2022-2023学年广东省佛山市南海区瀚文外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区瀚文外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.    的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列各数：，，，，，，其中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.    如图，平面直角坐标系中点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    下列各组数中，是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    已知点、，那么直线与轴(    )

A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 不确定

7.    有下列说法：
   有理数与数轴上的点一一对应；
   绝对值等于本身的数是和；
   两个无理数的和是无理数；
   算术平方根是它本身的数是和；
   其中说法正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.    估计的值在(    )

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

9.    实数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若的两边，满足，则它的第三边为(    )

A.  B.  C.  D. 或

二、填空题（本题共7小题，共28分）

11. 的算术平方根是______，的立方根是______．
12. 如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且其中最大的正方形面积为，则图中所有的正方形的面积之和为______．

13. 比较大小： ______选填“”、“”或“”
14. 我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．”丈、尺是长度单位，丈尺其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．这根芦苇的长度是______尺．
15. 如图，等边三角形的顶点在坐标轴上，边长为，则点的坐标是______．

16. 如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，，在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是______；此长方体盒子能放入木棒的最大长度是______．

17. 观察等式；；；；根据规律写出第个等式为______为自然数，且．

三、解答题（本题共8小题，共62分）

18. 计算：
19. 已知某正数的两个平方根分别是和，求和的值．
20. 在平面直角坐标系中，已知点、
    描出、两点的位置，并连接、、．
    的面积是______．

21. 在一次消防演习中，消防员架起一架米长的云梯，斜靠在一面墙上；梯子底端离墙米，如图．
    求这个梯子的顶端距地面有多高？
    如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升米云梯长度不变，那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？

22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
    海港受台风影响吗？为什么？
    若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？

23. 小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且点与点重合，如图小宇经过测量得知两直角边，，他想用所学知识求出的长．
    ______；______；______；
    设为，则可用表示为______；
    利用以上结论求出的长．

24. 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如：与，与，与等都是互为有理化因式进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
    化简： ______ ；
    ______ ；
    计算： ______ ；
    已知，，，试比较，，的大小，并说明理由．
25. 阅读与思考．
    如果数轴上的点、分别表示实数、，两点，间的距离记作，那么对于平面上的两点、间的距离是否有类似的结论呢？
    运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．
    如图，平面上两点，，求这两点之间的距离；
    
    一般地，设平面上任意两点和，如图，如何计算，两点之间的距离？
    
    对于问题作轴，轴，垂足分别为点，；作轴，垂足为；作，垂足为点，且延长与轴交于点，则四边形，是长方形．
    ______，______．
    ______．
    ．
    这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
    运用上面公式求下列两点之间的距离：
    ，．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【解答】
解：，
的平方根是．
故选A．
根据平方根的定义，结合即可得出答案．
【分析】
本题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．  

2.【答案】 

【解析】解：，，这是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
无理数有，，，共有个．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图可得，点的横坐标是，纵坐标是，故点的坐标为．
故选：．
根据点的坐标的定义判断即可．
本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，不是勾股数，不符合题意；
B.，不是勾股数，不符合题意；
C.，是勾股数，符合题意；
D.，不是勾股数，不符合题意；
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以横坐标相同，
所以轴，
故选：．
根据横坐标相同即可判断．
本题考查坐标与图形性质，关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：实数与数轴上的点一一对应，
语句不符合题意；
绝对值等于本身的数是非负数，
语句不符合题意；
当两个无理数是互为相反数时，它们的和为，
语句不符合题意；
算术平方根是它本身的数是和，
语句符合题意，
故选：．
根据实数的概念、数轴、绝对值、平方根和立方根知识进行辨别．
此题考查了实数的概念、数轴、绝对值、平方根和立方根等知识的应用能力，关键是能准确理解和运用以上知识．
 

8.【答案】 

【解析】解：，即，
，
故选：．
根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式


，
故选：．
先根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与的关系，再根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与的关系是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：的两边，满足，
且．
，．
当为直角边时，由勾股定理知：，即；
当为斜边时，由勾股定理知：，即；
综上所述，为或．
故选：．
首先根据非负数的性质求得，；然后由勾股定理求得的长度．这里需要分类讨论：为直角边和斜边两种情况．
本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

11.【答案】   

【解析】解：的算术平方根是，的立方根是，
故答案为：，．
根据算式平方根和立方根的定义求出即可．
本题考查了对算术平方根和立方根的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，，，，．
所以，
所以．
故答案为：．
利用勾股定理和正方形的面积计算方法进行推理解答．
本题考查了勾股定理．注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
利用平方法比较大小即可．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度尺，
答：芦苇长尺．
故答案为：．
找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由等边三角形的三线合一，可知：，
由勾股定理可知：，
，
故答案为：
根据等边三角形三线合一定理，即可求出的长度，再根据勾股定理，即可得到的长，进而得到点的坐标．
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是利用等边三角形的性质解决问题．
 

16.【答案】   

【解析】解：将长方体沿剪开，使与在同一平面内，得到如图所示的长方形，
连接，
长方体盒子无盖的长、宽、高分别是，，，
即，，，
，
故答案为：；

连接，，
在中，，，由勾股定理得，，
在中，，，
由勾股定理得，．

故答案为：．
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
利用长方体的性质，连接，利用勾股定理解答即可．
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．
 

17.【答案】 

【解析】解：；；；；
第个等式为为自然数，且，
故答案为：．
根据题意找出规律即可求解．
本题主要考查算术平方根中的规律题，理解题意掌握题中规律是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】根据二次根式的加减运算、乘除运算、二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除运算、二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：正数的两个平方根分别是和，
，
解得：，
． 

【解析】根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图所示：



．
故答案为：
在坐标系内描出、两点，并连接、、即可；
根据三角形的面积等于矩形的面积减去三角形三个顶点所在的三角形的面积即可．
本题考查的是作图问题，三角形的面积等于矩形的面积减去三角形三个顶点所在的三角形的面积是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：米，米，
则米．
答：这个梯子的顶端距地面有米；

由题意得：米，则米，
米，
米，
米，
答：云梯的底部在水平方向应滑动米． 

【解析】利用勾股定理可得，再代入数计算即可；
根据题意表示出长，再在直角中利用勾股定理计算出长，进而可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
 

22.【答案】解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于，
，，，
．
是直角三角形．



以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受到台风影响．

当，时，正好影响港口，
，

台风的速度为，
小时
即台风影响该海港持续的时间为小时． 

【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
 

23.【答案】       

【解析】解：，，，
，
由翻折的性质可知，，
．
故答案为：，，；

，，
．
故答案为：；

由翻折的性质可知，，，
在中，，
，
，
．
利用勾股定理求出，再利用翻折变换的性质求出，可得结论；
利用线段的和差定义求解；
在中，利用勾股定理求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】    

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
原式

，
故答案为：；
，
同理：，
，
，
．
将二次根式分母有理化进行计算；
先确定分母有理化因式，然后进行计算；
利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；
通过比较，，的倒数，然后进行，，的大小比较．
本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键．
 

25.【答案】或     

【解析】解：，，
，，
为直角三角形，
；
或，，

．
故答案为：或，，；
，，
由两点间距离公式得：
．
在直角三角形中，直接利用勾股定理可得答案；
利用坐标与图形的性质得，的长，再利用勾股定理可得答案；
直接利用公式代入计算即可．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，两点间距离公式的推导等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．