上海市虹口区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷

一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）.

1．（4分）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是　　

A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．4、5、5、6 D．1、2、10、20

2．（4分）甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离　　

A． B． C． D．

3．（4分）已知与相似，又，，那么不可能是　　

A． B． C． D．

4．（4分）如图，在的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么的值是　　

A． B． C． D．

5．（4分）下列说法正确的是　　

A． 

B．如果和都是单位向量，那么 

C．如果，那么 

D．如果为非零向量），那么

6．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是　　

A． B． C． D．

二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）已知，那么　 　．

8．（4分）计算：　　．

9．（4分）两个相似三角形的面积比为，那么它们对应中线的比为　 　．

10．（4分）设点是线段的黄金分割点，厘米，那么线段的长是　　厘米．

11．（4分）已知中，，，，那么的长是 　　．

12．（4分）如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么　　．

13．（4分）如图，已知为的角平分线，，如果，那么　　．

14．（4分）如图，在平面直角坐标系中有一点，那么与轴的正半轴的夹角的余弦值为　　．

15．（4分）如图，在平行四边形中，是对角线，点在边上，与相交于点，已知，，那么　 　．

16．（4分）如图，梯形中，，对角线与相交于点，，，则的面积为 　　．

17．（4分）如图，已知花丛中的电线杆上有一盏路灯．灯光下，小明在点处时，测得他的影长米，他沿方向行走到点处时，米，测得他的影长米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆的高度等于 　　米．

18．（4分）如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点，如果当时量得，，连接、，那么　　．

三.解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）已知：，且，求、、的值．

20．（10分）如图，已知梯形中，，对角线、相交于点，．

（1）求：的值；（2）若，，用向量与表示．

21．（10分）如图，在中，，边上的中线，交于点，且，，．

求：（1）的长；

（2）求的余弦值．

22．（10分）如图，在平行四边形中，点在边的延长线上，交边于点，交对角线于点．

（1）求证：；

（2）如果，，求的值．

23．（12分）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．

（1）求证：；

（2）若，，求的值．

24．（12分）如图，的顶点在的边上，与相交于点，，．

（1）求证：．

（2）求证：．

25．（14分）如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，射线交射线于点，设，．

（1）当时，求的长；

（2）如图，当点在边上时（点与点、不重合），求关于的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当时，求的长．

参考答案

一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．（4分）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是　　

A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．4、5、5、6 D．1、2、10、20

解：，故本选项错误；

，故本选项错误；

，故本选项错误；

，故本选项正确；

故选：．

2．（4分）甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离　　

A． B． C． D．

解：20千米厘米，

．

故选：．

3．（4分）已知与相似，又，，那么不可能是　　

A． B． C． D．

解：，，，

或或，

故选：．

4．（4分）如图，在的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么的值是　　

A． B． C． D．

解：，，

，

故选：．

5．（4分）下列说法正确的是　　

A． 

B．如果和都是单位向量，那么 

C．如果，那么 

D．如果为非零向量），那么

解：、错误，应该是；

、错误，单位向量，不一定相等，因为它们的方向不一定相同；

、错误，模相等的两个向量，方向不一定相同，所以不一定相等；

、正确，根据平行向量的特征判断．

故选：．

6．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是　　

A． B． C． D．

解：点、分别在边、上，，

．故正确，不符合题意；

，

，

，

，

，故正确，不符合题意；

，

，

，故正确，不符合题意；

与不一定相似，故不正确，符合题意；

故选：．

二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4分）已知，那么　　．

解：根据等式性质2，等式的两边同除以，则．

故填：．

8．（4分）计算：　　．

解：

．

故答案为：．

9．（4分）两个相似三角形的面积比为，那么它们对应中线的比为　　．

解：两个相似三角形的面积比为，

它们对应中线的比．

故答案为．

10．（4分）设点是线段的黄金分割点，厘米，那么线段的长是　　厘米．

解：点是线段的黄金分割点，，

厘米．

故答案为：．

11．（4分）已知中，，，，那么的长是 　10　．

解：在中，

，，

．

故答案为：10．

12．（4分）如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么　　．

解：，

，即，

解得，，

故答案为：．

13．（4分）如图，已知为的角平分线，，如果，那么　　．

解：，

，

又，

，

又为的角平分线，，

，

，

，

故答案为：．

14．（4分）如图，在平面直角坐标系中有一点，那么与轴的正半轴的夹角的余弦值为　　．

解：如图作轴于．

，

，，

，

．

故答案为：．

15．（4分）如图，在平行四边形中，是对角线，点在边上，与相交于点，已知，，那么　2　．

解：四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

．

16．（4分）如图，梯形中，，对角线与相交于点，，，则的面积为 　12　．

解：梯形中，，

，

，

，

，

，即，

．

故答案为：12．

17．（4分）如图，已知花丛中的电线杆上有一盏路灯．灯光下，小明在点处时，测得他的影长米，他沿方向行走到点处时，米，测得他的影长米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆的高度等于 　4.8　米．

解：如图，，

△，

，即①，

，

△，

，即②，

①②得，

解得，

，

．

即电线杆的高度等于．

故答案为4.8．

18．（4分）如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点，如果当时量得，，连接、，那么　　．

解：如图，连接，，，

由旋转可得，，，，

，

，

，

，，

△是等腰直角三角形，

，

设，则，，

中，，

，

解得，（舍去），

，

中，，

，

故答案为：．

三.解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）已知：，且，求、、的值．

解：设，则，，，

，

，

解得，

则，，．

20．（10分）如图，已知梯形中，，对角线、相交于点，．

（1）求：的值；（2）若，，用向量与表示．

解：（1），

，

，

．

（2），，，

，

．

21．（10分）如图，在中，，边上的中线，交于点，且，，．

求：（1）的长；

（2）求的余弦值．

解：（1）中，交于点，

点是的重心

，，

，

，

是边的中线，

，

，

，

，

答：的长为18．

（2）在中，，由勾股定理知：

，

，

答：的余弦值为．

22．（10分）如图，在平行四边形中，点在边的延长线上，交边于点，交对角线于点．

（1）求证：；

（2）如果，，求的值．

【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，

，，

，，

，，

，

．

（2），，

由（1）得出；

，

，

．

23．（12分）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．

（1）求证：；

（2）若，，求的值．

【解答】（1）证明：，，

，

又，

，

，

，

又，

；

（2），，

，

，

，

，

，

．

24．（12分）如图，的顶点在的边上，与相交于点，，．

（1）求证：．

（2）求证：．

【解答】证明：（1），

，

，

，

，

又，

，

又，

；

（2），，

，，

，

．

25．（14分）如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，射线交射线于点，设，．

（1）当时，求的长；

（2）如图，当点在边上时（点与点、不重合），求关于的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当时，求的长．

解：（1）四边形是矩形，

，

在中，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

即，

解得：；

（2）四边形是矩形，

，

，

，

即，

解得：，

，

，

即，

解得：，

，

整理得：．

即关于的函数关系式为．

（3）①当点在线段上时，在线段上，

，

，

，，

，

，

，

，

，

即，

解得：；

②当在的延长线上时，如图：

，，

，

，

，

，

，，

，，

，，

，

，

，

解得：；

综上所述，的长为3或．