湖南省长沙市第一中学2020届高三第二次月考数学（文）试题及答案（10月份）

长沙市一中2020届髙三月考试卷（二）

数学（文科）

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则

A.                  B.               C.                D.

2・设i为虚数单位,若复数满足,则z=

A.                         B.  C.                        D

3.已知某市的2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到达起点站乘车的吋刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是

A.                           B.                           C.                                   D.

4 .在等差数列中，，则

A. 5 B. 8                           C. 10 D. 14

5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是

A.如果，那么            B.如果,那么

C.如果,  ，那么         D.如果,那么

6.已知双曲线的一条渐近线与直线0垂直，则双曲线的离心率为

A. 2                            B.                          C.                               D.

7.执行如图所示的程序框图，若输出的是"”,则输入整数P的最大值为

A.6

B.7

C.8

D.15

8.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且函数是偶函数，则

A.                                B.

C.                                D.

★9.直三棱柱中，中点为中点为,,,则异面直线与所成角的正弦值为

A. 1                      B .                             C.                                      D. 0

10.已知函数(为自然对数的底数)，则的大致图象是

11.点与定点的距离和它到定直线的距离之比为1 : 2,则 的轨迹方程是

A.              B.                   C.                D.

12 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为

A.                     B.                                  C                        D

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。共20分•把各题答案的最简形式 写在题中的横线上.

13.已知向量夹角为,且，则            ・

14.若实数满足约束条件，,则的最大值为       .

★ 15.已知直线与抛物线相交于两点.是坐标原点，点在抛物线的弧上,当面积最大时，点坐标为          .

16.已知,   若关于的方程=0 (为实数）有两个不等的实根，且，则的最小值为          .

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考 生根据要求作答.

（—）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

设的内角的对边分别为，已知.

（1） 求的度数；

（2） 若,的周长为，求的面积.

18. （本小题满分12分）

某学校为了了解该校某年级学生的阅读量（分钟），随机抽取了 n名学 生,调查他们一天的阅读时间,统计结果下图表所示：

（1） 求出与的值；

（2） —天的阅读时间不少于35分钟称为"喜好阅读者.根据以上数据,完成下面的列联表，并冋答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“喜好阅读者”与"性别”有关？

附：（其中为样本容量）.

★ 19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中,,为线段的中点,为线段上一点.

（1）求证:平面；

（2）当时求与平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

设函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆过点,且其中一个焦点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若经过的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得为定值？若存在，求岀点的坐标;若不存在，请说明理由.

（二）选考题：共10分.请考生在22.23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4 — 4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.

（1） 求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）         若射线分别与曲线交于两点（异于极点）,求的值.

23.（本小题满分10分）选修4 — 5：不等式选讲 已知

（1） 当 时，解不等式；

（2） 若关于的不等式对恒成立.求实数的取值

集合.