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浙江省杭州市西湖区长阳中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）
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这是一份浙江省杭州市西湖区长阳中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区长阳中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数是y关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x+3 C．y＝x2﹣3 D．y＝
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
3．下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（ ）
A．80° B．140° C．20° D．50°
5．若扇形的半径为3，圆心角为160°，则它的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．9π
6．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．已知二次函数y＝x2﹣2bx+b2+b﹣5（b为常数）的图象与x轴有交点，则b的取值范围是（ ）
A．b≤5 B．b＜5 C．b≥5 D．b＞5
8．如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B．6 C．8 D．8
9．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①④
二、填空题（本题共有6小题，每小题4，共24分）
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数为 °．
12．把抛物线y＝2x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线的解析式为 ．
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：
①当y＜0时，x的取值范围是 ；
②方程ax2+bx+c＝3的解是 ．
14．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2cm，则⊙O的半径长为 ．
15．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），当花圃的宽AB为 米时，围成的花圃面积最大，最大面积为 平方米．
16．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则EG的长为 ．
三、解答题（本题共有7小题，共66分）
17．如图，用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
18．如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．
（1）求OD的长；
（2）计算阴影部分的面积．
19．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2），且与y轴交于（0，）．
（1）求函数的解析式；
（2）若点（p，m）和点（q，n）都在该抛物线上，若p＞q＞5，判断m和n的大小．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
21．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件．商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件．若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 元；②每天的销售量为 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
22．已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，都有y1＜y2，求证：b＜2a．
23．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数是y关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x+3 C．y＝x2﹣3 D．y＝
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
解：A、y＝﹣x不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2x+3不是二次函数，故此选项错误；
C、y＝x2﹣3是二次函数，故此选项正确；
D、y＝不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
3．下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
【分析】利用垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理、圆的轴对称性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
B、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故原命题正确，符合题意，
故选：D．
4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（ ）
A．80° B．140° C．20° D．50°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．
故选：C．
5．若扇形的半径为3，圆心角为160°，则它的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．9π
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
解：S扇形＝＝4π．
故选：C．
6．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题．
解：抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x＝﹣2，且开口向下，x＝﹣2时取得最大值．
∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
7．已知二次函数y＝x2﹣2bx+b2+b﹣5（b为常数）的图象与x轴有交点，则b的取值范围是（ ）
A．b≤5 B．b＜5 C．b≥5 D．b＞5
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
解：∵y＝x2﹣2bx+b2+b﹣5＝（x﹣b）2+b﹣5，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（b，b﹣5），
当b﹣5≤0时，抛物线与x轴有交点，
解得b≤5．
故选：A．
8．如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B．6 C．8 D．8
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝16，
∴BM＝DN＝8，
∴OM＝ON＝＝6，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝＝6．
故选：B．
9．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，＝，
∵点D是弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF＝12，
∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴AB＝2x＝15，
故选：C．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断①，由OA＝5OB及对称轴可得点B坐标，从而判断②③，由x＝﹣2时y取最小值可判断④．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误．
设抛物线对称轴与y轴交点为E（﹣2，0），则OE＝2，
∵OA＝5OB，
∴OE＝2OB，即点B坐标为（1，0），
∴x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②正确．
