重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学试题（含答案）

重庆市长寿中学校2022-2023学年高三上半期考试

数学试题

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知为虚数单位，则复数对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.已知集合，且，则（    ）

A.0或    B.0或    C.1或    D.0

3.下列函数中，最小值为4的是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.若命题：“,使”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知向量，若向量与垂直，则（    ）

A.10    B.    C.    D.3

6.在中，给出下列5个命题：①若，则；②若，则；③若，则是直角三角形；④若，则；⑤若，则，其中正确命题有（    ）

A.2    B.3    C.4    D.5

7.已知函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题（本大题共4小题，每小题多个选项正确，全部选对5分，部分选对2分，有错误选项0分，共20分）

9.函数在区间不单调的充分不必要条件是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.下列选项中正确的是（    ）

A.若平面向量满足，则的最大值是5；

B.在中，是的外心，则的值为4；

C.函数的图象的对称中心坐标为

D.若与共线，与共线，则与共线；

11.函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）

A.该函数的解析式为

B.该函数图象的对称中心为

C.该函数的单调递增区间是

D.把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

12.关于函数，下列说法正确的是（    ）

A.若过点可以作曲线的两条切线，则

B.若在上恒成立，则实数的取值范围为

C.若在上能成立，则

D.若函数有且只有一个零点，则实数的范围为

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.计算__________.

14.已知函数，则不等式的解集为__________.

15.已知定义在上的函数满足，当时，，则__________.

16.意大利著名画家､数学家､物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数.若对恒成立，则实数的取值范围为______.

四､解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余各小题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.已知向量满足.

（1）求；

（2）若，求实数的值

18.已知函数.

（1）求的值；

（2）若，求的最大值和最小值.

19.已知函数，若曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求函数在上的最值.

20.已知函数.

（1）判断的单调性和奇偶性并简答说明理由；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围

21.在中，角的对边分别是，满足.

（1）求的值；

（2）已知在边上，且，求面积的最大值.

22.已知函数.

（1）若函数只有一个零点，求实数的取值所构成的集合；

（2）若函数恒成立，求实数的取值范围.

重庆市长寿中学校2022-2023学年高三上半期考试·数学答案

1.B

解：，

故选：.

根据已知条件，结合皐数的四则运算，以及莧数的几何意义，即可求解.

本题主要考查基数的四则运算，以及基数的几何意义，属于基础题.

2.A

【分析】

本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题.

对或分尖讨论即可.

【解答】

解：，

则或，

当时，，满足；

当时，或，

当时，，不满足集合元素的互异性，舍去；

当时，，满足.

综上所述：或.

3.B

【解答】

解：对于当时，，所以不正确；

对于：因为当时，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以最小值为4，所以B正确；

对于：因为，

当且仅当，即时，等号成立，

故无法取等号，所以不正确，

对于：因为

当时，，所以D错误.

故选B.

4.C

【分析】

本题考查存在量词命题的真假判定，属于基础题.

由命题：“,使”是真命题，可得方程有根，即判别式大于等于零，即可求出的范围.

【解答】

解：由题意得，方程有解，

所以，即，解得，

所以的取值范围为.

故选C.

5.B

【分析】

本题考查向量垂直的充要条件，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.

可以求出，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值，从而可求出的值.

【解管】

解：，

，解得，

，

.

故选：.

6.C解：在中：

①，

当时，根据三角形内，大角对大边，得，

，故①正确；

②，

当时，则，根据三角形内，大边对大角，

，故②正确；

③若，

满足，

但显然不是直角三角形，故③错误；

④若，则，所以，

则，即，故④正确；

⑤，故⑤正确.

7.D

【分析】

本题考虑根的存在性及根的个数的判断，正确解答本题，关键是将函数有零点的问题转化为两个函数有交点的问题，此转化的好处是转化后的两个函数的中有一个函数是确定的，实现了由不定到定的转化，方便了研究问题，即求参数的范围，熟练利用导数研究函数的单调性也是解本题的关键，函数在上有3个零点，可转化为函数，与两个函数的图象有三个交点，故求出函数的单调性与极值，对研究出函数的图象的特征，由图象求出的取值范围即可.

