河南省信阳市潢川四中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份河南省信阳市潢川四中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市潢川四中九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题
1．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
2．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2
3．下列式子中二次函数有（　　）
①y＝1﹣x2；
②y＝x（x﹣1）；
③y＝；
④y＝（x﹣2）2﹣x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．抛物线y＝2x2的顶点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（1，2） C．（0，0） D．（0，2）
5．如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
6．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　）
A．96 B．69 C．66 D．99
7．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
8．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）
A．10（1+x）2＝36.4
B．10+10（1+x）2＝36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4
10．第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕原点O逆时针旋转90°得到A3；
…
第四次：作点A3关于x轴的对称点A4；
按照这样的规律，点A2022的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是3，则k＝　 　．
12．一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个QQ群里有　 　个好友．
13．若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值为　 　．
14．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0＜α＜90°）．若∠1＝110°，则α＝　 　．

15．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为　 　．（用含a，b的代数式表示）

三、解答题
16．解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）﹣6＝0．
17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　 　度；
（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．

19．已知在△ABC中，∠B＝30°，AB+BC＝12，设AB＝x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
20．根据下列条件分别求a的取值范围．
（1）函数y＝（a﹣2）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝（3a﹣2）x2有最大值；
（3）抛物线y＝（a+2）x2与y＝﹣x2的形状相同；
（4）函数y＝ax2的图象是开口向上的抛物线．
21．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状．并说明理由．

22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
23．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．


参考答案
一、选择题
1．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
2．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
3．下列式子中二次函数有（　　）
①y＝1﹣x2；
②y＝x（x﹣1）；
③y＝；
④y＝（x﹣2）2﹣x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
解：①y＝1﹣x2，是二次函数，
②y＝x（x﹣1）＝x2﹣2x，是二次函数；
③y＝，不是二次函数；
④y＝（x﹣2）2﹣x2＝x2﹣4x+4﹣x2＝﹣4x+4，是一次函数；
∴上列式子中二次函数有2个，
故选：B．
4．抛物线y＝2x2的顶点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（1，2） C．（0，0） D．（0，2）
【分析】根据解析式即可确定顶点坐标．
解：∵抛物线y＝2x2，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，0），
故选：C．
5．如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据平移，旋转的性质判断即可．
解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折得到．
故选：B．
6．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（　　）
A．96 B．69 C．66 D．99
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
7．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】现根据旋转的性质得到∠B′A′C＝∠BAC，∠A′CB′＝90°，再根据三角形内角和和外交的性质即可得出结论．
解：∵Rt△A′B′C是由Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得，
∴∠B′A′C＝∠BAC，∠A′CB′＝90°，
∵∠AB′A′＝90°+∠B′A′C，∠1＝25°，
∴∠B′AA′＝180°﹣∠AB′A′﹣∠1＝180°﹣90°﹣∠B′A′C﹣25°＝65°﹣∠B′A′C，
∴∠BAA′＝∠BAC+∠B′AA′＝∠BAC+65°﹣∠B′A′C＝∠BAC+65°﹣∠BAC＝65°．
故选：C．
8．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出m2+m＝2021，m+n＝﹣1，再将其代入m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）中即可求出结论．
解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m2+m＝2021，m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2021+（﹣1）＝2020．
故选：B．
9．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）
A．10（1+x）2＝36.4
B．10+10（1+x）2＝36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4
【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2＝36.4，把相关数值代入计算即可．
解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4，
故选：D．
10．第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕原点O逆时针旋转90°得到A3；
…
第四次：作点A3关于x轴的对称点A4；
按照这样的规律，点A2022的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：过A1作A1C⊥y轴于C，过A作AD⊥y轴于D，
∵将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1，

∴OA＝OA1，∠A1OA＝90°，
∵∠A1OC+∠OA1C＝∠A1OC+∠AOD＝90°，
∴∠OA1C＝∠AOD，
∴△A1OC≌△OAD（AAS），
∴A1C＝OD＝2，OC＝AD＝3，
∴A1（﹣2，3），
∵点A1关于x轴的对称点A2；
∴A2（﹣2，﹣3），
同理A3（3，﹣2），
4次应该循环，2022÷4＝505…2，
∴点A2022的坐标与A2相同，
∴点A2022的坐标（﹣2，﹣3），
故选：A．
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是3，则k＝　9　．
【分析】把x＝3代入方程得到关于k的方程，解方程求出k的值．
解：把x＝3代入方程有：
（3）2﹣6×3+k＝0，
解得：k＝9．
故答案为：9．
12．一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个QQ群里有　30　个好友．
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．
解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）＝870，
整理，得x2﹣x﹣870＝0，（x﹣30）（x+29）＝0
解得：x1＝30，x2＝﹣29（舍去）
答：QQ群里共有30个好友．
13．若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值为　﹣1　．
【分析】根据二次函数的定义，令指数为2，系数不为0即可．
解：∵y＝（m﹣1）是二次函数，
∴m﹣1≠0且m2+1＝2，
解得m＝﹣1，
故答案为﹣1．
14．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0＜α＜90°）．若∠1＝110°，则α＝　20°　．

