广东省深圳市南山区桃源中学2022-2023学年九年级数学上学期第一次月考（21.1—23.3）数学测试题(含答案)

这是一份广东省深圳市南山区桃源中学2022-2023学年九年级数学上学期第一次月考（21.1—23.3）数学测试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了1—23，5，，06＞3，等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年人教版广东省深圳市南山区桃源中学九年级数学上册
第一次月考（21.1—23.3）数学测试题（附答案）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）

A．30° B．90° C．60° D．150°
3．对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）
A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx＝3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小
4．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
5．为了美观，在加工太阳镜时降下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）

A．y＝（x+3）2 B．y＝﹣（x﹣3）2
C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
6．若（m2+n2）（1﹣m2﹣n2）+6＝0，则m2+n2的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．﹣3或2
7．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（　　）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
9．当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（　　）
A．（1，0）和（﹣3，0） B．（﹣1，0）
C．（3，0） D．（﹣1，0）和（3，0）
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点p，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（　　）

A． B．
C． D．

11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜6 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
二、填空题（每个小题4分，共16分）
13．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随取x的增大而增大，则实数m的取值范围是　 　．
14．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则m3+5n﹣3nm+6＝　 　．
15．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 　 　．
扩展：已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y得最小值为5，则h的值为 　 　．
16．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为　 　．

三、解答题（共68分）
17．选择适当的方法解一元二次方程．
（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）；
（2）．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
19．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

20．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围．
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
21．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图（1）所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图（2）所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
22．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

23．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故选：C．
3．解：A、∵b2﹣4ac＝（2m）2+12＝4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx＝3的两根之积为：＝﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a＝1＞0，对称轴x＝m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
4．解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，此时有x2﹣6x+8＝0，
解得x＝4或x＝2，∵2+4＝6＞4，能构成等腰三角形，
∴k＝6符合题意；
当m＝n时，
即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，此时有x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，能构成等腰三角形，
∴k＝7符合题意．
综上所述，k的值等于6或7，故选：B．
5．解：∵高CH＝1cm，BD＝2cm，
而B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为（1，1），
∵AB∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，
∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），
∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），
设右边抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2，
把D（1，1）代入得1＝a×（1﹣3）2，解得a＝，
故右边抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2．
故选：D．
6．解：∵（m2+n2）（1﹣m2﹣n2）+6＝0，
∴（m2+n2）[1﹣（m2+n2）]+6＝0，
∴（m2+n2）﹣（m2+n2）2+6＝0，
∴[（m2+n2）﹣3][（m2+n2）+2]＝0，
解得m2+n2＝3或m2+n2＝﹣2，
∵m2+n2≥0，
∴m2+n2＝3，
故选：A．
7．解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
8．解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x＝﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
9．解：代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，即ax2+bx+c＝mx+n，则ax2+（b﹣m）x+c﹣n＝0，
则y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（1，0）和（﹣3，0），
故选：A．
10．解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×4×4﹣•x•x，
＝﹣x2+8，
②4≤x≤8时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x），
＝﹣（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
11．解：（1）正确．∵﹣＝2，
∴4a+b＝0．故正确．
（2）错误．∵x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2＝，2﹣（﹣）＝，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）＝﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选：B．

12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
二、填空题（每个小题4分，共16分）
13．解：函数的对称轴为：x＝m，
x≥1时，y随取x的增大而增大，
则m≤1，
解得：m≤2，
故答案为：m≤2．
14．解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m3+5n﹣3nm+6
＝m（﹣2m+1）+5n﹣3nm+6
＝﹣2m2+m+5n﹣3nm+6
＝﹣2（﹣2m+1）+m+5n﹣3nm+6
＝5m+5n﹣3mn+4
＝5（m+n）﹣3mn+4，
∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
原式＝﹣10+3+4＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或．
拓展：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1＝5，
解得：h＝5或h＝1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5．
故答案为：﹣1或5．
16．解：如图，

由旋转的性质可知：AC＝AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD＝，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝30°，
∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
∴AE＝EC，
∴DE＝，
∴CE＝＝，
DE＝，
AD＝，
∴＝．
故答案为．
三、解答题（共68分）
17．解：（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
∴3x﹣1＝0或3x﹣3＝0，
∴x1＝，x2＝1；
（2）
（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝．
18．解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
19．解：（1）连接PQ，

由旋转性质有：
BQ＝BP＝8，QC＝PA＝6，∠QBC＝∠ABP，∠BQC＝∠BPA，
∴∠QBC+∠PBC＝∠ABP+∠PBC
即∠QBP＝∠ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠QBP＝60°，
∴△BPQ是正三角形，
∴PQ＝BP＝BQ＝8．
（2）在△PQC中，PQ＝8，QC＝6，PC＝10
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°．
20．解：（1）根据题意得，y＝﹣x+50（0＜x≤20）；
（2）根据题意得，（40+x）（﹣x+50）＝2250，
解得：x1＝50，x2＝10，
∵每件利润不能超过60元，
∴x＝10，
答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，w＝（40+x）（﹣x+50）＝﹣x2+30x+2000＝﹣（x﹣30）2+2450，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w最大＝2400，
答：当x为20时w最大，最大值是2400元．
21．解：（1）根据题目条件A，B，C的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
将B，C的坐标代入y＝ax2+c，
得，
解得．
所以抛物线的表达式y＝﹣x2+6；
（2）可设F（5，yF），于是yF＝﹣×52+6＝4.5，
从而支柱EF的长度是10﹣4.5＝5.5米；

（3）根据题意，三辆汽车最右边到原点的距离为：1+3×2＝7，
当x＝7时，y＝﹣×49+6＝3.06＞3，
故可以并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车．
22．解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将x＝0，y＝2代入y＝﹣x2+bx+c得c＝2，
将x＝4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣16+4b+2，解得b＝，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）如答图1，设MN交x轴于点E，
则E（t，0），则M（t，2﹣t），
又N点在抛物线上，且xN＝t，∴yN＝﹣t2+t+2，
∴MN＝yN﹣yM＝﹣t2+t+2﹣（2﹣t）＝﹣t2+4t，
∴当t＝2时，MN有最大值4；
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD＝MN，得|a﹣2|＝4，解得a1＝6，a2＝﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2），
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
易得D1N的方程为y＝x+6，D2M的方程为y＝x﹣2，
由两方程联立解得D为（4，4）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．

23．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（2，0），B（﹣4，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），
∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP
＝+，
＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，
＝﹣x2﹣4x+12，
＝﹣（x+2）2+16．
∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，
∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，
此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．
因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．
（3），
∴顶点M（﹣1，﹣）．
如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．
设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），
∴，
∴直线AM的解析式为y＝﹣3．
在Rt△AOC中，＝2．
∵D为AC的中点，
∴，
∴AE＝5，
∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，
∴E（﹣3，0），
由图可知D（1，﹣2）
设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．
∴，
解得：，
∴G（）．