2022-2023学年浙江省嘉兴市北京师大南湖附属学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省嘉兴市北京师大南湖附属学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省嘉兴市北京师大南湖附属学校九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   抛物线的顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D.    抛物线的对称轴是(    )A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线   抛物线的图象过原点，则的值为(    )A.  B.  C.  D.    将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为(    )A.  B.  C.  D.    某商店购进某种商品的价格是元件，在一段时间里，单价是元，销售量是件，而单价每降低元就可多售出件，当销售价为元件时，获利润元，则与的函数关系为(    )A.  B.
C.  D. 以上答案都不对   如图，将放在每个小正方形边长为的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是(    )
 A.  B.  C.  D.    若函数，则当函数值时，自变量的值是(    )A.  B.  C. 或 D. 或   如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为(    )
 A.
B.
C.
D.    如图，已知抛物线上有，两点，其横坐标分别为，；在轴上有一动点，则的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 如图，是以为直径的半圆上一点，连结，，分别以，为边向外作正方形，，，的中点分别是，，，若，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）有下列函数：
；；；；；
其中属于二次函数的是______填序号．已知原点是抛物线的最高点，则的范围是______．把二次函数化为形如的形式______．已知抛物线，当______时，顶点在轴上；当______时，顶点在轴上；当______时，抛物线经过原点．对于二次函数，当取，时，函数值相等，则当取时，函数值为______．平面上一点到上的点的最长距离为，最短距离为，则的半径是______．飞机着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为______秒．小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是______．已知抛物线与轴交于点，点的坐标为，在抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为______．已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为______． 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子质地均匀的正方体实验．
他们在一次实验中共掷骰子次，实验的结果如下：朝上的点数出现的次数 填空：此次实验中“点朝上”的频率为______；
小红说：“根据实验，出现点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？
小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率． 四、解答题（本大题共5小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
如图，平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴交于，两点．
求，两点的坐标；
若二次函数的图象经过点，，试确定此二次函数的解析式．
本小题分
如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点不与点、重合，，垂足分别为、．
当时，求线段的长；
在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
本小题分
在矩形中，，，是边上一动点，以的速度从点出发，到停止运动；是边上一动点，以的速度从点出发，到点停止运动．设动点运动的时间为，的面积为
求关于的函数表达式，并求自变量的取值范围．
当是直角三角形时，求的面积．
本小题分
已知二次函数的图象以为顶点，且过点
求该函数的关系式；
求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，、两点随图象移至、，求的面积．本小题分
湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元总成本放养总费用收购成本．
设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；
设这批淡水鱼放养天后的质量为，销售单价为元根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．
分别求出当和时，与的函数关系式；
设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．利润销售总额总成本

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的顶点坐标为．
故选：．
根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线．
故选：．
先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．
本题考查了二次函数的性质：对于二次函数，它的顶点坐标是，对称轴为直线．
 3.【答案】 【解析】解：把代入得，解得，，
而，
所以．
故选D．
根据二次函数图象上点的坐标特征得到，解得，，然后根据二次函数的定义确定的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换．
先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位，再向下平移个单位长度所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．
故选A．  5.【答案】 【解析】解：由题意得，
故选：．
当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：如图所示：点为外接圆圆心，则为外接圆半径，

故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：．
根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
 7.【答案】 【解析】解：把代入函数，
先代入上边的方程得，
，，不合题意舍去，故；
再代入下边的方程，，故，
综上，的值为或．
故选：．
把直接代入函数即可求出自变量的值．
本题考查求函数值及二次函数的性质：
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
 8.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，垂径定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
延长交于，根据、的度数易证得是等边三角形，由此可求出、的长；过作的垂线，设垂足为；在中，根据的长及的度数易求得的长，进而可求出的长；由垂径定理知，由此得解．
【解答】
解：延长交于，作于．

，
；
为等边三角形；
；
，
又，
；
；
；
故选：．  9.【答案】 【解析】解：如图，点关于轴的对称点的横坐标为，
连接与轴相交于点，点即为使最短的点，
当时，，
当时，，
所以，点，，
由勾股定理得，．
故选：．
找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点即为使最短的点，再根据抛物线解析式求出点、的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点的位置是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：连接，，

