还剩22页未读，
继续阅读
江苏省南京市溧水区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
展开
这是一份江苏省南京市溧水区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7B．x2+y＝5C．D．x2+x＝4
2．若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣3
3．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣7B．（x+2）2＝1C．（x+2）2＝﹣1D．（x﹣2）2＝1
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°．若以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D，则的度数为（ ）
A．25°B．50°C．60°D．65°
5．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7．方程x2＝x的根是 ．
8．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O （填“内”、“外”或“上”）．
9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是 （写出一个符合条件的值即可）．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ 度．
11．如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线．若∠C＝50°，则∠P＝ °．
12．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为 ．
13．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是 ．
14．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
15．若关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3、2，则方程a（x﹣1+h）2+k＝0的根为 ．
16．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x+1）2＝3x+3．
18．（8分）关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
19．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
20．（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， ．
求证： ．
证明：
21．（7分）某小区有一块长方形绿地，长为20m，宽为8m．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a米，宽增加a米，使改造后的面积比原来增加27m2．求a的值．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与AB相切，且与BC相切于点C．
（1）用直尺和圆规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 ．
23．（7分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．
24．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）下列方程是三倍根方程的是 ；
①x2﹣3x+2＝0；
②x2﹣3x＝0；
③x2﹣8x+12＝0．
（2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝ ；
（3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
25．（9分）某商场销售一批球鞋，其进价为每双200元．经市场调查发现，按每双300元出售，平均每天可售出20双．假设球鞋的单价每降5元，商场平均每天可多售出10双．该商场若要达到平均每天盈利4800元，则每双球鞋的定价为多少元？
26．（9分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，E是BC上一点，以AE为直径的⊙O经过B，D两点，＝．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，BE＝2，求AE的长．
27．（11分）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．
【特殊情形】
（1）如图①，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【一般情形】
（2）如图②，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD不是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【经验迁移】
（3）如图③，∠AED＝60°，AD＝12，F为上的一点，AF＝BC，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为 ．
2022-2023学年江苏省南京市溧水区九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7B．x2+y＝5C．D．x2+x＝4
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项：该方程是关于x的一元一次方程，不符合题意；
B选项：该方程中含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C选项：该方程是分式方程，不符合题意；
D选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意．
故选：D．
2．若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣3
【分析】把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0中得：12﹣m+2＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0中得：
12﹣m+2＝0，
﹣m＝﹣2﹣1，
﹣m＝﹣3，
m＝3，
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣7B．（x+2）2＝1C．（x+2）2＝﹣1D．（x﹣2）2＝1
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°．若以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D，则的度数为（ ）
A．25°B．50°C．60°D．65°
【分析】根据∠C＝90°，∠B＝25°，求出∠A＝65°，根据半径相等求出∠CDA＝65°，进而求出∠ACD＝50°即可解答．
【解答】解：连接CD，
∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝65°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA＝65°，
∴∠ACD＝50°，
∴的度数为50°．
故选：B．
5．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．
【解答】解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，
∵CD⊥AB，点C是中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB＝，
∴AE＝EB＝1，
∵BC＝1，
∴EC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝OC＝AC＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7．方程x2＝x的根是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣1）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣1＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1．
故答案为x1＝0，x2＝1．
8．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O 内 （填“内”、“外”或“上”）．
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，根据点P在圆内⇔d＜r进行判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，
∴d＜r，
∴点P在⊙O内．
故答案为：内．
9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是 2（答案不唯一） （写出一个符合条件的值即可）．
【分析】根据关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，判断出Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故m可以取2，
故答案为：2（答案不唯一）．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ 25 度．
【分析】根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答．
【解答】解：∵CD∥AB，∴∠ADC＝∠BAD，
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°．
故答案为：25
11．如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线．若∠C＝50°，则∠P＝ 80 °．
【分析】接OA、OB，由切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再由圆周角定理求得∠AOB＝2∠C＝100°，则∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相切于点B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠AOB＝2∠C＝100°，
∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
故答案为：80．
12．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为 100（1﹣x）2＝64 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到方程100（1﹣x）2＝64，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
100（1﹣x）2＝64，
故答案为：100（1﹣x）2＝64．
13．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是 2019 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣3，再把ab﹣2022a﹣2022b变形为ab﹣2022（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
所以ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）
＝﹣3﹣2022×（﹣1）
＝2019．
故答案为：2019．
14．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 10 cm．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝10．
故答案为：10．
15．若关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3、2，则方程a（x﹣1+h）2+k＝0的根为 x1＝﹣2，x2＝3 ．
【分析】根据已知方程的解得出x﹣1＝﹣3或x﹣1＝2，求出x即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3、2，
∴方程a（x﹣1+h）2+k＝0中x﹣1＝﹣3或x﹣1＝2，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
即方程a（x﹣1+h）2+k＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝3．
16．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 2﹣2 ．
【分析】延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E，则△AOD是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，则CO的最小值为EO﹣DE，再求解即可．
【解答】解：延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA＝4，
∴AD＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∵EO⊥AD，
∴AE＝DE，
∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，
在Rt△DEO中，DO＝4，DE＝2，
∴EO＝2，
∴CO的最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x+1）2＝3x+3．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x+1）2＝3x+3，
（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣3）＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
x+1＝0或x﹣2＝0，