∵a+b+c＝5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a＜0，③正确．
∵x＝﹣2时y取最小值，
∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即am2+bm+2b≥4a，④正确．
故选：B．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4，共24分）
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数为 45 °．
【分析】根据角的和差定义计算即可；
解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，
∴∠DOB＝60°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝60°﹣15°＝45°．
故答案为45．
12．把抛物线y＝2x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线的解析式为 y＝2x2+8x﹣6 ．
【分析】把抛物线y＝2x2+1向左平移两个单位得到抛物线y＝2（x+2）2+1的图象，再向下平移3个单位得到抛物线y＝﹣2（x+2）2+1﹣3的图象，化简即可．
解：把抛物线y＝2x2+1向左平移两个单位得到抛物线y＝2（x+2）2+1的图象，
再向下平移两个单位得到抛物线y＝2（x+2）2+1﹣3的图象，
化简即得y＝2x2+8x﹣6，
故答案是：y＝2x2+8x﹣6．
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：
①当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣5或x＞1 ；
②方程ax2+bx+c＝3的解是 x1＝﹣4，x2＝0 ．
【分析】①利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；
②抛物线与y轴的交点为（0，3），利用抛物线对称性得到抛物线过点（﹣4，0），从而得到方程ax2+bx+c＝3的解．
解：①∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），
∴当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣5或x＞1；
②方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝﹣4，x2＝0．
故答案为x＜﹣5或x＞1；x1＝﹣4，x2＝0．
14．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2cm，则⊙O的半径长为 cm ．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝AD＝1cm，∠ODE＝∠ADB＝30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：连接BD，作OE⊥AD于E，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°．
∵AD＝AB＝2cm，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE＝AD＝1cm，∠ODE＝∠ADB＝30°，
∴OD＝＝cm．
故答案为cm．
15．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），当花圃的宽AB为 7 米时，围成的花圃面积最大，最大面积为 21 平方米．
【分析】设AB的长度为x米，则矩形ABCD的边长BC＝24﹣3x．利用矩形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质来求最值．
解：设AB的长度为x米，面积为S米2，则
∵墙的最大可用长度为3米，
∴24﹣3x≤3，
解得 x≥7．
S＝（24﹣3x）x＝﹣3（x﹣4）2+48．
∵﹣3＜0，
∴函数S＝﹣3（x﹣4）2+48的开口方向向下，
∴当x＝7时，S最大＝21．
故答案是：7；21．
16．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则EG的长为 3﹣ ．
【分析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP＝OF＝OC，OP＝PF＝，从而得到PC＝OP＝，然后利用△PCG为等腰直角三角形得到PG＝PC＝，从而得到EG的长．
解：连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，
∵正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，
∴∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，
∵EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∴PE＝PF＝EF＝3，
在Rt△OPF中，OP＝OF＝OC，
∵OP＝PF＝，
∴PC＝OP＝，
∵△PCG为等腰直角三角形，
∴PG＝PC＝，
∴EG＝PE﹣PG＝3﹣．
故答案为：3﹣．
三、解答题（本题共有7小题，共66分）
17．如图，用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
【分析】根据外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，知它是三角形边的垂直平分线的交点，则作其两边的垂直平分线，以交点为圆心，交点到其中一个顶点的距离为半径的圆是三角形的外接圆．
解：如图所示：
18．如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．
（1）求OD的长；
（2）计算阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝，再利用三角函数的定义求出∠COB＝60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC＝1，OB＝2OC＝2，从而得到OD的长；
（2）根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB进行计算．
解：（1）∵AB⊥OD，
∴∠OCB＝90°，AC＝BC＝AB＝，
∵点C为OD的中点，
∴OC＝OB，
∵cos∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴OC＝BC＝×＝1，
∴OB＝2OC＝2，
∴OD＝OB＝2；
（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB
＝﹣××1
＝π﹣．
19．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2），且与y轴交于（0，）．
（1）求函数的解析式；
（2）若点（p，m）和点（q，n）都在该抛物线上，若p＞q＞5，判断m和n的大小．
【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2），设解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，将（0，）代入即得答案；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2），
∴设所求二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
∵图象过（0，），
∴＝a（0﹣3）2﹣2，
解得a＝，
∴所求二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2；
（2）∵y＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，
∵p＞q＞5，
∴m＞n．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠ADC＝∠ABD．
（2）解：如图，连接OD．
在Rt△OED中，DE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，
∵sin∠A＝＝，
∴＝，
∴OF＝．
