南京市第二十九中学2022—2023学年八年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份南京市第二十九中学2022—2023学年八年级上学期期中考试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了本试卷共8页等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共8页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字
笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是
A B C D
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，6，7
3．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，图中全等三角形有
（第4题）
B
D
A
C
（第3题）
A
B
C
D
O
A．1对B．2对C．3对D．4对
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是
A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
5．如图，△ABD≌△ACE，若∠AEC＝110°，则∠DAE的度数是
A
B
C
（第6题）
A
C
E
D
B
（第5题）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若过点A的一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画
A．1条B．2条 C．3条D．4条
（第7题）
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 ▲ 性．
8．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为24 cm，若AB＝10 cm，EF＝8 cm，
AC＝ ▲ cm．
9．如图，∠BAC＝∠DAC，请添加一个条件，使△ABC≌△ADC，这个条件可以是： ▲ ．（写出一个即可）
B
A
B
C
D
（第10题）
C
A
D
（第9题）
10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD的长为 ▲ ．
11．等腰三角形的一个外角的度数是80°，则它底角的度数为 ▲ °．
12．如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，
△BCN的周长是12cm，则BC的长为 ▲ cm．
（第12题）
A
B
C
N
A
B
C
（第13题）
S1
S2
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4 cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝ ▲ cm2．
（第14题）
B
C
F
D
A
E
14．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点．且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE．其中，正确的说法有 ▲ ．（填序号）
15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过点A，B向过点C的直线CD
作垂线，垂足分别为E，F．若AE＝3，BF＝1，则EF的长为 ▲ ．
16．以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；
②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中
一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④有两角和第三个角的角平
分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有 ▲ ．（填序号）
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（6分）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝25 m，AC＝7 m．求A，B两点间的距离．
A
B
C
（第17题）
C
D
A
B
O
（第18题）
18．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC、BD交于点O．
求证OB＝OC．
19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C；
（2）五边形ABCB′A′的面积为 ▲ ．
C
A
B
l
（第19题）

20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，DE∥AB．
A
E
C
D
B
（第20题）
求证：△ADE是等腰三角形．
21．（6分) 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，
AD＝13．求四边形ABCD的面积．
C
B
D
A
（第21题）
22．（6分）如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不
写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠B的平分线，交AC于点D；
（2）在线段BC上求作一点E，使得∠AEB＝2∠C．
A
C
B
（第22题）

23．（8分）如图，在△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，
BЕ＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
AE与CD有何关系？证明你的结论．
C
A
B
D
E
M
N
（第23题）
24．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD，垂足为Q，BE
交AD于点P．
（1）求证△ABE≌△CAD；
（2）∠PBQ的度数为 ▲ °．
A
E
P
B
C
Q
D
（第24题）
25．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC 绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
（1）请利用这个图形说明：
①a2＋b2＝c2；
②a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；
（2）根据（1）②的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
A
C
B
O
a
b
c
（第25题）
26．（8分）我们在学习《2.4线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程．
例2 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P．
求证：点P在∠C的平分线上．
证明：过点P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为F、M、N．
∵AD平分∠BAC，点P在AD上，
∴ ▲ ．
同理 ▲ ．
∴ ▲ ．
∴点P在∠C的平分线上．

C
E
A
B
F
D
M
N
P
（1）请补全课本例2的证明过程；
（2）运用上述结论解决下面的问题：
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为
H，点D、E在AH上，且∠CBD＝∠DBE＝∠EBA，连接CD并延
长，交AB于点F，连接EF．求证EF∥BD．
B
A
C
H
D
E
F
（第26题）
参考答案
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（每小题2分，共计12分）
二、填空题（每小题2分，共计20分）
7．稳定 8．6 9．AB＝AD（答案不唯一）10．1 11．40
12．5 13．16 14． = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ 15．2或4 16． = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④
三、解答题（本大题共10小题，共计68分）
17．（本题6分）
解：∵点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，∴∠BAC＝90°．
又∵BC＝25 m，AC＝7 m，
∴AB2＝BC2－AC2＝252－72＝576. 4分
∴AB＝24 m. 5分
答：A，B两点间的距离为24 m. 6分
18．（本题6分）
证明：在△AOB和△DOC中，
EQ \B\lc\{(\a\al(∠A＝∠D＝90°，,∠AOB＝∠DOC，,AB＝DC，))
∴△AOB≌△DOC．4分
C
A
B
A′
B′
l
∴OB＝OC．6分
19．（本题6分）
解：（1）如图所示． 3分
（2）13．6分
20．（本题6分）
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝∠CAD．2分
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE．4分
∴∠CAD＝∠ADE．5分
∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形．6分
21．（本题6分）
解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25．2分
在△ADC中，∵AC2＋CD2＝25＋122＝169，AD2＝132＝169，
∴CD2＋AC2＝AD2．
∴△ADC是直角三角形，且∠DCA＝90°．4分
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq \f(1,2)AB•BC＋eq \f(1,2)AC•CD＝366分
A
B
E
C
D
22．（本题6分）
解：（1）如图所示，BD即为所求． 3分
（2）如图所示，点E即为所求．6分
23．（本题8分）
解：AE＝CD，AE⊥CD．2分
证明：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBD．
在△ABE和△CBD中，
EQ \B\lc\{(\a\al(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，, BE＝BD，))
∴△ABE≌△CBD（SAS）．
∴AE＝CD，5分
且∠BAE＝∠BCD．6分
∵∠NMC＝180°－∠BCD－∠CNM，∠ABC＝180°－∠BAE－∠ANB，
又∵∠CNM＝∠ANB，∠ABC＝90°，
∴∠NMC＝∠ABC＝90°，即AE⊥CD．8分
24．（本题8分）
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．2分
在△ABE与△CAD中，
EQ \B\lc\{(\a\al(AB＝AC，,∠BAC＝∠C，, AE＝CD，))
∴△ABE≌△CAD（SAS）．5分
（2）30．8分
25．（本题8分）
解：（1） = 1 \* GB3 ①因为边长为c的正方形面积为c2，
它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a－b)的小正方形组成的，
它的面积为4×EQ \F(1,2) QUOTE ab＋(a－b)2＝a2＋b2，
所以c2＝a2＋b2．2分
= 2 \* GB3 ②本题方法不唯一，如∵边长为(a－b)的小正方形的面积(a－b)2≥0，
∴a2＋b2－2ab≥0．
∴a2＋b2≥2ab．4分
当且仅当a＝b时，等号成立．5分
（2）由题意得2(x＋y)＝8．∴x＋y＝4．
由（1）的结论知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2－2xy．
∴4xy≤(x＋y)2．
∴xy≤4，即长方形的面积小于或等于4．
当且仅当x＝y＝2时，长方形的面积最大，最大面积是4．8分
26．（本题8分）
解：（1）PN＝PF，PF＝PM，PM＝PN．3分
（2）连接CE，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
B
A
C
H
D
E
F
∴AD平分∠BAC，BH＝HC．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
又∵∠CBD＝∠DBE＝∠EBA，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠EBA＝15°．
∵AH⊥BC，BH＝HC，
∴BD＝CD，BE＝CE．
∴∠DCB＝∠DBC＝15°．
易证∠EBD＝∠ECD＝15°．
∴∠ACE＝45°－15°－15°＝15°．
∴CE平分∠ACD．
在△CAF中，CE平分∠ACD，AD平分∠BAC，
由结论（1）得EF平分∠AFD．
由题意得∠AFD＝180°－90°－30°＝60°．
∴∠AFE＝30°．又∠FBD＝30°，
∴EF∥BD．8分
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
D
A
B
C