x1＝﹣1，x2＝2．
18．（8分）关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根，得Δ＝（m﹣2）2＝0，即可求出m的值和方程的根．
【解答】（1）证明：Δ＝（m+2）2﹣4×2×m＝（m﹣2）2，
无论m取任何实数，（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∵Δ＝（m﹣2）2＝0，
解得m1＝m2＝2，
当m＝2时，方程为2x2+4x+2＝0．
解得x1＝x2＝﹣1．
19．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
【分析】连接AC，AD，BC，根据AB＝CD，得＝，所以＝，得∠BAC＝∠ACD，根据等角对等边得AE＝CE．
【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AE＝CE．
20．（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， AB⊥CD ．
求证： CE＝DE，＝，＝ ．
证明：
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及垂径定理进行证明即可．
【解答】解：已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD．
求证：CE＝DE，＝，＝．
证明：连接OC、OD，
在△OCD中，∵AB⊥CD，OC＝OD，
∴CE＝DE，∠COB＝∠DOB，
∴∠AOC＝∠AOD，
∴＝，＝．
故答案为：AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．
21．（7分）某小区有一块长方形绿地，长为20m，宽为8m．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a米，宽增加a米，使改造后的面积比原来增加27m2．求a的值．
【分析】根据改造后的面积比原来增加27m2，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：依题意得：（20﹣a）（8+a）﹣20×8＝27，
整理得：a2﹣12a+27＝0，
解得：a1＝3，a2＝9．
答：a的值为3或9．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与AB相切，且与BC相切于点C．
（1）用直尺和圆规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 ．
【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则⊙O与BC，AB都相切；
（2）根据切线的性质和勾股定理即可求AC的长．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵⊙O与与BC相切于点C，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝1，
∵tanA＝＝，
∴＝，
∴OD＝．
故答案为：．
23．（7分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．
【分析】根据角平分线定义得到∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，得到＝，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠BAE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴和所对的圆心角相等，
∴＝，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB．
24．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）下列方程是三倍根方程的是 ③ ；
①x2﹣3x+2＝0；
②x2﹣3x＝0；
③x2﹣8x+12＝0．
（2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝ ；
（3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
【分析】（1）分别解三个方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断；
（2）设方程x2﹣6x+c＝0的两根为t，3t，则利用根与系数的关系得t+3t＝6，t•3t＝c，然后先求出t，再计算出c的值；
（3）设方程的两根为a，3a，利用根与系数的关系得到m+n＝4a，mn＝3a2，再把变形为，然后利用整体代入的方法得到原式＝，最后进行分式的化简计算即可．
【解答】解：（1）解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，
所以x2﹣3x+2＝0不是“三倍根方程”；
解方程x2﹣3x＝0得x1＝0，x2＝3，
所以x2﹣3x＝0不是“三倍根方程”；
解方程x2﹣8x+12＝0得x1＝2，x2＝6，
所以x2﹣8x+12＝0是“三倍根方程”；
故答案为：③；
（2）设方程x2﹣6x+c＝0的两根为t，3t，
根据根与系数的关系得t+3t＝6，t•3t＝c，
解得t＝，
所以c＝3×（）2＝；
故答案为：；
（3）设方程的两根为a，3a，
根据根与系数的关系得a+3a＝m+n，a•3a＝mn，
即m+n＝4a，mn＝3a2，
所以＝＝＝．
25．（9分）某商场销售一批球鞋，其进价为每双200元．经市场调查发现，按每双300元出售，平均每天可售出20双．假设球鞋的单价每降5元，商场平均每天可多售出10双．该商场若要达到平均每天盈利4800元，则每双球鞋的定价为多少元？
【分析】设鞋子的单价应降x元，销售数量为（20+2x），利润为（300﹣x﹣200）（20+2x），从而可得方程，解出即可．
【解答】解：设每双鞋子应降价x元，
根据题意，得 （300﹣x﹣200）（20+×10）＝4800，
整理，得x2﹣90x+1400＝0，
解得：x1＝20，x2＝70，
∴每双球鞋的定价为300﹣20＝280或300﹣70＝230，
答：每双球鞋的定价为280元或230元．
26．（9分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，E是BC上一点，以AE为直径的⊙O经过B，D两点，＝．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，BE＝2，求AE的长．
【分析】（1）连接DO并延长交AB于F，连接OB，BD，根据已知条件得到DO是AB的垂直平分线，得到∠OFB＝90°，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，根据矩形的性质得到OD⊥CD，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据三角形的中位线定理得到OE＝BE＝1，设⊙O的半径为r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DO并延长交AB于F，连接OB，BD，
∵＝，
∴AD＝BD，
∵OA＝OB，
∴O，D都在AB的垂直平分线上，
∴DO是AB的垂直平分线，