21．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件．商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件．若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 （145﹣x） 元；②每天的销售量为 （2x+40） 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（I）①根据售价＝原售价﹣降价可得销量每件商品的售价，②根据40﹣降价后减少的量可得每天的销售量；
（II）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润，即可得到的y与x之间的函数关系式，即可得出结论．
解：（I）由题意可知：①每件商品的售价为：（145﹣x）元；②每天的销售量为：（40+2x）件；
故答案为：①（145﹣x），②（40+2x）；
（II）根据题意可得：y＝（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
＝﹣2x2+80x+2400，
＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145﹣20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，都有y1＜y2，求证：b＜2a．
【分析】（1）把b＝a代入函数解析式，再令y＝0求解．
（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣可得b与a的等量关系，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
（3）由x1＜0＜x2时，y1＜y2可得a＞0，即抛物线开口向上，由点A，B在y轴两侧可得抛物线与y轴交点在直线与y轴交点下方，进而求解．
解：（1）若a＝b，则y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2+ax，
令ax2+ax＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1，
∴二次函数图象与x轴交点坐标坐标为（﹣1，0），（0，0）．
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣9a），
∴函数最小值为﹣9a．
（3）∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴一次函数y＝ax+a中y随x增大而增大，
∴a＞0，抛物线开口向上，
把x＝0代入y＝ax+a得y＝a，
∴直线与y轴交点坐标为（0，a），
把x＝0代入y＝ax2+bx+b﹣a得y＝b﹣a，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，b﹣a），
∵抛物线与直线交点在y轴两侧，
∴点（0，b﹣a）在点（0，a）下方，
∴b﹣a＜a，
解得b＜2a．
23．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接AB，由已知得到∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）由（1）知AB是⊙O的直径，得到∠APB＝90°，推出∠AOQ＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据四边形APBQ的面积化成Rt△APB和Rt△AQB的和，即可得解：
（3）连接OA、OB、OQ，由∠APQ＝∠BPQ证得＝，即可证得OQ⊥AB，然后根据三角形内角和定理证得∠NOQ＝90°，即NO⊥OQ，即可证得AB∥ON．
解：（1）连接AB，
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB＝＝＝3，
∴⊙O的半径为；
（2）连结AB，AQ，OQ，BQ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠APQ＝45°，
∴∠AOQ＝90°，
∴S四APBQ＝S△APB+S△AQB
＝•PB•AP+•AB•OQ
＝×2×1+×3×
＝+；
（3）AB∥ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，
∴＝，
∴∠AOQ＝∠BOQ，
∵OA＝OB，
∴OQ⊥AB，
∵OP＝OQ，
∴∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∴2∠OPN+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∵∠NOP+2∠OPN＝90°，
∴∠NOQ＝90°，
∴NO⊥OQ，
∴AB∥ON．
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区长阳中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数是y关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x+3 C．y＝x2﹣3 D．y＝
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
3．下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（ ）
A．80° B．140° C．20° D．50°
5．若扇形的半径为3，圆心角为160°，则它的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．9π
6．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．已知二次函数y＝x2﹣2bx+b2+b﹣5（b为常数）的图象与x轴有交点，则b的取值范围是（ ）
A．b≤5 B．b＜5 C．b≥5 D．b＞5
8．如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B．6 C．8 D．8
9．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①④
二、填空题（本题共有6小题，每小题4，共24分）
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数为 °．
12．把抛物线y＝2x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线的解析式为 ．
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：
①当y＜0时，x的取值范围是 ；
②方程ax2+bx+c＝3的解是 ．
14．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2cm，则⊙O的半径长为 ．
15．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），当花圃的宽AB为 米时，围成的花圃面积最大，最大面积为 平方米．
16．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则EG的长为 ．
三、解答题（本题共有7小题，共66分）
17．如图，用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
18．如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．
（1）求OD的长；
（2）计算阴影部分的面积．
19．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2），且与y轴交于（0，）．
（1）求函数的解析式；
（2）若点（p，m）和点（q，n）都在该抛物线上，若p＞q＞5，判断m和n的大小．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
21．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件．商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件．若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 元；②每天的销售量为 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
22．已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，都有y1＜y2，求证：b＜2a．
23．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数是y关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝2x+3 C．y＝x2﹣3 D．y＝