【解答】

解：函数在上有3个零点，

即函数，与两个函数的图象有三个交点，

下研究函数的性质

由题意

令解得或

又

故在与上是增函数，在上是减函数，

时，函数值对应为其图象如图，可得故选D.

8.A

【分析】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数恒成立问题，属于中档题.

令，则由对任意都有可得在上单调递增，然后利用参变量分离的方法求出的范围即可.

【解答】

解：由条件，化为，构造，

则在上单调递增，

在上晅成立，

，即在上恒成立，

令，当且仅当时取等号，

.

9.BC

【分析】

本题考查充分不必要条件的判断，考查一元二次函数的图象与性质，属于基础题.先找出充要条件，再找充分不必要条件.

【解答】

解在区间上不单调，

又的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，

原命题的充要条件为，即，

原命题的一个充分不必要条件只有选项满足，

故选BC.

10.AB

【解答】

解：对选项，，

的最大值是选项正确；

对选项，在中，，

是的外心，

选项正确；

对选项，岺，可得，

的图象的对称中心坐标为

选项错误；

对选项，若为零向量时，显然与不一定共线，故D错误.

11.ACD

解：由图可知，函数的周期为，故.即，代入最高点有.

因为，所以.故.故A正确.

对的对称中心：.故该函数的对称中心为.故错误.

对，由，解得

该函数的单调递增区间是，故C正确.

对，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到.故D正确.

12.ABC

【解答】

解：对于选项A，画出曲线的图象，

根据图可判定点在曲线下方和轴上才可以作出两条切线，故

故A正确；

对于选项在上恒成立，等价于在上恒在上方，设的切点坐标为，其切线方程为，对应的切线经过坐标原点，将代入解得，其切线的斜率，故实数的取值范围为，故B正确；对于选项C，若在[1.3]上恒成立，

则在上恒成立，即，

设，

令，解得，

所以在单调递增，在上单调递减，

所以，所以，故C正确；

对于，利用选项的过程，画出函数的图像可知或，有且只有一个零点，故错误.

13.0

【解答】

解：

14.

【解答】

解：函数在上单调递减，

因为，所以有，解得.

故答案为：.

15.

【解答】

解：，

，

即函数的周期为4，

即.

16.

【解答】

，故为偶函数，

令，则，

又，，故，

∴在上递增，故上递减，

∴在上恒成立，则且，故在上恒成立，

令，而

∴，故时

，

，故时，

∴的取值范围为.

故答案为：.

17.解：（1）.

（2）由题意可得，即，，解得或2.

18.解：（1）.

（2）

.

因为，所以

所以，

所以

所以的最大值为1，最小值为.

19.解：（1）由已知可得，

又，

所以；

（2）由（1）可知，

令，解得或；令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，

所以函数在上的最小值为，最大值3.

20.解：（1）在定义域上单调递增且为奇函数.

证明：函数的定义域为且，

因为，所以，而，

所以，

故在R上昇调递增.

，

为上的奇函数.

故在定义域上审调递增且为奇函数.

（2）因为为上的奇函数，

所以有，

所以不等式可转化为，

又因为在上单调递增，

所以对任意恒成立，

即，令，

设，

所以在上单调递增，

.

所以，

即实数的取值范围为.

21.解：（1）

根据，

由正弦定理可得，

，

，

又，所以，

所以，

所以；

（2）由可得：

所以

，

由可得：

所以，当且仅当时取等，

所以，

22.解：（1）时，在上无零点.

时，函数只有一个零点与函数有且仅有一个交点.

，

时，时，.

函数在上单调递增，在上单调递减.

时，取得极大值即最大值，.

画出图象，

当或时，解得或

实数的取值所构成的集合为.

（2）函数恒成立.

令.

，

对分类讨论，

①若时，，

所以在上单调递增，

，即满足

②若时，则，

所以在上单调迸增，

当时，，不成立

故不满足题意.

时，令，存在，使得，.

函数在上单调递减，在上单调递增，

时，函数取得极小值即最小值，

，解得.

综上可得：实数的取值范围为.