【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC＝∠D＝90°，∠DAD′＝α，再利用四边形内角和计算出∠BAD＝70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．
解：∵矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 A′B′C′D′的位置，
∴∠ADC＝∠D＝90°，∠DAD′＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠2，而∠2＝∠21＝110°，
∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°，
∴∠DAD′＝90°﹣70°＝20°，
即α＝20°．
故答案为 20°．
15．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为　（a+b）　．（用含a，b的代数式表示）

【分析】如图，连接DK，DN，证明S四边形DMNT＝S△DKN＝a即可解决问题．
解：如图，连接DK，DN，

∵∠KDN＝∠MDT＝90°，
∴∠KDM＝∠NDT，
∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM＝S△DNT，
∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a，
∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b．
故答案为（a+b）．
三、解答题
16．解下列方程：
（1）2x2﹣4x﹣5＝0；
（2）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）﹣6＝0．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）把方程看作关于x﹣2的一元二次方程，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2﹣6＝0或x﹣2+1＝0，然后解一次方程．
解：（1）2x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣2）2﹣5（x﹣2）﹣6＝0．
（x﹣2﹣6）（x﹣2+1）＝0，
x﹣2﹣6＝0或x﹣2+1＝0，
所以x1＝8，x2＝1．
17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解即可；
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（3）画出平行四边形可得结论．
解：（1）如图，点A关于Y轴的对称点的坐标为（2，3）；
（2）如图，△A′B′C′即为所求，B′（0，﹣7）；
（3）D（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，3）．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　2　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　y轴　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　120　度；
（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．

【分析】（1）由点A的坐标为（﹣2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC＝∠BOD＝60°，则∠AOD＝120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；
（2）根据旋转的性质得到OA＝OD，而∠AOC＝∠BOD＝60°，得到∠DOC＝60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO＝90°．
解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．

（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，
∴OA＝OD，
∵∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠DOC＝60°，
即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO＝90°．
故答案为2；y轴；120．

19．已知在△ABC中，∠B＝30°，AB+BC＝12，设AB＝x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD＝AB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积＝BC•AD，将相关数值代入即可．
解：如图，作△ABC的高AD．
在△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝x，
∴S＝△ABC的面积＝BC•AD＝（12﹣x）•x＝﹣x2+3x，
∴面积S关于x的函数解析式为S＝﹣x2+3x（0＜x＜12）．

20．根据下列条件分别求a的取值范围．
（1）函数y＝（a﹣2）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝（3a﹣2）x2有最大值；
（3）抛物线y＝（a+2）x2与y＝﹣x2的形状相同；
（4）函数y＝ax2的图象是开口向上的抛物线．
【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；
（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；
（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
解：（1）由题意得a﹣2＜0，
解得a＜2．
（2）由题意得3a﹣2＜0，
解得a＜．
（3）由题意得a+2＝或a+2＝﹣，
解得a＝﹣或﹣；
（4）由题意得a＞0．
21．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状．并说明理由．

【分析】（1）根据SAS即可证明△BDE≌△BCE．
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判定．
解：（1）证明：∵由旋转可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°，
在△BDE和△BCE中，
，
∴△BDE≌△BCE．（SAS）．

（2）结论：四边形ABDE是菱形．
理由：∵△BDE≌△BCE，
∴DE＝CE，
∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC，
∴AB＝EB＝DE＝AD，
∴四边形ABED是菱形．

22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），代入
且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，即可解答．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，
解得：m＞﹣2；
（2）根据根与系数的关系可得：
x1+x2＝2（m+1），
∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，
∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，
解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）
∵m＞﹣2；
∴m＝1．
23．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
【分析】（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；
（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m的一元二次方程，求解即可．
解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：
0.6x≤0.8（2000﹣x）×，
解得：x≤1000．
答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：
（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．
解得：m1＝m2＝4．
答：m的值为4．