浙江省杭州市西湖区翠苑中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区翠苑中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列事件中属于随机事件的是（ ）
A．今天是星期一，明天是星期二
B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
D．抛出的篮球会下落
3．（3分）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（ ）
A．4：9B．16：81C．2：3D．1：3
4．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2B．y＝2x2+6
C．y＝2（x﹣2）2D．y＝2（x﹣2）2+6
5．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 C．b2﹣4ac＜0
D．函数值有最小值4a﹣2b+c
7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝3，∠C＝90°，以点B为圆心，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．D．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）点A（0，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＞y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2或m＜0B．m＞2C．m＜0D．0＜m＜2
10．（3分）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s）（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5B．+3或6C．+3或5D．+2或6
二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分）
11．（4分）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在 （填圆内，圆上或圆外）．
12．（4分）已知线段x是线段a、b的比例中项，且a＝4，b＝9 ．
13．（4分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
14．（4分）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
则满足方程ax2+bx+c＝0的解是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝3，则OB的长为 ．
16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）线段DF的长为 ；
（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝ ．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）已知抛物线y＝﹣3x2+6x+4．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？（直接写出答案）
18．（6分）一个袋子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个白球，1个红球．从口袋里摸出1个球，搅匀，再摸出一个球．
（1）按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）
（2）求两次摸出都是白球的概率．
19．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
20．（8分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝6，试求出点P的坐标．
21．（8分）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a≠0）与y轴交于点A．
（1）当a＝1，c＝2，求该抛物线与x轴交点坐标；
（2）若a＝1，点P（m，n）在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n﹣c＞0，试求m的值；
（3）若点A的坐标是（0，1），当﹣2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点
23．（10分）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
24．（12分）问题探究：
（1）如图①，已知线段AB＝2，在AB的两侧分别作等边△ABC和Rt△ABD，CM、DM分别为两个三角形的中线，连接CD ；
（2）如图②，已知△ABC，分别以AB为直角边在△ABC外侧作Rt△ABP，且∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，请求出的值；
问题解决：
（3）如图③，已知边长为a的正方形ABCD，点E是边CB延长线上一动点的最小值？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由，于是可设a＝4k则b＝7k，代，计算即可求解．
【解答】解：∵，
设a＝7k则b＝7k，
则，
故选：A．
【点评】本题考查了比例的基本性质，由题意得，于是可设a＝4k，b＝7k是解题的关键．
2．（3分）下列事件中属于随机事件的是（ ）
A．今天是星期一，明天是星期二
B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
D．抛出的篮球会下落
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答，
【解答】解：A、今天是星期一，故本选项不符合题意；
B、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件；
D、抛出的篮球会下落是必然事件．
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3．（3分）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（ ）
A．4：9B．16：81C．2：3D．1：3
【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵相似三角形的相似比是4：9，
∴面积比为：，
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质，相似比与面积比的关系是解题的关键．
4．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2B．y＝2x2+6
C．y＝2（x﹣2）2D．y＝2（x﹣2）2+6
