2022-2023学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一上学期期中考试数学

2022-2023学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一上学期期中考试 数学

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

2.命题“，”的否定是（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

3.下列函数与是同一个函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

4.若，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休."在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

6.已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

7.设函数，若，则的值为（    ）

A. B. C. D.

8.已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ）

A.或  B.或

C.  D.或

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.若幂函数的图象过，下列说法正确的有（    ）

A.且  B.是偶函数

C.在定义域上是减函数 D.的值域为

10.已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

11.设，且，则下列结论正确的是（    ）

A.的最小值为 B.的最大值为1

C.的最小值为 D.的最大值为6

12.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”。特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”。下列结论正确的是（    ）

A.若为的“完美区间”，则

B.函数存在“完美区间”

C.二次函数存在“2倍美好区间”

D.函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.计算：______.

14.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒。如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间（h）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前______小时进行消毒工作.

15.已知定义在上的函数满足，若与的交点为，则______.

16.若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若命题：，使得为假命题。求实数的取值范围.

18.（10分）已知全集为全体实数，集合，

（1）在①，②，③这三个条件中选择一个合适的条件，使得，并求和；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

19.（10分）已知定义在的奇函数，当时，.

（1）求的值；

（2）求在上的解析式；

（3）若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

20.（10分）截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条。杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力。已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为.

（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；

（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

21.（15分）已知函数

（1）若为偶函数，求的值并证明函数在上的单调性；

（2）在（1）的条件下，若函数在区间上的最小值为，求实数的值；

（3）若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围.

22.（15分）已知，

（1）若在区间上不单调，求实数的取值范围；

（2）若在区间上的最大值为，最小值为，且的最小值为1，求实数的值；

（3）若对恒成立，求实数的取值范围.

2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学

高一年级数学学科参考答案

一、二、选择题

三、填空题

13．  14．1    15．10    16．

四、解答题

17．解：

（1）当时，原不等式的解集为                ……………（占3分）

（第（1）问共占3分）

（2）∵命题：，使得为假命题

∴：恒成立为真命题

即：对恒成立            ………（占2分）

①当即时，恒成立，∴符合题意； ………（占1分）

②当即时∴    ………（占3分）

综上所述：                         ………（占1分）

（第（2）问共占7分，如果没写命题的否定直接讨论，答案对的也给7分）

18．解：

（1）由题知：集合，  ………………（占2分）

∵，∴需选条件③                      ……………………（占1分）

此时，    ………………（占2分）

                                 ………………（占1分）

（第（1）问共占6分）

（2）∵“”是“”的必要不充分条件∴是的真子集     …………（占1分）

∴                                   ………………（占2分）

∴                 …………（占1分）

（第（2）问共占4分）

19．解：

（1）       ………………（占2分）

（第（1）问共占2分）

（2）

（第（2）问共占4分，第一条式子不占分，第二条式子占1分，第三条式子占3分）

（3）由图知：   ………………（占2分）

∴     ………………（占2分）

（第（3）问共占4分）

20．解：

（1）当时，

当时，设而，∴

∴    ………………（占3分）

∴，即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人.  ………………（占1分）

（第（1）问共占4分）

（2）当时

当且仅当，即时等号成立.     ………………（占4分）

当时，单调递减，∴当时，取到最大为67.6（占1分）

∵ 67.6<116

∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元（占1分）

（第（2）问共占6分）

21．解：

（1）∵为偶函数，∴代入计算得： ∴  …（占2分）

对，当时，

∵       ∴∴

∴函数在上单调递增       ………………（占3分）

（第（1）问共占5分）

（2）令   ∵  ∴

∴   …………（占1分）

①当时，  解得： ∴无解     ………（占2分）

②当时，  解得：  ∵∴  …（占2分）

综上所述：

（第（2）问共占5分，答案不对有分类讨论思想酌情给分）

（3）∵为奇函数，∴  ∴，   ………（占1分）

又∵不等式在上有解

∴∴

由平方差和立方差公式得：  ………（占1分）

令∵   ∴ ∴

而在上单调递增，所以

∴    ………（占3分）

（第（3）问共占5分，用根的分布做答案对也给5分）

22．解：

（1）∵在区间上不单调，∴

，∴   ………………（占3分）

（第（1）问共占3分）

（2）的对称轴为，要使达到最小，与必关于对称轴对称，

∴     ①                                 …………（占2分）

，代入化简得：    ②   …………（占2分）

由①②解得：        …………（占1分）

（第（2）问共占5分，用分类讨论求最值能得出答案的也给5分）

（3）法1：∵∴

令∴           …………（占2分）

而为偶函数，且在单调递增，

∴对恒成立           …………（占2分）

（这个式子不是同构得到而是代入化简得到的也给4分）

∴

法1：参变量分离得：

令∵  ∴

∴当时，

的最小值为

同理：

的最大值为   综上所述：      …………（占3分）

（第（3）问共占7分）

（3）法2：∵∴

令

∴           …………（占2分）

而为偶函数，且在单调递增，

∴对恒成立           …………（占2分）

（这个式子不是同构得到而是代入化简得到的也给4分）

∴

∵  ∴对恒成立，

令∴  解得：

令

当时， ∴

当时， ∴无解

当时，

∴         综上所述：   …………（占3分）

（第（3）问共占7分）