∴∠OFB＝90°，AF＝BF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴OD⊥CD，
∵点D在⊙上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：AO＝OE，AF＝BF，
∴OF是△ABE的中位线，
∴OE＝BE＝1，
设⊙O的半径为r，
在Rt△DAF中，AF2＝AD2﹣DF2＝122﹣（r+1）2，
在Rt△OAF中，AF2＝OA2﹣OF2＝r2﹣12，
∴122﹣（r+1）2＝r2﹣12，
解得r1＝8，r2＝﹣9（舍去），
∴AE＝2r＝16．
27．（11分）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．
【特殊情形】
（1）如图①，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【一般情形】
（2）如图②，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD不是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【经验迁移】
（3）如图③，∠AED＝60°，AD＝12，F为上的一点，AF＝BC，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为 3 ．
【分析】（1）证明OF是△ABD的中位线，则OF＝AB，BD是⊙O的直径，OF⊥AD，根据垂径定理可得BC＝AB，进而可证明OF＝BC；
（2）作直径DH交⊙O于点H，连接AH，证明OF是△AHD的中位线，则OF＝AH，再证明∠ADH＝∠CDB，可得AH＝BC，进而可证明OF＝BC；
（3）延长FA，作HD⊥AF交于点H，可求∠HAD＝60°，当AM⊥AF时AM值最小，根据特殊角直角三角形，可求出AM的最小值．
【解答】（1）证明：∵在⊙O中，OF⊥AD，
∴DF＝AF，
∵DO＝OB，
∴OF是△ADB的中线，
∴OF＝AB，
∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴，
∴AB＝BC，
∴OF＝BC；
（2）证明：如图2所示：作直径DH交⊙O于点H，连接AH，
∵在⊙O中，OF⊥AD，
∴DF＝AF，
∵OD＝OH，
∴OF是△AHD的中位线，
∴OF＝AH，
∵HD是直径，
∴∠DAH＝90°，
∴∠ADH+∠AHD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CDB+∠ACD＝90°，
∵∠AHD＝∠ACD，∠ADH+∠AHD＝90°，∠CDB+∠ACD＝90°，
∴∠ADH＝∠CDB，
∴AH＝BC，
∵OF＝AH，
∴OF＝BC；
（3）解：如图③所示：延长FA，作HD⊥AF交于点H，
∵AF＝BC，
∴∠ADF＝∠BDC，
∵∠AED＝60°，
∴∠ACD+∠BDC＝∠AED＝60°
∵∠HAD＝∠AFD+∠ADF，∠AFD＝∠ACD，∠ADF＝∠BDC，
∴∠HAD＝∠ACD+∠BDC＝60°，
∵HD⊥AF，∠HAD＝60°，AD＝12
∴HD＝AD＝×12＝6，
当AM⊥AF时，AM值最小，
∵AM⊥AF，HD⊥AF，
∴AM∥HD，
∵M是DF的中点，
∴AM是△FHD的中位线，
∴AM＝HD＝×6＝3，
∴AM长的最小值为3．
故答案为：3．
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7B．x2+y＝5C．D．x2+x＝4
2．若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣3
3．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣7B．（x+2）2＝1C．（x+2）2＝﹣1D．（x﹣2）2＝1
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°．若以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D，则的度数为（ ）
A．25°B．50°C．60°D．65°
5．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7．方程x2＝x的根是 ．
8．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O （填“内”、“外”或“上”）．
9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是 （写出一个符合条件的值即可）．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ 度．
11．如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线．若∠C＝50°，则∠P＝ °．
12．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为 ．
13．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是 ．
14．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
15．若关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3、2，则方程a（x﹣1+h）2+k＝0的根为 ．
16．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x+1）2＝3x+3．
18．（8分）关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
19．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
20．（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， ．
求证： ．
证明：
21．（7分）某小区有一块长方形绿地，长为20m，宽为8m．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a米，宽增加a米，使改造后的面积比原来增加27m2．求a的值．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与AB相切，且与BC相切于点C．
（1）用直尺和圆规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 ．
23．（7分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．
24．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）下列方程是三倍根方程的是 ；
①x2﹣3x+2＝0；
②x2﹣3x＝0；
③x2﹣8x+12＝0．
（2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝ ；
（3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
25．（9分）某商场销售一批球鞋，其进价为每双200元．经市场调查发现，按每双300元出售，平均每天可售出20双．假设球鞋的单价每降5元，商场平均每天可多售出10双．该商场若要达到平均每天盈利4800元，则每双球鞋的定价为多少元？