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移7个单位2+3﹣5，即y＝2x2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
5．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：在二次函数y＝3（x﹣1）8+k，对称轴x＝1，
在图象上的三点A（1，y8），B（2，y2），C（﹣7，y3），
|1﹣7|＜|2﹣1|＜|﹣3﹣1|，
则y1、y4、y3的大小关系为y3＞y5＞y1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小
C．b2﹣4ac＜0
D．函数值有最小值4a﹣2b+c
【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．
【解答】解：∵抛物线的开口方向下，
∴a＜0．故A错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣8，0）和原点，
对称轴x＝＝﹣2，
∴当x＞﹣6时，y的值随x值的增大而减小，
故B不正确；
∵y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴b7﹣4ac＞0，故③正确；
∵a＜4，对称轴x＝﹣2，
∴x＝﹣2时，函数值有最大值6a﹣2b+c，
故④正确；
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．
7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝3，∠C＝90°，以点B为圆心，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】由题意得，BC＝BD＝3，直线MN为线段AD的垂直平分线，由勾股定理得AB＝＝5，进而可得AF＝1，证明△AEF∽△ABC，可得＝，即＝，求出AE，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，BC＝BD＝3，
∵BC＝3，AC＝3，
∴AB＝＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝5，
∴AF＝AD＝3，
∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AE＝．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R4＝42+（R﹣4）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是3，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
9．（3分）点A（0，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＞y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2或m＜0B．m＞2C．m＜0D．0＜m＜2
【分析】根据y1＞y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【解答】解：∵点A（0，y1），B（m，y4）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
∴y5＝（0﹣1）2+n＝1+n，
y2＝（m﹣8）2+n，
∵y1＞y3，
∴1+n＞（m﹣1）2+n，
∴（m﹣1）2＜4，
∴0＜m＜2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
10．（3分）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s）（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5B．+3或6C．+3或5D．+2或6
【分析】根据图②可知，AB＝BC＝2，再根据BP，BP′是∠ABC的三等分线，可以证明△PBC∽△BAC，求出PC的长，即可求出答案．
【解答】解：如图①，BP，
根据图②可知，AB＝BC＝2，
∵∠ABC＝108°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，
∴∠APB＝∠ABP＝72°，
∴AB＝AP＝2，
同理CP′＝BC＝6，
∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△PBC∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴PC＝﹣1或﹣，
∴AB+BC+PC＝+3，
∴当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为．
故选：B．
【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分）
11．（4分）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在 圆内 （填圆内，圆上或圆外）．
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，PO＝4，
∴6＜5，
∴点P在圆内．
故答案为：圆内．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
12．（4分）已知线段x是线段a、b的比例中项，且a＝4，b＝9 6 ．
【分析】根据已知线段a＝4，b＝9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵线段x是线段a、b的比例中项，b＝9，
∴＝，
∴x2＝ab＝3×9＝36，
∴x＝±6（负值舍去）．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
13．（4分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 0.9 ．（结果精确到0.1）
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到6.1．
故答案为：0.4．
【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
14．（4分）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
则满足方程ax2+bx+c＝0的解是 x＝1或3 ．
【分析】先确定抛物线对称轴，再观察表格确定函数值为0时的自变量的值即可解决问题．
【解答】解：观察表格发现函数的图象经过（1，0）（7，
∴满足方程ax2+bx+c＝0的解是x＝5或3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝3，则OB的长为 ．
【分析】先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到△ODE∽△OAB解题即可．
【解答】解：∵E为AC的中点，
∴，
∴，
连接ED，
则ED是△ABC的中位线，
∴，
∴∠OED＝∠EBA，∠ODE＝∠DAB，
