2022-2023学年山东省潍坊市安丘市高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省潍坊市安丘市高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，B={3，4，5，6}，则（    ）

A．{1，3} B．{3} C．{3，4} D．{3，5}

【答案】B

【分析】根据交集的概念即可求出结果.

【详解】由已知可得，

故选：B.

2．命题“，使得”的否定是（    ）

A．，都有 B．，使得

C．，都有 D．，使得

【答案】C

【分析】利用存在量词命题的否定可得出合适的选项.

【详解】由存在量词命题的否定可知，原命题的否定为“，都有”.

故选：C.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由可得或，解得或，

因为或，

因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值.

【详解】由已知可得，故.

故选：A.

5．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，可得出原函数为，利用二次函数的基本性质可求得原函数的值域.

【详解】令，则，，

当且仅当时，等号成立.

因此，函数的值域为.

故选：A.

6．定义在上的函数满足，当时，，则当时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合函数有关运算求得正确答案.

【详解】依题意，当时，，

当时，，

所以.

故选：C

7．奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设该设备年平均费用为万元，求出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得出结论.

【详解】设该设备年平均费用为万元，则，

当且仅当时，即当时，该设备年平均费用最少.

故选：C.

8．已知函数是偶函数，且在上单调递减，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析可知，函数在上单调递增，可知当时，，可得出，即可求得实数的取值范围.

【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递减，则该函数在上单调递增，

当时，恒成立，则，

所以，，即，即，、

因为，所以，，则.

故选：A.

二、多选题

9．已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．的最大值为

【答案】AD

【分析】根据函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】函数区间上是增函数，在区间上是减函数，则，

函数的最大值为，

、的大小关系不确定，、的大小关系不确定，

故AD选项正确，BC选项错误.

故选：AD.

10．已知，下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用作差法可判断D选项.

【详解】对于A选项，由基本不等式可得，A对；

对于B选项，取，，则，B错；

对于C选项，因为，则，由不等式的基本性质可得，C对；

对于D选项，，则，D错.

故选：AC.

11．若定义在上的减函数的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C．的解集为 D．

【答案】BCD

【分析】分析出函数为奇函数，且在上为减函数，分析出函数的对称性和单调性，可判断ABD选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断C选项.

【详解】因为函数的图象关于点对称，且在上为减函数，

将函数的图象向左平移个单位，可得到函数的图象，

所以，函数的图象关于原点对称，即为奇函数，且该函数在上为减函数.

对于AB选项，，且，

故函数在上为减函数，所以，，A错B对；

对于C选项，由可得，

因为函数在上为减函数，则，解得，C对；

对于D选项，因为，

，D对.

故选：BCD.

12．已知函数，其中常数，则以下说法正确的是（    ）

A．在上的最小值为

B．在上的最小值为

C．若函数在上不单调，则

D．当时，若有四个实根，则

【答案】BCD

【分析】结合对勾函数、含有绝对值的问题等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】令，

任取，

，

其中，

若，则，，递减；

若，则，，递增.

所以在上递减，在上递增，时，.

同理可证得在上递增，在上递减，时，.

AC选项，由上述分析可知，当时，若，，

则的最小值为，且在上不单调，A选项错误，C选项正确.

B选项，由上述分析可知，当时，，

则的最小值为，B选项正确.

D选项，当时，，，

若有四个实根，

由上述分析可知，

则或，

即或，

，

不妨设是的根、是的根，

则，D选项正确.

故选：BCD

【点睛】对于含有绝对值的函数，分析方法是：先分析绝对值内部的函数的性质，然后再结合绝对值的几何意义对函数的性质进行研究.对勾函数的性质要记忆准确，解题时可节约大量的时间.

三、填空题

13．函数的定义域为_____________．

【答案】且

【分析】根据给定函数有意义列出不等式组，再解不等式组作答 .

【详解】函数有意义，则有，解得且，

所以原函数的定义域为且.

故答案为：且

14．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______

【答案】

【分析】问题等价于不等式的解集中恰有个正整数，得出，且这三个正整数为，由此可求得答案.

【详解】解：因为不等式的解集中恰有个正整数，

即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为，

所以这三个正整数为，所以，

故答案为：.

