综合与实践课《辨伪求真－猜想、证明与拓广》教学设计

九年级数学综合与实践课

课题：《辨伪求真－－猜想、证明与推广》

 一、教学内容和内容解析

本课内容为九年级总复习的综合与实践课，这是一些直觉与逻辑不符的例子，涉及到平移、一次函数、勾股定理、全等三角形、相似三角形角、平分线的性质、等腰三角形判定、三角形四边形的面积计算等相关知识。同学们通过实验与操作(画图、测量、剪拼)、数形论证、推理求证等方法，辨明对错,解决问题。

通过学习让学生体会到:对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。通过对“真假命题”的探究，有助于培养学生尊重科学、实事求是的态度，有助于启迪学生养成言之有据的科学态度，培养学生理性思维，敢于批判质疑的科学研究精神。

二、教学目标

 (1) 在解决问题的过程中综合运用所学的知识, 体会知识间的内在联系, 形成对数学的应用性认识.

 (2) 教师以具体实例让学生进行探究和陈述，旨在培养学生观察、比较、综合、概括、 判断、推理能力，激发学生进行深度思考，从而提升学生的逻辑思维能力。

三、教学问题诊断分析

数学活动经验是学生个人经验的重要组成部分， 是学生学习数学、提升核心素养的重要基础之一。数学活动经验是在做和思考中积淀的， 教师应该帮助学生利用已有的知识经验，积极参与到数学学习活动中去，促使学生进行数学思考。

因此，本节课的教学重点是：创新教学形式，让教学充满趣味，充满活力，更充满“诱惑”，激发学生探究的欲望，主动尝试，综合运用初中三年所学知识积极实践。

本节课的教学难点是“活动5　剪下重拼,面积怎么少了一个单位？” 。在实际教学中可以引导学生先看图，再让学生分组将图开，动手操作发现矛盾（64＝65？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。

四、教学支持条件分析

本节课以“抛出问题、明确矛盾──尝试探索、操作实践──表达说理、交流方法──总结思想、提升素养”的模式展开，引导学生从一个个直觉与逻辑不符的例子出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历探索与应用的过程，培养学生理性思维，敢于批判质疑的科学研究精神。

本节课合理有效的利用组合教学媒体，使深奥的知识变得浅显易懂，师生共同探索. 活动1采用动画平移小路；活动2通过板书比较数和形两种思想；活动3通过投影仪，让多位同学上来分享精彩的方法；活动4利用几何画板软件，学生能够观察出点和线的变化；活动五通过卡纸纸板剪片，贴在黑板上直观感知发现。

五、教学过程设计

（一）生活引入，激趣学习

人们都说：“耳听为虚，眼见为实”，生活中我们常常相信自己的亲眼所见，我们现在来看这样两幅图片

1、这个人真的举起了太阳吗？

2、这其实是一个有泡沫的水槽，多像眼睛啊！

生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术。

板书课题:综合与实践----辨伪求真

（一）初步体验，获取方法

活动1  曲道比直道面积大吗？

题目：如图是一块长方形的草地, 长为 m，宽为 m. 在草地中间有条1米的直道（如图1）,为达到“曲径通幽”的效果，现修改为处处1米宽的弯曲的小路（如图2）.曲道比直道面积大吗？

教学组织：1、图1中，道路是直的，长方形的边也是直的，所以我们采用平移法，将道路平移。将道路往AB或者CD方向平移，将在左右两边的两块草地合二为一，达到了化零为整的目的。这样1*b=b

2、在图2中，如果我们将曲道平移，而长方形的边直的，就有空隙了。所以我们还是采用平移法，但是将草地进行平移，这样的话，草地的宽不变，草地的长是原长方形的长减少了1米，所以

所以，曲道比直道面积相等。

活动2　两个面积可以拼合？

题目：如图，直角坐标系xoy中，A(0,5),直线x=-5与 x 轴交于点D，

直线          　　　与x轴及直线 x=-5分别交于点C，E．点B，E关于 x

轴对称，连接A，B.

（1）求点C，E 的坐标及直线AB的解析式.

（2）设面积的和                       ，求 S的值．

嘉琪有个想法：“将     　　沿x轴翻折到         的位置，

而          与四边形ABDO 拼接后可看成         ，

这样求S便转化为直接求         的面积.”