26．（9分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，E是BC上一点，以AE为直径的⊙O经过B，D两点，＝．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，BE＝2，求AE的长．
27．（11分）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．
【特殊情形】
（1）如图①，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【一般情形】
（2）如图②，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD不是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【经验迁移】
（3）如图③，∠AED＝60°，AD＝12，F为上的一点，AF＝BC，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为 ．
2022-2023学年江苏省南京市溧水区九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x＝7B．x2+y＝5C．D．x2+x＝4
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项：该方程是关于x的一元一次方程，不符合题意；
B选项：该方程中含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题意；
C选项：该方程是分式方程，不符合题意；
D选项：该方程符合一元二次方程的定义，符合题意．
故选：D．
2．若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣3
【分析】把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0中得：12﹣m+2＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0中得：
12﹣m+2＝0，
﹣m＝﹣2﹣1，
﹣m＝﹣3，
m＝3，
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣7B．（x+2）2＝1C．（x+2）2＝﹣1D．（x﹣2）2＝1
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°．若以点C为圆心，CA长为半径的圆与AB交于点D，则的度数为（ ）
A．25°B．50°C．60°D．65°
【分析】根据∠C＝90°，∠B＝25°，求出∠A＝65°，根据半径相等求出∠CDA＝65°，进而求出∠ACD＝50°即可解答．
【解答】解：连接CD，
∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝65°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA＝65°，
∴∠ACD＝50°，
∴的度数为50°．
故选：B．
5．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（ ）
A．4B．5C．6D．10
【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．
【解答】解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，
∵CD⊥AB，点C是中点，
∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB＝，
∴AE＝EB＝1，
∵BC＝1，
∴EC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝OC＝AC＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7．方程x2＝x的根是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣1）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣1＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1．
故答案为x1＝0，x2＝1．
8．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O 内 （填“内”、“外”或“上”）．
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，根据点P在圆内⇔d＜r进行判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，
∴d＜r，
∴点P在⊙O内．
故答案为：内．
9．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是 2（答案不唯一） （写出一个符合条件的值即可）．
【分析】根据关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，判断出Δ＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故m可以取2，
故答案为：2（答案不唯一）．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ 25 度．
【分析】根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答．
【解答】解：∵CD∥AB，∴∠ADC＝∠BAD，
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°．
故答案为：25
11．如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线．若∠C＝50°，则∠P＝ 80 °．
【分析】接OA、OB，由切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再由圆周角定理求得∠AOB＝2∠C＝100°，则∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相切于点B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠AOB＝2∠C＝100°，
∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
故答案为：80．
12．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为 100（1﹣x）2＝64 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到方程100（1﹣x）2＝64，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
100（1﹣x）2＝64，
故答案为：100（1﹣x）2＝64．
