人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课后练习题

第4.3.2练  等比数列的前n项和公式

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1．设是公比为的等比数列，且.则（       ）

A． B． C．8 D．11

【答案】B

【详解】

是公比为的等比数列，且.

则 ，解之得，则

故选：B

2．设是等比数列的前n项和，，，则首项（       ）

A． B．12 C．1或 D．3或12

【答案】D

【详解】

是等比数列的前n项和，，，

∴当公比q＝1时，，此时满足题意，

当公比q≠1时，，

解得，

∴首项的值为3或12．

故选：D．

3．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）

A．31 B． C． D．63

【答案】C

【详解】

∵成等差数列，

∴，

∴，即，解得 或 ，

又∵，∴，

∴，

故选：C.

4．已知为数列的前n项和，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以数列为等比数列，公比，

所以，解得：，

所以

故选：D

5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（       ）

A．86里 B．172里 C．96里 D．192里

【答案】D

【详解】

设此人第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可形成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．

故选：D．

6．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，，则（       ）

A．18 B．34 C．66 D．130

【答案】B

【详解】

解：∵，∴，

整理得，，解得q＝2．

∵，∴，

∴，∴．

故选:B．

7．已知数列是首项为1的等比数列，是数列的前n项和，且，则数列的前5项和为（       ）

A．30或40 B．31或40 C．31 D．30

【答案】C

【详解】

设此数列的公比为q，则由，得，且，

即，解得，

所以数列的前5项和为．

故选：C

8．已知数列5，，7，，…，（n为奇数，），其中奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，则该数列偶数项的和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意知为该数列的第项，

故偶数项的项数为，偶数项为等比数列,

则该数列偶数项的和为．

故选：C.

9．我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（       ）

A．天 B．天 C．天 D．天

【答案】D

【详解】

解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，

由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，

故，

即，

因为在上单调递增，当时，，而，

故的解为,故至少需要5天，

故选：D．

10．若数列{}的前n项和为＝，=（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：当时，，解得，

当时，，即，

∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，

所以.

故选：B.

二、多选题

11．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（     ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等比数列，则，，成等比数列

D．若是等差数列，则

【答案】BD

【详解】

对选项A，，，，

，不满足是等差数列，故A错误.

对选项B，当时，，

当时，，

检验：时，，所以，即是等比数列，故B正确.

对选项C，当时，是等比数列，

，，，

不满足，，成等比数列，故C错误.

对选项D，，故D正确.

故选：BD

12．数列是首项为1的正项数列，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（       ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】AB

【详解】

∵，可得，

∴数列是等比数列，B正确；

又，则，

∴，C错误；则，A正确；

∴，D错误．

故选：AB．

三、解答题

13．记等差数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前n项和．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)

由题可知，解得，，

∴；

(2)

∵，∴，

∴是首项为3，公比为9的等比数列，

∴﹒

14．已知等差数列的前项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)

设公差为，由得，，解得，

∴；

(2)

由得，

∴.

15．已知数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)当时，求证：数列的前项和．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

（1）解：由已知，得．，∴．

（2）证明．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1．已知等比数列，，，前n项和，则（       ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【详解】

由等比数列前n项和公式，知，则，

故选：D．

2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（       ）

A．6里 B．5里 C．4里 D．3里

【答案】A

【详解】

记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，

由，得，解得：，

.

故选：A．

3．记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（       ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】

，所以，即.

故选：B

4．已知数列满足，且，则（       ）

A．1023 B．1535 C．1538 D．2047

【答案】B

【详解】

由得，进而可得：，当时，，故从第二项起，成等比数列，公比为2，故，

故选：B

5．已知数列是递增的等差数列，是与的等比中项，且.若，则数列的前项和（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为数列是递增的等差数列，所以数列的公差.

由题意得即

解得或（舍去）.

所以.

所以.

所以

故选：A.

6．已知数列，的前项和分别为，，，，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由①，可得②，所以②－①得，即.因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，所以，故.

当时，，当时，也符合，故.

显然随着增大而增大，随着增大而减小，且，，

故要使得恒成立，则.

故选：B

二、多选题

7．已知是数列的前项和，，则（       ）

A．是等比数列 B．

C． D．

【答案】AB

【详解】

，

，即，

当时，，

，

，即，

是以1为首项，以为公比的等比数列，故A正确；

∴，故B正确；

，故C错误；

，故D错误.

故选：AB.

8．2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（       ）

A．图（4）中共有294个正六边形

B．

C．是一个递增的等比数列

D．记为数列的前n项和，则对任意的且，都有

【答案】BCD

【详解】

对于A，由图可知，图至图中正六边形的个数构成以为首项，

为公比的等比数列，故图中共有个正六边形，A错误；

对于B，由题可知，图中每个正六边形的边长为，

，，B正确；

对于C，是底数大于的指数型函数，

 是一个递增的等比数列，C正确；

对于D，，，，

，

当且时，

对任意的且，都有，D正确.

故选：BCD.

三、解答题

9．在等差数列中，已知，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)(2)

【解析】

（1）设等差数列的公差为d，由题意知 ，即 ，解得，所以．

（2）由（1）知，所以，则，所以，所以．

10．已知数列是等比数列，，是16与的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前10项和．

【答案】(1)(2)

【解析】

（1）设数列的公比为q，由题知，即，即，所以．

（2）由（1），得，所以．