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
解：A、y＝﹣x不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2x+3不是二次函数，故此选项错误；
C、y＝x2﹣3是二次函数，故此选项正确；
D、y＝不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
3．下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
【分析】利用垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理、圆的轴对称性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
B、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故原命题正确，符合题意，
故选：D．
4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（ ）
A．80° B．140° C．20° D．50°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．
故选：C．
5．若扇形的半径为3，圆心角为160°，则它的面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．9π
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
解：S扇形＝＝4π．
故选：C．
6．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题．
解：抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x＝﹣2，且开口向下，x＝﹣2时取得最大值．
∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
7．已知二次函数y＝x2﹣2bx+b2+b﹣5（b为常数）的图象与x轴有交点，则b的取值范围是（ ）
A．b≤5 B．b＜5 C．b≥5 D．b＞5
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
解：∵y＝x2﹣2bx+b2+b﹣5＝（x﹣b）2+b﹣5，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（b，b﹣5），
当b﹣5≤0时，抛物线与x轴有交点，
解得b≤5．
故选：A．
8．如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B．6 C．8 D．8
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝16，
∴BM＝DN＝8，
∴OM＝ON＝＝6，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝＝6．
故选：B．
9．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，＝，
∵点D是弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF＝12，
∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴AB＝2x＝15，
故选：C．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断①，由OA＝5OB及对称轴可得点B坐标，从而判断②③，由x＝﹣2时y取最小值可判断④．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＜0，
∴abc＜0，①错误．
设抛物线对称轴与y轴交点为E（﹣2，0），则OE＝2，
∵OA＝5OB，
∴OE＝2OB，即点B坐标为（1，0），
∴x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②正确．
∵a+b+c＝5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a＜0，③正确．
∵x＝﹣2时y取最小值，
∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即am2+bm+2b≥4a，④正确．
故选：B．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4，共24分）
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数为 45 °．
【分析】根据角的和差定义计算即可；
解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，
∴∠DOB＝60°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝60°﹣15°＝45°．
故答案为45．
12．把抛物线y＝2x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线的解析式为 y＝2x2+8x﹣6 ．
【分析】把抛物线y＝2x2+1向左平移两个单位得到抛物线y＝2（x+2）2+1的图象，再向下平移3个单位得到抛物线y＝﹣2（x+2）2+1﹣3的图象，化简即可．
解：把抛物线y＝2x2+1向左平移两个单位得到抛物线y＝2（x+2）2+1的图象，
再向下平移两个单位得到抛物线y＝2（x+2）2+1﹣3的图象，
化简即得y＝2x2+8x﹣6，
故答案是：y＝2x2+8x﹣6．
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：
①当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣5或x＞1 ；
②方程ax2+bx+c＝3的解是 x1＝﹣4，x2＝0 ．
【分析】①利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；
②抛物线与y轴的交点为（0，3），利用抛物线对称性得到抛物线过点（﹣4，0），从而得到方程ax2+bx+c＝3的解．
解：①∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），
∴当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣5或x＞1；
②方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝﹣4，x2＝0．
故答案为x＜﹣5或x＞1；x1＝﹣4，x2＝0．
14．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2cm，则⊙O的半径长为 cm ．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝AD＝1cm，∠ODE＝∠ADB＝30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：连接BD，作OE⊥AD于E，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°．
∵AD＝AB＝2cm，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE＝AD＝1cm，∠ODE＝∠ADB＝30°，
∴OD＝＝cm．
故答案为cm．
15．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），当花圃的宽AB为 7 米时，围成的花圃面积最大，最大面积为 21 平方米．
【分析】设AB的长度为x米，则矩形ABCD的边长BC＝24﹣3x．利用矩形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质来求最值．
解：设AB的长度为x米，面积为S米2，则
∵墙的最大可用长度为3米，
∴24﹣3x≤3，
解得 x≥7．
S＝（24﹣3x）x＝﹣3（x﹣4）2+48．
∵﹣3＜0，
∴函数S＝﹣3（x﹣4）2+48的开口方向向下，
∴当x＝7时，S最大＝21．
故答案是：7；21．
16．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则EG的长为 3﹣ ．
【分析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP＝OF＝OC，OP＝PF＝，从而得到PC＝OP＝，然后利用△PCG为等腰直角三角形得到PG＝PC＝，从而得到EG的长．