15．国庆节期间，某校要求学生从三部电影《长津湖》、中国机长》、《攀登者》中至少观看一部并写出观后感．高一某班50名学生全部参与了观看，其中只观看《长津湖》的有10人，只观看《中国机长》的有10人，只观看《攀登者》的有10人，既观看《长津湖》又观看《中国机长》的有7人，既观看《长津湖》又观看《攀登者》的有12人，既观看《中国机长》又观看《攀登者》的有9人，则三部都观看的学生有______人．

【答案】4

【分析】用韦恩图表示对应的集合，结合题意，即可求得结果.

【详解】设观看《长津湖》的学生的集合为，观看《中国机长》的学生的集合为，观看《攀登者》的学生的集合为，

根据题意，作出集合对应的韦恩图如下所示：

设三部都观看的学生有人，

则，解得.

即三部都观看的学生有人.

故答案为：.

16．已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】由可得出或，数形结合可得出方程、的根的个数，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】，

令，可得或.

作出函数的图象如下图所示：

由图可知，直线与函数的图象只有一个交点，

所以，直线与函数的图象有三个交点，所以，，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合或，．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求解分式不等式，结合集合的交运算和补运算，即可求得结果；

（2）根据交集的结果，列出满足的不等关系，求解即可.

【详解】（1）由已知可得，

当，，又或，所以，

所以．

（2）因为，又，所以，

所以，解得，

综上所述，．

18．已知函数，且．

(1)判断的奇偶性并证明；

(2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明．

【答案】(1)奇函数，证明见解析；

(2)单调递减，证明见解析.

【分析】（1）根据，求得，再根据奇偶性的定义，即可判断和证明；

（2）根据（1）中所求解析式，结合单调性的定义，即可判断和证明.

【详解】（1）根据题意，函数，且，

则，解得；

由得，其定义域为，关于原点对称，

又由，所以是奇函数.

（2）在上是单调递减函数，证明如下：

证明如下：设，

，

因为，所以，，，

所以，所以在区间上单调递减.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)已知，，且，若存在、使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义可求得的值，由可得出的值，即可得出函数的解析式；

（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于的不等式，结合可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，

所以，，即，解得，

又由，可得，则．

（2）解：因为，，且，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

若存在正数、使成立，则，即，

解得，

又，所以实数的取值范围是．

20．已知二次函数，．

(1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围．

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分析可知在实数集上恒成立，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在的情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；

（2）将原不等式等价变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法解原不等式，综合可得结果.

【详解】（1）解：不等式在实数集上恒成立，

即为在实数集上恒成立.

①当时，即时，可变形为，解得，不成立；

②当时，即时，要使原不等式恒成立，

则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

（2）解：不等式，等价于，

即.

①当时，解原不等式可得或；

②当时，不等式整理为，解得；

③当时，方程的两根为，，

（i）当时，因为，解原不等式得；

（ii）当时，因为，原不等式的解集为；

（iii）当时，因为，解原不等式得，

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

21．某教育公司开发了一系列网络课程，现进行为期60天的线上销售．据市场调查，购买网络课程的人数和购课者的人均消费（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且购买网络课程的人数近似地满足，（，且，），购课者的人均消费为．已知第一天实现销售收入19.52万元，该公司第天的销售收入记为．

(1)求的函数关系式；

(2)当为何值时，最小并求此最小值．

【答案】(1)；

(2)当取60时取得最小值，最小值为85400元．

【分析】（1）根据，结合以及的值，即可求得结果；

（2）根据（1）中所求函数解析式，结合基本不等式以及函数单调性即可求得的最小值.

【详解】（1）由题意知；

又由，得，所以，

故

（2）当，时，

，

当且仅当，即时等号成立，此时函数最小值为115200；

当，时，，

因为都是上的单调减函数，故也是单调减函数，

此时函数最小值为，

所以当取60时取得最小值，最小值为85400元．

22．已知函数，其中．

(1)若对任意实数，存在，，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使得且?若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）求出函数在上的最小值，可得出对任意成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围；

（2）分、两种情况讨论，结合，可得出的符号，去绝对值，将等式进行变形，结合参变量分离法可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】（1）解：因为函数、在上均为增函数，

所以，函数在上为增函数，即当，所以，

所以原问题等价于对任意成立，

即对任意成立，

即对任意成立，所以，故的范围是.

（2）解：当时，因为，所以，所以，

所以等价于，

所以，当时，等式不成立；

所以，，

即，

因为，所以，

所以不等式变为，所以；

当时，因为，所以，所以，

所以等价于，

所以，

因为恒成立，所以，，

因为，所以此时无解．

综上所述，存在满足题意．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.