专题十八 柱、锥、球及其简单组合体（B卷·能力提升）-【中职专用】高二数学同步单元测试AB卷（高教版·基础模块下册）

9.5 柱、锥、球及其简单组合体

（B卷·能力提升）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：100分   考试时间：100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法中正确的是（       ）

A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面

C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行

【答案】D

【解析】对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确，故选：D．

2．已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（       ）

A．6π B．12π C．18π D．24π

【答案】B

【解析】正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，

则，解得，故球的直径为，球的表面积为，故选：B.

3．一个斜边长为的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．π

【答案】A

【解析】由条件可知直角边长为1，并且旋转形成的几何体是底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积，故选：A．

4．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，故选：C.

5．已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（       ）

A．          B．           C．            D．

【答案】D

【解析】因为四面体的各棱长均为，所以四面体的四个面都是等边三角形，所以该四面体的表面积为，故选：D.

6．某圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆锥的母线长和底面半径分别为l，r，则，解得，所以圆锥的高，则该圆锥的体积，故选：D.

7．已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，由题得，设球的半径为，则,所以，故选：B

8．在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（       ）

A．100π B．50π C．144π D．72π

【答案】A

【解析】如图，将三棱锥放于一个长方体内：则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，∵，∴外接球的表面积为：，故选：A.

9．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，依题意，.

故选：B.

10．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（       ）

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3

【答案】A

【解析】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，其比例为1:1，故选：A.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．

11．将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为          .

【答案】

【解析】将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球为原正方体的内切球，故其半径为，故体积为，故答案为：．

12．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是          ．(填序号)

①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．

【答案】①②

【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形，截面形状不可能为五边形.故答案为：①②．

13．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是           .

【答案】

【解析】设圆锥的底面半径为r，则母线长为，所以，则侧面积.

故答案为：．

14．一个圆锥形的空杯子上面放一个球形的冰激凌，圆锥底的直径与球的直径均为10，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，正好装满杯子不会溢出，则杯子高度为          .             

【答案】20

【解析】设圆锥的高为h，则圆锥的体积：，球的体积：，由题意得：，解得，故答案为：．

15．已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，，则           ．

【答案】

【解析】设圆柱与圆锥的半径均为，母线为，故，，所以，故答案为：．

16．已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为           .

【答案】

【解析】∵，∴为等腰直角三角形，∴，则外接圆圆心是AB中点，半径为，又球的半径为OB＝1，设O到平面的距离为d＝，则，∴，故答案为：.

17．已知A，B，C为球O球面上的三个点，且是面积为3的等腰直角三角形，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为          .

【答案】

【解析】设等腰直角三角形斜边长为，高为，则，所以球的半径，

所以球的体积为，故答案为：．

18．已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9，则该圆锥的体积为           .

【答案】

【解析】设母线长为l，半径为r，侧面展开图的圆心角为θ，则，由已知得，联立解得，圆锥的侧面展开图为扇形如下图所示，从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为,则，即，， .故答案为：.

三、解答题：本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

19．（6分）已知一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积.

【答案】

【解析】解：正六边形可以分成6个相同的等边三角形，故.

．

20．（6分）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积.

【答案】体积为：；表面积为：.

【解析】解：设球的半径为，则，所以球的体积为，表面积为．

21．（8分）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.

【答案】

【解析】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，则圆柱的上底面为中截面，可得，，，．

22．（8分）如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.

（1）求证：平面ABC； （2）求正三棱锥的表面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点，所以，又平面，平面，所以平面ABC.

（2）解：设BC中点为D，连接PD，因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，所以是等腰三角形，所以，

在Rt中，又 ，PB=5 ，PD=，所以正三棱锥侧面积为，底面积为，所以正三棱锥P-ABC的表面积为．

23．（8分）如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：连接，交于点，取的中点，连接，，．

（1），，∴．

（2）∵，，∴，，，

．

24.（10分）如图，在正三棱柱中，，点为的中点.

（1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）证明：连接 ,与相交于M，连接DM，则M是的中点，又D为BC的中点

所以，平面，平面，所以平面．

（2）解：在正三棱柱中，，点为的中点， ，故三棱锥的体积．