2022杭州地区（含周边）重点中学高一上学期期中考试数学含答案
展开绝密★考试结束前
2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学
高一年级数学学科试题
命题：永嘉中学 夏晓华、叶卢庆 审校：桐庐中学 郑 睿 审核：淳安中学 余建平 校稿：王燕萍
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3．已知，，，则的大小关系是
A． B．
C． D．
4．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长.
SIZE 尺码对照表
中国鞋码实际标注 (同国际码) mm | 220 | 225 | 230 | 235 | 240 | 245 | 250 | 255 | 260 | 265 |
中国鞋码习惯叫法 (同欧码) | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是
A．45 B．46 C．47 D．48
6．在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是
A． B． C． D．
7．下列函数中，在上单调递增且满足“”的是
A． B．
C． D．
8．若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知，下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列各组函数中，相同的函数有
A．函数与函数
B．函数与函数
C．函数与函数
D．函数与函数
11．已知函数，下列判断正确的是
A．是偶函数
B．当时，在上单调递增
C．当时，的值域是
D．关于的方程的不同实根个数可以是个
12．设正整数，其中对于任意，. 函数满足.则
A． B．
C． D．
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若幂函数是偶函数，则 ▲ ．
14．已知正实数满足，则的最小值是 ▲ ．
15．以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位．将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为，例如．则集合可以用列举法表示为 ▲ ．
（第15题图）
16．已知函数，若对任意，均有，则实数的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数的定义域为集合，集合
（1）若，求；
（2）在① ② 这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解.
问题：若 ▲ ，求实数的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（10分）已知函数，其中是不为零的常数.
（1）若，求使得的实数的取值范围；
（2）若在区间上的最大值为，求实数的值.
19．（10分）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）利用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减.
20．（10分）已知函数，其中.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围.
21．（15分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,用水越多洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗之前残留的农药量之比为函数.
（1）试规定的值，并解释其实际意义；
（2）根据题意，写出函数的两个性质；
（3）若.现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？说明理由.
22．（15分）设集合，.
（1）若，求集合和（用列举法表示）；
（2）求证：；
（3）若，且，求实数的取值范围．
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