南京市第二十九中学2022—2023学年八年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份南京市第二十九中学2022—2023学年八年级上学期期中考试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了本试卷共8页等内容，欢迎下载使用。
南京市第二十九中学2022—2023学年八年级上学期期中考试数学试题注意事项：1．本试卷共8页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是         A      B          C         D2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A．1，2，3   B．2，3，4  C．3，4，5   D．5，6，73．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，图中全等三角形有A．1对    B．2对   C．3对    D．4对     4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是A．AB垂直平分CD     B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分   D．CD平分∠ACB5．如图，△ABD≌△ACE，若∠AEC＝110°，则∠DAE的度数是A．30°           B．40°          C．50°          D．60°      6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若过点A的一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画A．1条 B．2条         C．3条 D．4条  二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．如图，自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有  ▲  性．  8．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为24 cm，若AB＝10 cm，EF＝8 cm，AC＝  ▲  cm．9．如图，∠BAC＝∠DAC，请添加一个条件，使△ABC≌△ADC，这个条件可以是：  ▲  ．（写出一个即可）       10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD的长为  ▲  ． 11．等腰三角形的一个外角的度数是80°，则它底角的度数为  ▲  °．12．如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是12cm，则BC的长为  ▲  cm．         13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4 cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝  ▲  cm2． 14．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点．且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE．其中，正确的说法有 ▲ ．（填序号）        15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过点A，B向过点C的直线CD作垂线，垂足分别为E，F．若AE＝3，BF＝1，则EF的长为  ▲  ．16．以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有  ▲  ．（填序号）三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17．（6分）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝25 m，AC＝7 m．求A，B两点间的距离．      18．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC、BD交于点O．求证OB＝OC．      19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C；（2）五边形ABCB′A′的面积为   ▲   ．            20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，DE∥AB．求证：△ADE是等腰三角形．         21．（6分) 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．         22．（6分）如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）（1）作∠B的平分线，交AC于点D；（2）在线段BC上求作一点E，使得∠AEB＝2∠C．          
23．（8分）如图，在△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BЕ＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．AE与CD有何关系？证明你的结论．        24．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD，垂足为Q，BE交AD于点P．（1）求证△ABE≌△CAD；（2）∠PBQ的度数为   ▲   °．       25．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC 绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形说明：①a2＋b2＝c2；②a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（2）根据（1）②的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？          
26．（8分）我们在学习《2.4线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程．           （1）请补全课本例2的证明过程；（2）运用上述结论解决下面的问题：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，点D、E在AH上，且∠CBD＝∠DBE＝∠EBA，连接CD并延长，交AB于点F，连接EF．求证EF∥BD．        
参考答案说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（每小题2分，共计12分）题号123456答案CCDABC二、填空题（每小题2分，共计20分）7．稳定         8．6        9．AB＝AD（答案不唯一）10．1        11．40   12．5           13．16      14．①③                15．2或4    16． ③④三、解答题（本大题共10小题，共计68分）17．（本题6分）解：∵点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，∴∠BAC＝90°．又∵BC＝25 m，AC＝7 m，∴AB2＝BC2－AC2＝252－72＝576. ··································4分∴AB＝24 m. ···················································5分答：A，B两点间的距离为24 m. ·····································6分18．（本题6分）证明：在△AOB和△DOC中， ∴△AOB≌△DOC．············································4分∴OB＝OC．··················································6分19．（本题6分）解：（1）如图所示． ····················3分（2）13．··························6分    20．（本题6分）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝∠CAD．······························2分∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE．············································4分∴∠CAD＝∠ADE．············································5分∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形．·······························6分21．（本题6分）解：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25．···································2分在△ADC中，∵AC2＋CD2＝25＋122＝169，AD2＝132＝169， ∴CD2＋AC2＝AD2．∴△ADC是直角三角形，且∠DCA＝90°．·····························4分∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB•BC＋AC•CD＝36·············6分22．（本题6分）       解：（1）如图所示，BD即为所求． ·····································3分（2）如图所示，点E即为所求．·····································6分23．（本题8分） 解：AE＝CD，AE⊥CD．·············································2分证明：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBD．在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD（SAS）．∴AE＝CD，··················································5分且∠BAE＝∠BCD．············································6分∵∠NMC＝180°－∠BCD－∠CNM，∠ABC＝180°－∠BAE－∠ANB，又∵∠CNM＝∠ANB，∠ABC＝90°，∴∠NMC＝∠ABC＝90°，即AE⊥CD．·····························8分24．（本题8分）（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．··································2分在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）．······································5分（2）30．······················································8分25．（本题8分）解：（1）①因为边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a－b)的小正方形组成的，它的面积为4×ab＋(a－b)2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋b2．·············································2分②本题方法不唯一，如∵边长为(a－b)的小正方形的面积(a－b)2≥0，∴a2＋b2－2ab≥0．∴a2＋b2≥2ab．··············································4分当且仅当a＝b时，等号成立．·····································5分（2）由题意得2(x＋y)＝8．∴x＋y＝4． 由（1）的结论知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2－2xy．∴4xy≤(x＋y)2．∴xy≤4，即长方形的面积小于或等于4．当且仅当x＝y＝2时，长方形的面积最大，最大面积是4．················8分26．（本题8分）解：（1）PN＝PF，PF＝PM，PM＝PN．·································3分（2）连接CE，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴AD平分∠BAC，BH＝HC．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．又∵∠CBD＝∠DBE＝∠EBA，∴∠CBD＝∠DBE＝∠EBA＝15°．∵AH⊥BC，BH＝HC，∴BD＝CD，BE＝CE．∴∠DCB＝∠DBC＝15°．易证∠EBD＝∠ECD＝15°．∴∠ACE＝45°－15°－15°＝15°．∴CE平分∠ACD．在△CAF中，CE平分∠ACD，AD平分∠BAC，由结论（1）得EF平分∠AFD．由题意得∠AFD＝180°－90°－30°＝60°．∴∠AFE＝30°．又∠FBD＝30°，∴EF∥BD．····················································8分