﹣4).
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、中点坐标公式的运用、图形的平移等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
5.(1);(2)①;②
【分析】(1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;
(2)①过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q,先求出直线AC解析式为y=x+3,设P(t,-t2-2t+3),Q(t,t+3),据此得PQ=-t2-3t,根据S=S△PQC+S△PQA=PQ•OA可得答案;
②根据二次函数的性质和①中所求代数式求解可得.
【详解】解:抛物线与x轴交于,点两点,
,解得:,
抛物线的解析式为.
设直线AC的解析式为,
,解得:,
直线AC的解析式为,
过点P作轴交直线AC于点Q,
设,,
,
.
,
时,的面积最大,最大值是,
此时P点坐标为
【点睛】本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、二次函数的性质.
6.(1)二次函数表达式为,一次函数表达式为;(2)①点的横坐标为2;②坐标为(, ).
【分析】(1)设AB直线为,再将A、B点的坐标代入,采用待定系数法求一次函数表达式,同理将A、B点的坐标代入二次函数即可求出抛物线表达式;
(2)①和底为AC,当面积相等时,高也相等,可得P点纵坐标与B点纵坐标相等,再将P点纵坐标代入抛物线即可.
②过点作于点,交直线于点,设点横坐标为,则可以分别表示出P、M的纵坐标,从而可以表示出PM的长,根据可得出的表达式,利用二次函数的性质即可求得最大值,及此时P的坐标.
【详解】解:(1)∵抛物线经过点和点,代入解析式得,
∴,
∴抛物线的函数表达式是
设直线: ,将代入直线得,
∴
∴直线的函数表达式是;
(2)①当的面积和的面积相等时,点的纵坐标是3,有,解得,,∴点的横坐标为2;
②如图,过点作于点,交直线于点,设点横坐标为,则点的坐标为,点的坐标是
又∵点,在第一象限,
∴
∴
∴当时,有最大值,最大值为
此时点坐标为.
【点睛】本题是二次函数的综合问题,考查了待定系数法求函数关系式,以及抛物线中的三角形面积问题,设横坐标表示出线段长度是解决问题的关键.
7.(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)△PAB的面积的最大值为,此时点P的坐标(,).
【分析】(1)因为对称轴是直线x=-1,所以得到点A(-3,0)的对称点是(1,0),因此利用交点式y=a(x-x1)(x-x2),求出解析式.
(2)根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得最大值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.
【详解】(1)∵抛物线对称轴是直线x=﹣1且经过点A(﹣3,0)
由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点(1,0)
设抛物线的解析式为y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0)
即:y=a(x﹣1)(x+3)
把B(0,3)代入得:3=﹣3a
∴a=﹣1
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(﹣3,0),B(0,3),
∴,
∴直线AB为y=x+3,
作PQ⊥x轴于Q,交直线AB于M,
设P(x,﹣x2﹣2x+3),则M(x,x+3),
∴PM=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x,
∴,
当时,,,
∴△PAB的面积的最大值为,此时点P的坐标为(,).
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,利用面积的和得出二次函数是解题关键,又利用了二次函数的性质.
8.(1)y=﹣+2x﹣;(2);(3)存在最大值,此时P点坐标(,).
【分析】(1)将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式,可求得待定系数a和b,即可确定抛物线解析式;(2)因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以过A作AD⊥BC于点D,则AD为⊙A的半径,由条件可证明△ABD∽△CBO,根据抛物线解析式求出C点坐标,根据勾股定理求出BC的长,再求出AB的长,利用相似三角形的性质即两个三角形相似,对应线段成比例,可求得AD的长,即为⊙A的半径;(3)先由B,C点坐标求出直线BC解析式,然后过P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交x轴于点E,因为P在抛物线上,P,Q点横坐标相同,所以可设出P、Q点的坐标,并把PQ的长度表示出来,进而表示出△PQC和△PQB的面积,两者相加就是△PBC的面积,再利用二次函数的性质讨论其最大值,容易求得P点坐标.
【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A(1,0)和点B(5,0),
∴把A、B两点坐标代入可得:,
解得:,
∴抛物线解析式为y=﹣+2x﹣;
(2)过A作AD⊥BC于点D,
如图1:因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以AD为⊙A的半径,
由(1)可知C(0,﹣),且A(1,0),B(5,0),
∴OB=5,AB=OB﹣OA=4,OC=,
在Rt△OBC中,由勾股定理可得:BC===,∵∠ADB=∠BOC=90°,∠ABD=∠CBO,
∴△ABD∽△CBO,
∴,即,
解得AD=,
即⊙A的半径为;
(3)∵C(0,﹣),
∴设直线BC解析式为y=kx﹣,
把B点坐标(5,0)代入可求得k=,
∴直线BC的解析式为y=x﹣,
过P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交x轴于点E,
如图2,因为P在抛物线上,Q在直线BC上,P,Q两点横坐标相同,
所以设P(x,﹣+2x﹣),
则Q(x,x﹣),
∴PQ=(﹣+2x﹣)﹣(x﹣)=﹣+x=﹣+,∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ
=PQ•OE+PQ•BE=PQ(OE+BE)
=PQ•OB=PQ
=×[﹣+]
=,
∵
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