教学组织：第（1）问易求，略讲，学生独立完成，与答案核对即可：

C（－13，0）;  E（－13，0）;  

第（2）问，要详，可带领学生从两个角度分析与解答：

形：三点不共线

①      直线AB与BC的解析式是否一致

②      在

得

∴与x轴交于（－12.5，0），而C为（－13，0）

数：,  

∴S＝12+20＝32

（三）高潮探究，活跃交流

活动3  两个正方形面积相等吗？

题目：老师布置了这样一道课后思维训练题：比较图中两个正方形面积的大小.题目一出来,好多同学就说:“一样大”. 你认为呢？

教学组织：给孩子们几分钟时间独立思考，然后，全班交流：

生1：

∵

∴

生2：

设大正方形的边长为x

∵的边长为

∴=

∵的边长为

∴=

∴

生3：

正方形被分成两个全等的等腰直角三角形，

所以这两个大等腰直角三角形面积相等

∴

师补：“九宫格”法

化为九格中的两整格

∴

而由上已知

活动4　明明是错误命题，怎么就找不出错在哪里？

命题：任意一个三角形都是等腰三角形．

已知： ，如图所示．  求证：  是等腰三角形．

此问题教学流程：

1、证明无误问题又出在哪里呢？有学生建议亲自画画图；

2、学生使用三角板动手画图，后交流发现角平分线与对边中垂线的交点都在三角形外部，原来是给的图有误；

3、是不是角平分线与对边垂直平分线的交点一定在三角形外部呢？老师制作了几何画板，课堂上现场操作，改变三角形的形状，除等腰三角形外，交点均在外部；

4、正确作图下的证明是：

如右图，接原证明过程，

∴ AB＝AD+BD，

AC＝AE－CE。

∴  AB与AC不一定相等.

活动5　剪下重拼,面积怎么少了一个单位？

有一 张13×13＝169的正方形纸片，把这张纸片按左图所示剪成4块，按右图所示重新拼合，计算可知长方形的面积为21×8＝168 .比原先少了一个单位的面积,太不可思议了!哪里出了问题呢？

图 1                                              图 2

这个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。

如何解决这个问题呢?

1斜率法：要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。

2、可以采用如下反证法证明，在证明过程中加深对相似
图形的理解
如图3，过D作AC的垂线交AC于点F。

假定图2中的图形是长方形，那么图形的右下角就应当是直角.
则在图3中有∠1＋∠3＝90°。

因为∠2＋∠3＝90°，

所以∠1＝∠2。

由相似三角形的判定定理，可知两个直角三角形△ABC与△DEF相似。

由相似三角形对应边成比例，应当有:

这是不可能的，因此图2中的图形不可能是长方形。
由于这个差很小，

因此会造成我们视觉的误差，把图2中的图形判断为长方形.

（四）画龙点睛，提炼精髓

1、仅凭观察、猜想是不可靠的，　操作实验和计算是必要的，

重要的是有严密的推理论证。

2、理性思维 、批判质疑 、勇于探究

(科学研究精神)

3、数缺形时少直观， 形缺数时难入微.   -- - 华罗庚

六、教学反思

1、课堂教学形式的创新是提高课堂教学有效性不可忽略的因素。 本课以直觉与逻辑不符贯穿教学始终， 激发了学生学习的兴趣和探究的欲望。整个教学过程浑然一体，极其流 畅，整堂课焕发出“神奇”的色彩。时代不同了，现在学生可以从很多渠道得到各 种各样的信息。很多老师都有这样的感觉：现在的学生对什么都不容易提起兴趣，不像以前，几张幻灯片或者是几张图片就能让他们眼前一亮。 基于这样的现实，需要做出改变的是教师，诚如日本的谚语所说的“专拿万金油治病的医生不是好大夫”。 有效的教学需要教学形式的不断创新， 因为形式的创新能让教学充满趣味，充满活力，更充满“诱惑”。

 2、数学课堂充满神奇的色彩是唤起学生数学学习兴趣的有效手段 中国当代著名数学家“陈省身奖”获得者杨乐说过，学好数学，兴趣是关键。 那么如何唤起学生学习 数学的兴趣呢？方法有很多，而其中最有效最长效的 做法应该是通过数学的美去吸引学习者， 让他们积 极主动地投入到数学活动中来。 而本课的教学实践 给了我们一个新视角：那就是通过数学的奇崛之美， 可以让数学课堂充满迷人的神奇色彩， 让数学课堂 如同一块吸铁石一般牢牢地将学生吸引到数学学习 活动中来，引入到数学的深度思考之中。可以说，咱们可爱的孩子们，他们对数学的“喜欢度” 增加的真不只是一点点啊！

3、一节课的时间是有限的 ， 但学生个体间 和小组间 的相互启发，给他们带来无 限 的遐想，各不相同的“奇思妙想”与组和组之间的思维碰撞，这开阔了学生的视野，让他们享受思维的过程 。

这节课学生会表现出了一些难能可贵的品质， 如强烈的探究欲望、创造性的思维、同伴之间 的 合作、跳出 数学用数学的思维等，这些都是传统课堂中的稀缺品，它们触发了学生的深度学习，改变了学生的学习方式。