∴△ODE∽△OAB
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）线段DF的长为 ；
（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝ ．
【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；
（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，画出下图：
∵AB＝4，AD＝6＝3，
∴AE＝5，
∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝12，
∴DF＝；
故答案为：；
（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K
在Rt△AFD中，
AF＝＝＝，
EF＝AE﹣AF＝3﹣＝，
∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，
∴△KEF∽△AEB，
∴，
∴
∴KE＝，
∴CK＝KE+EC＝+5＝，
∵AD∥CK，
∴＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）已知抛物线y＝﹣3x2+6x+4．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？（直接写出答案）
【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可解决问题．
（2）根据抛物线的开口方向及对称轴即可解决问题．
【解答】解：（1）因为y＝﹣3x2+4x+4＝﹣3（x﹣6）2+7，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝4，7）．
（2）因为抛物线的开口向下，且对称轴是直线x＝1，
所以当x＞6时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，能将二次函数解析式改写成顶点式是解题的关键．
18．（6分）一个袋子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个白球，1个红球．从口袋里摸出1个球，搅匀，再摸出一个球．
（1）按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）
（2）求两次摸出都是白球的概率．
【分析】（1）列表即可得出答案．
（2）由表格可得出所有等可能的结果数以及两次摸出都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
由表可知，按顺序先后摸得的两个球有3种不同的可能，6个白球1个红球．
（2）由表格可知，共有9种等可能的结果，
∴两次摸出都是白球的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据两角对应相等证明△ABD∽△CBA；
（2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：设DC＝x，
∵△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
解得，x＝9；
即CD＝7．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．
20．（8分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝6，试求出点P的坐标．
【分析】（1）把原点与A坐标代入解析式求出a与c的值，即可确定出解析式；
（2）由A与O坐标求出AO的长，根据三角形AOP面积为6，利用面积公式求出P纵坐标的绝对值为3，即P纵坐标为3或﹣3，把y＝3或y＝﹣3代入抛物线解析式求出x的值，即可确定出P坐标．
【解答】解：（1）把（0，0）与（﹣4，
解得：a＝﹣8，c＝0，
则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）∵AO＝4，S△AOP＝6，
∴|yP纵坐标|＝5，即yP纵坐标＝3或yP纵坐标＝﹣3，
把y＝2代入抛物线解析式得：x＝﹣1或﹣3，此时P坐标为（﹣4，（﹣3；
把y＝﹣3代入抛物线解析式得：x＝﹣6+或﹣2﹣，﹣3），﹣3）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（8分）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ 2t cm；OQ＝ 5﹣t cm．
（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，假设即可；
（2）分两种情形列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）PO＝2t，OQ＝5﹣t；
故答案为：6t，5﹣t．
（2）①若＝，即，
∴t＝2.7．
②若＝，即，
∴t＝1．
∴当t＝1或t＝7.5s时，△POQ与△AOB相似．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a≠0）与y轴交于点A．
（1）当a＝1，c＝2，求该抛物线与x轴交点坐标；
（2）若a＝1，点P（m，n）在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n﹣c＞0，试求m的值；
（3）若点A的坐标是（0，1），当﹣2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点
【分析】（1）①由a＝1，c＝2可得抛物线解析式，令y＝0求解．
②根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出y＝c时x的值，进而求解．
（2）由抛物线恒在x轴下方可得＜a＜0，由符合条件的整数a只有三个可得c的取值范围，进而求解．
（3）由点A坐标求出c的值为1，求出直线x＝﹣2，直线x＝1与抛物线的交点坐标，分类讨论a＞0，a＜0两种情况，列不等式组求解．
【解答】解：（1）当a＝1，c＝2时，
y＝x3+3x+2，
令y＝6，则x2+3x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），0）；
（2）∵a＝7，
∴抛物线开口向上，
∵y＝ax2+3ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，
将x＝0代入y＝ax4+3ax+c得y＝c，
∴抛物线经过（0，c），
由抛物线对称性可得抛物线经过（﹣8，c），
∵x＜﹣时，y随x增大而减小时，y随x增大而增大，
∴m＜﹣3或m＞7．
（3）∵点A的坐标是（0，1），
∴c＝5，
∴y＝ax2+3ax+7，
∴﹣2＜x＜1时，抛物线与x轴只有一个公共点，
当x＝﹣8时，y＝4a﹣6a+2＝﹣2a+1，
∴直线x＝﹣3与抛物线交点坐标为（﹣2，﹣2a+5），
当x＝1时，y＝a+3a+2＝4a+1，
∴直线x＝4与抛物线交点坐标为（1，4a+5），
①当Δ＝9a2﹣3a＝0时，抛物线顶点在x轴上，
解得a＝0（舍）或a＝．
②当a＞0时，若点（﹣4，点（1，
则，
解得a≥，