解：连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，
∵正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，
∴∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，
∵EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∴PE＝PF＝EF＝3，
在Rt△OPF中，OP＝OF＝OC，
∵OP＝PF＝，
∴PC＝OP＝，
∵△PCG为等腰直角三角形，
∴PG＝PC＝，
∴EG＝PE﹣PG＝3﹣．
故答案为：3﹣．
三、解答题（本题共有7小题，共66分）
17．如图，用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
【分析】根据外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，知它是三角形边的垂直平分线的交点，则作其两边的垂直平分线，以交点为圆心，交点到其中一个顶点的距离为半径的圆是三角形的外接圆．
解：如图所示：
18．如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．
（1）求OD的长；
（2）计算阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝，再利用三角函数的定义求出∠COB＝60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC＝1，OB＝2OC＝2，从而得到OD的长；
（2）根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB进行计算．
解：（1）∵AB⊥OD，
∴∠OCB＝90°，AC＝BC＝AB＝，
∵点C为OD的中点，
∴OC＝OB，
∵cos∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴OC＝BC＝×＝1，
∴OB＝2OC＝2，
∴OD＝OB＝2；
（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB
＝﹣××1
＝π﹣．
19．已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣2），且与y轴交于（0，）．
（1）求函数的解析式；
（2）若点（p，m）和点（q，n）都在该抛物线上，若p＞q＞5，判断m和n的大小．
【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2），设解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，将（0，）代入即得答案；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2），
∴设所求二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
∵图象过（0，），
∴＝a（0﹣3）2﹣2，
解得a＝，
∴所求二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2；
（2）∵y＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，
∵p＞q＞5，
∴m＞n．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠ADC＝∠ABD．
（2）解：如图，连接OD．
在Rt△OED中，DE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，
∵sin∠A＝＝，
∴＝，
∴OF＝．
21．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件．商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件．若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 （145﹣x） 元；②每天的销售量为 （2x+40） 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（I）①根据售价＝原售价﹣降价可得销量每件商品的售价，②根据40﹣降价后减少的量可得每天的销售量；
（II）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润，即可得到的y与x之间的函数关系式，即可得出结论．
解：（I）由题意可知：①每件商品的售价为：（145﹣x）元；②每天的销售量为：（40+2x）件；
故答案为：①（145﹣x），②（40+2x）；
（II）根据题意可得：y＝（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
＝﹣2x2+80x+2400，
＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145﹣20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，都有y1＜y2，求证：b＜2a．
【分析】（1）把b＝a代入函数解析式，再令y＝0求解．
（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣可得b与a的等量关系，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
（3）由x1＜0＜x2时，y1＜y2可得a＞0，即抛物线开口向上，由点A，B在y轴两侧可得抛物线与y轴交点在直线与y轴交点下方，进而求解．
解：（1）若a＝b，则y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2+ax，
令ax2+ax＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1，
∴二次函数图象与x轴交点坐标坐标为（﹣1，0），（0，0）．
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣9a），
∴函数最小值为﹣9a．
（3）∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴一次函数y＝ax+a中y随x增大而增大，
∴a＞0，抛物线开口向上，
把x＝0代入y＝ax+a得y＝a，
∴直线与y轴交点坐标为（0，a），
把x＝0代入y＝ax2+bx+b﹣a得y＝b﹣a，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，b﹣a），
∵抛物线与直线交点在y轴两侧，
∴点（0，b﹣a）在点（0，a）下方，
∴b﹣a＜a，
解得b＜2a．
23．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接AB，由已知得到∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）由（1）知AB是⊙O的直径，得到∠APB＝90°，推出∠AOQ＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据四边形APBQ的面积化成Rt△APB和Rt△AQB的和，即可得解：
（3）连接OA、OB、OQ，由∠APQ＝∠BPQ证得＝，即可证得OQ⊥AB，然后根据三角形内角和定理证得∠NOQ＝90°，即NO⊥OQ，即可证得AB∥ON．
解：（1）连接AB，
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB＝＝＝3，
∴⊙O的半径为；
（2）连结AB，AQ，OQ，BQ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠APQ＝45°，
∴∠AOQ＝90°，
∴S四APBQ＝S△APB+S△AQB
＝•PB•AP+•AB•OQ
＝×2×1+×3×
＝+；
（3）AB∥ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，
∴＝，
∴∠AOQ＝∠BOQ，
∵OA＝OB，
∴OQ⊥AB，
∵OP＝OQ，
∴∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∴2∠OPN+∠NOP+∠NOQ＝180°，
∵∠NOP+2∠OPN＝90°，
∴∠NOQ＝90°，
∴NO⊥OQ，
∴AB∥ON．
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