河南省豫南九校2023届高三数学（理）上学期第二次联考试题（Word版附解析）

豫南九校2022-2023学年上期第二次联考

高三数学（理）试题

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的娃名、准考证号．考场号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，其中为虚数单位，则（    ）

A．16 B．17 C．26 D．28

3．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ）

A．  B．

C． D．

4．已知向量，，设，的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知，若，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知是等比数列，若，且，则（    ）

A．96 B． C．72 D．

7．已知中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，若点A到直线BC的距离为，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．若为第二象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数的最小正周期为，若，把的图象向左平移个单位长度，得到奇函数的图象，则（    ）

A． B．2 C． D．

11．2022年8月26日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同吋，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积S（单位：m2）与时间t（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型（，，且）．已知第一个月该植物的生长面积为1m2，第3个月该植物的生长而积为4m2，给艸下列结论：

①第6个月该植物的生长面积超过30m2；

②若该植物的生长面积达到100m2，则至少要经过9个月；

③若，则，，成等差数列；

④若，，成等差数列，，则．

其中正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前20项和（    ）

A．2620 B．2660 C．2870 D．2980

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）中，内角的分別为，

13．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若，则______．

14．已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．

15．已知函数的导函数为，函数的图象关于点对称，则______．

16．已知函数，则在上的最大值与最小值之和为______．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步褧．）

17．（本小题满分10分）

已知命题：函数的图象上的点均位于轴的上方；命题：函数在上单调递增．

（1）若为真，求实数的取值范围；

（2）若是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）若，求证：为直角三角形；

（2）若的面积为，且，求的周长．

19．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若复数（其中为虚数单位），求的值；

（2）过点的直线与切于点，求直线的斜率．

20．（本小题满分12分）

已知函数，向量，．

（1）若，求的值；

（2）当时，若向量，的夹角为，求．

21．（本小题满分12分）

已知数列的各项均为正数，前项和为，若．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：；

（3）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若是的一个极值点，求的极值；

（2）设的极大值为，且有零点，求证：．

豫南九校2022-2023学年上期第二次联考

高三数学（理）参考答案

1．【答案】

【解析】由题意，得，，故．故选C．

2．【答案】B

【解析】设，由，得，

即，故，解得，故．故选B．

3．【答案】D

【解析】由，得，由题意，得，即．故选D．

4．【答案】D

【解析】由题意，得，则．故选D．

5．【答案】A

【解析】由，得．由，得，即．由，得．设，显然在上单调递增，，，故．故选A．

6．【答案】B

【解析】设数列的公比为，由，得，得，则，故，则．故选B．

7．【答案】A

【解析】由题意，得，即，；由及正弦定理可得，故，故．故选A．

8．【答案】D

【解析】由为第二象限角，且，得，，则，故．故选D．

9．【答案】C

【解析】由，得．设切点为，则切线方程为①，把点代入①，得，解得．故选C．

10．【答案】A

【解析】∵，∴，∴，∴，

∵为奇函数，∴，即，∴．

又，∴，∴，∴．故选A．

11．【答案】B

【解析】由题意，得，解得，故，故，即第6个月该植物的生长面积超过30m2，即①正确；令，结合，解得，故第8个月该植物的生长面积已超过100m2，即②错误；由，得，即，即，即③正确；对于④，由，，得，，由，，成等差数列，得，即④错误．故选B．

12．【答案】C

【解析】由，得，两式相减，得

，整理，得，

即．因为各项为正，所以，

所以数列是公差为1的等差数列．

又当时，，即，

所以或（舍去），所以，

所以，所以．

因为，所以，

即．

又，所以，

故．故选C．

13．【答案】

【解析】由题意，得，解得．故答案为：．

14．【答案】

【解析】因为，，1成等比数列，所以，所以，即，即．由，得，解得，即的公差的取值范围为．故答案为：．

15．【答案】

【解析】由，得，故（其中），由函数的图象关于点对称，得，故，故，即，故．故答案为：．

16．【答案】

【解析】由题意，得．把的图象向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得函数的图象．当时，，即为奇函数，在上的最大值与最小值之和为0，故在上的最大值与最小值之和为．故答案为：．

17．【答案】若命题为真，则，

解得，记集合．（2分）

对于命题，由，得，

由在上单调递增，得在上恒成立，

即在上恒成立，故，记集合．（4分）

（1）若为真，则的取值范围为．（6分）

（2）若为真，则，即．（7分）

由是“”的充分不必要条件，得是的真子集，（8分）

故，解得或．

即实数的取值范围是．（10分）

18．【答案】由及正弦定理，得，

又，故，又，故．（3分）

（1）因为，所以结合余弦定理，得，所以，所以是以为直角的直角三角形．（6分）

（2）由的面积为，得，故，（8分）

由，结合余弦定理，得，

所以，（11分）

故的周长为．（12分）

19．【答案】（1）解法一：由题意，得，（2分）

故，（4分）

故．（6分）

解法二：由题意，得，（2分）

故，（4分）

故．（6分）

（2）当时，由，得，

则切线的方程为，（8分）

把点代入，得，即，（10分）

设，易知在上单调递增，且，

故，直线的斜率为．（12分）

20．【答案】

（1）∵，，，

∴，即，

∴，即．（3分）

由题意，得，（4分）

∴．（6分）

（2）由（1）知，

令，得，即，

故或，

即或．（8分）

①当时，，，

此时，，（10分）

②当时，，或，，

此时，．

综上，的值为或1．（12分）

21．【答案】

（1）因为，

所以当时，，

又，所以解得．（1分）

由①，

得②，

①-②，得，（3分）

即，

由数列的各项均为正数，得，

所以，

所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以的通项公式为．（4分）

（2）因为，

所以由（1），得，（6分）

所以．（7分）

（3）由（1）知，是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，所以．（8分）

（1）当为偶数时，

．

令，得，

结合为整数，解得，

又为偶数，故的最小值为20．（10分）

②当为奇数时，

，

故不成立．

综上，满足的最小正整数的值为20．（12分）

22．【答案】（1）易知，函数的定义域为．

由，得，

由是的一个极值点，得，即，即．（2分）

此时，，．

设，则，

所以在上单调递减．（3分）

又，

所以当时，，即，

当时，，即．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有极大值，无极小值．（5分）

（2）由，得，（6分）

设，则，

令，得，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值为．（8分）

当时，．

又，，故存在唯一的零点，且．

由，得，（10分）

当时，，即，当时，，即，

即在上单调递增，在上单调递减．

故的极大值为，（11分）

令，得．

由有零点，得，即．（12分）