③当a＜0时，若（﹣6，点（1，
∴，
解得a＜﹣．
综上所述，a＝或a＜﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
23．（10分）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
【分析】数学建模：根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
问题解决：根据抛物线的解析式求出点G和点M的坐标，即可求出GM的长；
问题解决：先求出直线EK的解析式，即可求出CK的长．
【解答】解：数学建模：∵抛物线AED的顶点E（0，4），
∴可设抛物线的解析式为y＝ax8+4，
图象过点A（﹣2，3），
∴4a+4＝8，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2+3，
问题解决：由题意，可知L，
代入函数解析式，得3.75＝x2+4，
解得x3＝1，x2＝﹣3，
∴点L，R的坐标分别为（﹣1，（1，
∴点G，M的坐标分别为（﹣5.25，（0.25，
∴GM＝0.2m，
答：两个正方形装置的间距GM的长为0.5m；
问题解决：设直线AC的解析式为y＝kx+b，
点A，C的坐标分别为（﹣8，（2，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
∵EK∥AC，
∴可设直线EK的解析式为y＝x+m，
其与抛物线y＝x6+4只有唯一一个交点，
∴x2+4＝x+m有两个等根，
即一元二次方程x2+6x+4m﹣16＝0有两个等根，
∴Δ＝62﹣4（7m﹣16）＝0，
解答m＝，
∴直线EK的解析式为y＝x+，
当y＝0时，即0＝，
解得x＝，
∴OK＝，
∴CK＝OK﹣OC＝﹣2＝．
答：CK的长为m．
【点评】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
24．（12分）问题探究：
（1）如图①，已知线段AB＝2，在AB的两侧分别作等边△ABC和Rt△ABD，CM、DM分别为两个三角形的中线，连接CD +1 ；
（2）如图②，已知△ABC，分别以AB为直角边在△ABC外侧作Rt△ABP，且∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，请求出的值；
问题解决：
（3）如图③，已知边长为a的正方形ABCD，点E是边CB延长线上一动点的最小值？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出CM＝，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DM＝1，根据三角形三边关系得出CM+DM≥CD，即可得到答案；
（2）根据相似三角形的判定和性质得出△APB∽△ACQ，＝，再利用相似三角形的判定和性质得出△APC∽△ABQ，＝，即可求解；
（3）以AD为直径作圆O，在圆上找一点F，使得∠DAF＝∠EAB，根据相似三角形的判定和性质得出＝，利用相似三角形的判定和性质得出，当BF取得最大值时，取得最小值，求出BF＝a，即可得到答案．
【解答】解：（1）如图所示：
∵△ABC是等边三角形，CM为AB边上中线，
∴CM⊥AB，∠ACM＝，
∵AB＝6＝AC，
∴AM＝AC＝3AM＝，
∵∠ADB＝90°，DM为AB边上的中线，
∴DM＝AB＝1，
∵CM+DM≥CD，
∴CD≤+1，
∴当C、M、D三点共线时+7；
故答案为：+1；
（2）如图：
∵∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，
∴△APB∽△ACQ，
∴＝，即＝，
∵∠PAB＝∠CAQ＝30°，
∴∠PAC＝∠BAQ，
∴△APC∽△ABQ，
∴＝，
∵∠ABP＝90°，∠PAB＝30°，
∴＝＝；
（3）存在的最小值
以AD为直径作圆O，在圆上找一点F，连接BF
∴∠AFD＝∠ABE＝90°，
∴△ABE∽△AFD，
∴＝，即＝，
∵∠DAF+∠BAD＝∠EAB+∠BAD，即∠EAD＝∠BAF，
∴△AED∽△ABF，
∴＝＝，
∴＝，
∵AB＝a，
∴＝，
∴当BF取得最大值时，取得最小值、O、F三点共线，
∵AO＝OD＝OF＝a，
∴BF＝BO+OF＝+OF＝+a，
∴＝＝
∴的最小值为．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
893
4485
7224
8983
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.902
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
《蔬菜大棚的设计》
驱动问题
1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？
2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？
3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？
项目背景
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
数学建模
如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）
问题解决
如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．
问题解决
为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图4，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
893
4485
7224
8983
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.902
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
白1
白2
红
白2
（白1，白1）
（白7，白2）
（白1，红）
白8
（白2，白1）
（白2，白2）
（白2，红）
红
（红，白7）
（红，白2）
（红，红）
《蔬菜大棚的设计》
驱动问题
1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？
2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？
3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？
项目背景
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
数学建模
如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）
问题解决
如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．
问题解决
为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图4，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．