2022-2023学年人教版数学八年级上册考点大串讲 专题03 轴对称 【知识梳理+解题方法+专题过关】

专题03 轴对称突破核心考点

【聚焦考点+题型导航】

考点一 轴对称图形的识别                   考点二 轴对称图形的性质

考点三 画轴对称及设计轴对称图形           考点四 坐标与图形变换——轴对称

考点五 线段的垂直平分线性质与判定         考点六 等腰三角形的定义与性质

考点七 利用等腰三角形定义与性质的多解题   考点八 等腰（等边）三角形中全等综合问题

【知识梳理+解题方法】

一 、轴对称

轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

二 、轴对称图形

轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.（对称轴必须是直线）

轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.

画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：

找到关键点，画出关键点的对应点，

按照原图顺序依次连接各点.

用坐标表示轴对称

1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；

2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x， y）；

三、 线段的垂直平分线

概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）

性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

四、等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.

五、等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

【专题过关+能力提升】

考点一 轴对称图形的识别

例题：（2022·全国·八年级专题练习）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【变式训练】

1．（2021·重庆市巴渝学校八年级期中）下列图形中是轴对称图形是（　　）

A． B． C． D．

2．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）下列交通安全图标不是轴对称图形的是（    ）

A．B．C．D．

3．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）繁体字具有数千年的历史，不仅在中国，在中国周边国家中，繁体字仍旧具有非常大的影响力．简繁互补是中国文字的演变规律．下面是成语“喜闻乐见”的繁体字，其中可以看作是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

考点二 轴对称图形的性质

例题：（2021·山西临汾·八年级期中）如图，与关于直线对称，其中，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　）

A．94° B．96° C．102° D．128°

2．（2022·广东·茂名市电白区第三中学七年级阶段练习）如图，与关于直线l对称，若，，则______，______．

3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B=__度．

考点三 画轴对称及设计轴对称图形

例题：（2022·安徽·定远县第六中学九年级阶段练习）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有____种选择．

【变式训练】

1．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）

2．（2022·全国·八年级专题练习）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．

(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．

(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．

(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．

3．（2022·四川达州·七年级期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点．

(1)作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作出关于直线l的对称图形；

②在直线l上找一点D，使最小；

(2)求出的面积．

考点四 坐标与图形变换——轴对称

例题：（2022·广东·梅州市学艺中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（    ）

A．（2，3） B．（2，-3） C．（-2，3） D．（-2，-3）

【变式训练】

1．（2022·广东·阳春市东风中学八年级期中）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（　　）

A．（﹣4，3）      B．（﹣4，2）       C．（4，2）或（﹣4，3）     D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）

2．（2021·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习）已知A(a，-2)与B(，b)关于x轴对称，则a=___，b=____．

3．（2022·甘肃·金昌市龙门学校七年级期中）若，则点关于x轴的对称点的坐标为___．

4．（2023·广东·新丰县大席中学八年级期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形（其中分别是A、B、C的对应点，不写画法）；

(2)直接写出三点的坐标；

(3)平面内任一点P（x，y）关于直线x轴对称点的坐标为　   　．

5．（2021·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习）已知：如图，已知△ABC，

(1)分别画出与△ABC关于轴、轴对称的图形△ 和△；

(2)写出 △ 和△各顶点坐标；

(3)求△ABC的面积．

6．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十三中学八年级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

(1)请画出△ABC关于x轴对称的图形△；

(2)求△ABC的面积；

(3)在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标．

7．（2020·辽宁·沈阳市第六十九中学八年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）

(1)在平面直角坐标系中划出△ABC，则△ABC的面积是           ；

(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为           ；

(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．

考点五 线段的垂直平分线性质与判定

例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，是的角平分线，若，则点的距离是（    ）

A． B． C．1 D．2

【变式训练】

1．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（    ）

A．40 B．42 C．46 D．48

2．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.

3．（2022·湖南·郴州市第四中学八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．

(1)求证：△BDE≌△CDF

(2)求证：AD平分∠BAC；

(3)直接写出AB＋AC与AE之间的等量关系．

考点六 等腰三角形的定义与性质

例题：（2021·河北·唐山市第九中学八年级阶段练习）若等腰三角形的一条边长为5，另一条边长为10，则此三角形第三条边长为________．

【变式训练】

1．（山西省临汾市2021-2022学年八年级上学期段考数学试卷（二））如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DFBC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为______．

2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在BC上，BD⊥AE于点D，F为BC中点．

(1)在图中找出与∠ABD相等的角，并证明；

(2)求证：DF平分∠BDE．

3．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC=∠ACB ，D是AC边上的一点，连接BD并延长到点E，连接AE、CE，AF平分∠BAC交BD于点F．

(1)若∠BAC＝70°，∠FBC＝25°，求∠AFD；

(2)已知CE⊥BC，AD＝CD，求证：BF＝AE．

考点七 利用等腰三角形定义与性质的多解题

例题：（2022·河南·驻马店市第十中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为_____．

【变式训练】

1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．

2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．

3．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．

4．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长．

（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长．

5．（2022·福建·莆田市城厢区南门学校八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

(2)在运动过程中，求当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

考点八 等腰三角形中全等综合问题

例题：（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．

（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．

【变式训练】

1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

(3)在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，请直接写出CD的长．

2．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．

(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；

(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．

3．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F．

(1)求证∠CAE=∠ABD；

(2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE；

(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．

4．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．

(1)判断△ABD与△DCE是否全等？并证明？

(2)若BD＝4，CD＝7，求AE的长．

(3)若∠ADE＝30°，求∠2的度数．