，，的中点分别是，，，，
，，
、是、的中点，
，
，，
，
，
故选C．
连接，，根据，，的中点分别是，，，得到，，从而得到、是、的中点，利用中位线定理得到和，从而利用求解．
本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．
 11.【答案】 【解析】解：；符合二次函数的定义，属于二次函数；
是一次函数，不属于二次函数；
自变量的最高次数是，不属于二次函数；
的左边不是整式，不属于二次函数．
综上所述，其中属于二次函数的是．
故答案是：．
根据二次函数的定义解答即可．
此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
 12.【答案】 【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
当时，抛物线有最高点，
，
故答案为：．
由抛物线有最高点可得，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：，．
由于二次项系数为，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】
解：，
即．
故答案为．  14.【答案】     【解析】解：抛物线的顶点的横坐标是，纵坐标是，
当顶点在轴上时，，解得：；
当顶点在轴上时，，解得：；
当抛物线过原点时，把代入得：，解得：；
故答案为：，，．
先求出抛物线的顶点坐标，再逐个求出即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：二次函数图象的对称轴为轴，
而当分别取，时，函数值相等，
，
当时，．
故答案为：．
根据抛物线的顶点式得到二次函数图象的对称轴为轴，所以函数值相等，则自变量互为相反数，然后计算自变量为时的函数值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 16.【答案】或 【解析】解：点在圆内；如图，
，，
，
；
点在圆外；如图，
，，
，
．
故答案为：或．
分两种情况进行讨论：点在圆内；点在圆外，进行计算即可．
本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．
 17.【答案】 【解析】【分析】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
将，化为顶点式，取得最大值时对应的为飞机着陆后滑行的最长时间．
【解答】
解：，
当秒时，取得最大值，此时米．
故答案是．  18.【答案】 【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有种情况，
他获胜的概率是．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他获胜的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 19.【答案】或 【解析】解：将代入得，
点坐标为，
点坐标为，
中点坐标为，
是以为底边的等腰三角形，
点在直线上，
令，
解得，，
点坐标为或．
故答案为：或．
由函数解析式可得点坐标，从而可得中点坐标，由是以为底边的等腰三角形可得点所在直线解析式，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质，掌握二次函数与方程的关系．
 20.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出．
【解答】
解：二次函数其中是自变量，
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
，
时，的最大值为，
时，，
，
，或不合题意舍去．
故答案为：．  21.【答案】解：；
小红的说法不正确．
在这次实验中，“点朝上”的频率最大并不能说明“点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当实验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在该事件发生的概率附近，但并不完全等于概率；小红的实验次数较少，没有代表性，所以小红的说法不正确．
列表如下： 小颖和小红由表格可以看出，总情况数有种，两枚骰子朝上的点数之和为的情况数最多，为种，所以点数之和为． 【解析】解：；
见答案；
见答案．
【分析】
让出现的次数除以总次数即为所求的频率；根据概率的意义，需要大量实验才行；
列举出所有情况，比较两枚骰子朝上的点数之和的情况数，进而让最多的情况数除以所有情况数即可．
考查用列表格的方法解决概率问题及概率的意义；用到的知识点为：概率是大量实验下得到的一个稳定的值；初中数学中概率等于所求情况数与总情况数之比．  22.【答案】解：过点作轴于点，则，连结，如图．
点的坐标为，
，，
在中，，
，
，，
点坐标为，点坐标为；

将，代入，
得，
解得，
所以二次函数的解析式为． 【解析】连接，过点作轴于点，根据垂径定理得；由点坐标得到，，再根据勾股定理计算出，再求出、，然后写出，两点的坐标；
将，两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式．
 23.【答案】解：如图，

，
，
，，，
，
即线段的长为．

存在，保持不变．
理由：连接，如图，

，，
，
，，
和分别是线段和的中点，
，
保持不变． 【解析】如图，根据垂径定理可得，然后只需运用勾股定理即可求出线段的长；
连接，如图，用勾股定理可求出的长，根据垂径定理可得和分别是线段和的中点，根据三角形中位线定理就可得到，保持不变；
本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第小题的关键．
 24.【答案】解：，，，，
，
，
根据题意得，
解得；
由勾股定理可，，
，
，
当为直角时，，
即，
解得，
；
当为直角时，，
即，
解得或，
，
都不符合；
当为直角时，，
即，
解得舍或，
． 【解析】根据解答即可；
分情况讨论解答即可．
本题考查了函数关系式，找到这一关系是解题的关键．
 25.【答案】解：设抛物线顶点式
将代入得：
该函数的解析式为：

令，得，因此抛物线与轴的交点为：
令，，解得：，，即抛物线与轴的交点为：，

设抛物线与轴的交点为、在的左侧，由知：，
当函数图象向右平移经过原点时，与重合，因此抛物线向右平移了个单位
故A，
． 【解析】已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．
根据的函数解析式，令，可求得抛物线与轴的交点坐标；令，可求得抛物线与轴交点坐标．
由可知：抛物线与轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出、的坐标．由于不规则，可用面积割补法求出的面积．
本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
 26.【答案】解：由题意，得：，
解得，
答：的值为，的值为；

当时，设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
与的函数解析式为；
当时，设与的函数解析式为，
将点、代入，得：，
解得：，
与的函数解析式为；

由题意，当时，
，
，
当时，元；
当时，

，
，
当时，元，
综上所述，放养天时，最大，最大值为元． 【解析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
由放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元可得答案；
分、两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
就以上两种情况，根据“利润销售总额总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．