13．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是 2019 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣3，再把ab﹣2022a﹣2022b变形为ab﹣2022（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
所以ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）
＝﹣3﹣2022×（﹣1）
＝2019．
故答案为：2019．
14．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 10 cm．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝10．
故答案为：10．
15．若关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3、2，则方程a（x﹣1+h）2+k＝0的根为 x1＝﹣2，x2＝3 ．
【分析】根据已知方程的解得出x﹣1＝﹣3或x﹣1＝2，求出x即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3、2，
∴方程a（x﹣1+h）2+k＝0中x﹣1＝﹣3或x﹣1＝2，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
即方程a（x﹣1+h）2+k＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝3．
16．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 2﹣2 ．
【分析】延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E，则△AOD是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，则CO的最小值为EO﹣DE，再求解即可．
【解答】解：延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD交于点E，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA＝4，
∴AD＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∵EO⊥AD，
∴AE＝DE，
∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上，
在Rt△DEO中，DO＝4，DE＝2，
∴EO＝2，
∴CO的最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x+1）2＝3x+3．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x+1）2＝3x+3，
（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣3）＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
x+1＝0或x﹣2＝0，
x1＝﹣1，x2＝2．
18．（8分）关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；
（2）根据方程有两个相等的实数根，得Δ＝（m﹣2）2＝0，即可求出m的值和方程的根．
【解答】（1）证明：Δ＝（m+2）2﹣4×2×m＝（m﹣2）2，
无论m取任何实数，（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∵Δ＝（m﹣2）2＝0，
解得m1＝m2＝2，
当m＝2时，方程为2x2+4x+2＝0．
解得x1＝x2＝﹣1．
19．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
【分析】连接AC，AD，BC，根据AB＝CD，得＝，所以＝，得∠BAC＝∠ACD，根据等角对等边得AE＝CE．
【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AE＝CE．
20．（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， AB⊥CD ．
求证： CE＝DE，＝，＝ ．
证明：
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及垂径定理进行证明即可．
【解答】解：已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD．
求证：CE＝DE，＝，＝．
证明：连接OC、OD，
在△OCD中，∵AB⊥CD，OC＝OD，
∴CE＝DE，∠COB＝∠DOB，
∴∠AOC＝∠AOD，
∴＝，＝．
故答案为：AB⊥CD；CE＝DE，＝，＝．
21．（7分）某小区有一块长方形绿地，长为20m，宽为8m．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a米，宽增加a米，使改造后的面积比原来增加27m2．求a的值．
【分析】根据改造后的面积比原来增加27m2，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值．
【解答】解：依题意得：（20﹣a）（8+a）﹣20×8＝27，
整理得：a2﹣12a+27＝0，
解得：a1＝3，a2＝9．
答：a的值为3或9．
22．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与AB相切，且与BC相切于点C．
（1）用直尺和圆规作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 ．
【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，则⊙O与BC，AB都相切；
（2）根据切线的性质和勾股定理即可求AC的长．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵⊙O与与BC相切于点C，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝1，
∵tanA＝＝，
∴＝，
∴OD＝．
故答案为：．
23．（7分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．
【分析】根据角平分线定义得到∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，得到＝，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠BAE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴和所对的圆心角相等，
∴＝，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB．
24．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）下列方程是三倍根方程的是 ③ ；
①x2﹣3x+2＝0；
②x2﹣3x＝0；
③x2﹣8x+12＝0．
（2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝ ；
（3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
【分析】（1）分别解三个方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断；
（2）设方程x2﹣6x+c＝0的两根为t，3t，则利用根与系数的关系得t+3t＝6，t•3t＝c，然后先求出t，再计算出c的值；
（3）设方程的两根为a，3a，利用根与系数的关系得到m+n＝4a，mn＝3a2，再把变形为，然后利用整体代入的方法得到原式＝，最后进行分式的化简计算即可．
【解答】解：（1）解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，
所以x2﹣3x+2＝0不是“三倍根方程”；
解方程x2﹣3x＝0得x1＝0，x2＝3，
所以x2﹣3x＝0不是“三倍根方程”；
解方程x2﹣8x+12＝0得x1＝2，x2＝6，
所以x2﹣8x+12＝0是“三倍根方程”；
故答案为：③；
（2）设方程x2﹣6x+c＝0的两根为t，3t，
根据根与系数的关系得t+3t＝6，t•3t＝c，
解得t＝，
所以c＝3×（）2＝；
故答案为：；
（3）设方程的两根为a，3a，
根据根与系数的关系得a+3a＝m+n，a•3a＝mn，
即m+n＝4a，mn＝3a2，
所以＝＝＝．
25．（9分）某商场销售一批球鞋，其进价为每双200元．经市场调查发现，按每双300元出售，平均每天可售出20双．假设球鞋的单价每降5元，商场平均每天可多售出10双．该商场若要达到平均每天盈利4800元，则每双球鞋的定价为多少元？
【分析】设鞋子的单价应降x元，销售数量为（20+2x），利润为（300﹣x﹣200）（20+2x），从而可得方程，解出即可．
【解答】解：设每双鞋子应降价x元，
根据题意，得 （300﹣x﹣200）（20+×10）＝4800，
整理，得x2﹣90x+1400＝0，
解得：x1＝20，x2＝70，
∴每双球鞋的定价为300﹣20＝280或300﹣70＝230，
答：每双球鞋的定价为280元或230元．
26．（9分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，E是BC上一点，以AE为直径的⊙O经过B，D两点，＝．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝12，BE＝2，求AE的长．
【分析】（1）连接DO并延长交AB于F，连接OB，BD，根据已知条件得到DO是AB的垂直平分线，得到∠OFB＝90°，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，根据矩形的性质得到OD⊥CD，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据三角形的中位线定理得到OE＝BE＝1，设⊙O的半径为r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DO并延长交AB于F，连接OB，BD，
∵＝，
∴AD＝BD，
∵OA＝OB，
∴O，D都在AB的垂直平分线上，
∴DO是AB的垂直平分线，
∴∠OFB＝90°，AF＝BF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴OD⊥CD，
∵点D在⊙上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：AO＝OE，AF＝BF，
∴OF是△ABE的中位线，
∴OE＝BE＝1，
设⊙O的半径为r，
在Rt△DAF中，AF2＝AD2﹣DF2＝122﹣（r+1）2，
在Rt△OAF中，AF2＝OA2﹣OF2＝r2﹣12，
∴122﹣（r+1）2＝r2﹣12，
解得r1＝8，r2＝﹣9（舍去），
∴AE＝2r＝16．
27．（11分）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．
【特殊情形】
（1）如图①，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【一般情形】
（2）如图②，AC⊥BD，过圆心O作OF⊥AD，垂足为F，当BD不是⊙O的直径时，求证：OF＝BC．
【经验迁移】
（3）如图③，∠AED＝60°，AD＝12，F为上的一点，AF＝BC，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为 3 ．
【分析】（1）证明OF是△ABD的中位线，则OF＝AB，BD是⊙O的直径，OF⊥AD，根据垂径定理可得BC＝AB，进而可证明OF＝BC；
（2）作直径DH交⊙O于点H，连接AH，证明OF是△AHD的中位线，则OF＝AH，再证明∠ADH＝∠CDB，可得AH＝BC，进而可证明OF＝BC；
（3）延长FA，作HD⊥AF交于点H，可求∠HAD＝60°，当AM⊥AF时AM值最小，根据特殊角直角三角形，可求出AM的最小值．
【解答】（1）证明：∵在⊙O中，OF⊥AD，
∴DF＝AF，
∵DO＝OB，
∴OF是△ADB的中线，
∴OF＝AB，
∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴，
∴AB＝BC，
∴OF＝BC；
（2）证明：如图2所示：作直径DH交⊙O于点H，连接AH，
∵在⊙O中，OF⊥AD，
∴DF＝AF，
∵OD＝OH，
∴OF是△AHD的中位线，
∴OF＝AH，
∵HD是直径，
∴∠DAH＝90°，
∴∠ADH+∠AHD＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CDB+∠ACD＝90°，
∵∠AHD＝∠ACD，∠ADH+∠AHD＝90°，∠CDB+∠ACD＝90°，
∴∠ADH＝∠CDB，
∴AH＝BC，
∵OF＝AH，
∴OF＝BC；
（3）解：如图③所示：延长FA，作HD⊥AF交于点H，
∵AF＝BC，
∴∠ADF＝∠BDC，
∵∠AED＝60°，
∴∠ACD+∠BDC＝∠AED＝60°
∵∠HAD＝∠AFD+∠ADF，∠AFD＝∠ACD，∠ADF＝∠BDC，
∴∠HAD＝∠ACD+∠BDC＝60°，
∵HD⊥AF，∠HAD＝60°，AD＝12
∴HD＝AD＝×12＝6，
当AM⊥AF时，AM值最小，
∵AM⊥AF，HD⊥AF，
∴AM∥HD，
∵M是DF的中点，
∴AM是△FHD的中位线，
∴AM＝HD＝×6＝3，
∴AM长的最小值为3．
故答案为：3．
相关试卷
2022-2023学年江苏省南京市溧水区七年级（上）期中数学试卷(解析版)： 这是一份2022-2023学年江苏省南京市溧水区七年级（上）期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南京市溧水区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)： 这是一份江苏省南京市溧水区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市溧水区七年级（上）期中数学试卷（含答案解析）： 这是一份2022-2023学年江苏省南京市溧水区七年级（上）期中数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了00m为标准，若小明跳出了2，15mB，1，+1，【答案】D，【答案】C，【答案】B，【答案】2等内容，欢迎下载使用。
