专题05反比例函数（11个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题05反比例函数（11个考点）

【知识梳理+解题方法】

一．反比例函数的定义

（1）反比例函数的概念

形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．

（2）反比例函数的判断

判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．

二．反比例函数的图象

用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．

（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．

三．反比例函数图象的对称性

反比例函数图象的对称性：

反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．

四．反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；

（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．

五．反比例函数系数k的几何意义

比例系数k的几何意义

在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．

六．反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

七．待定系数法求反比例函数解析式

用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：

（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；

（3）解方程，求出待定系数；

（4）写出解析式．

八．反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．

九．根据实际问题列反比例函数关系式

根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．

根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．

注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．

十．反比例函数的应用

（1）利用反比例函数解决实际问题

①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．

（2）跨学科的反比例函数应用题

要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．

（3）反比例函数中的图表信息题

正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．

十一．反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．

【专题过关】

一．反比例函数的定义（共3小题）

1．（2021秋•东港区校级月考）给出的下列函数：y﹣2x﹣1，y＝，y＝x2+8x﹣2，y＝，y＝，y＝，其中y一定是x的反比例函数的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2021秋•岳阳县月考）当m为何值时，函数y＝（m+3）x2﹣|m|是反比例函数？

3．（2021秋•岱岳区校级月考）写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．

（1）底边为3cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；

（2）一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，轮船的速度v（km/h）与航行时间t（h）的关系；

（3）在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长y（m）随检修天数x的变化而变化．

二．反比例函数的图象（共2小题）

4．（2022春•安溪县期中）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（　　）

A．             B． 

C．               D．

5．（2021秋•新化县校级期中）在平面直角坐标系中，画出函数y＝的图象．

三．反比例函数图象的对称性（共3小题）

6．（2021秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（　　）

A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣

7．（2021秋•新田县期末）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（　　）

A．2 B．4 C．8 D．6

8．（2021•保康县模拟）下面是九年级某数学兴趣小组在学习反比例函数的图象与性质时的一个活动片段．大家知道，对于三个反比例函数y＝、y＝、y＝，只研究第一象限的情形，根据对称性，便可知道对应另一象限的情况．

（1）绘制函数图象：

列表：如表是x与y的几组对应值．

描点：请根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点；

连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出图象；

（2）观察并猜想结论：对于任意两个不同的反比例函数y＝和y＝（k1≠k2），它们的图象会不会相交：　   　；你的理由是：　   　．

四．反比例函数的性质（共3小题）

9．（2022•香坊区校级三模）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）

A．它的图象在第二、四象限 

B．点（1，﹣3）在它的图象上 

C．当x＞0时，y随x的增大而增大 

D．当x＜0时，y随x的增大而减少

10．（2022•禅城区校级模拟）已知：反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限．

（1）填空：k﹣1 　   　0（用“、”“＜”或“＝”填空）

（2）化简：﹣+．

11．（2022•柘城县校级二模）某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是x≠1，x与y的几组对应值列表如下：

其中，m＝　   　；

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象：

（3）进一步探究函数图象发现：

①函数可以看成是由函数先向 　   　平移 　   　个单位长度，再向 　   　平移 　   　个单位长度得到的；

②函数的图象关于 　   　成中心对称；

③写出这个函数的一条性质：　   　；

④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

五．反比例函数系数k的几何意义（共3小题）

12．（2022•长春一模）若矩形的面积为，则矩形的长y关于宽x（x＞0）的函数关系式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

13．（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（　　）

A． B． C． D．

14．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．

（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；

（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．

六．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题）

15．（2022春•姑苏区校级期中）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）

A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m≤﹣1 D．m＞﹣1

16．（2022春•海口期中）点（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）

A．（2，6） B．（﹣4，3） C．（﹣6，﹣2） D．（3，4）

17．（2022春•安溪县期中）反比例函数的图象经过点A（﹣2，1）、B（1，m）、C（2，n），求m、n的值．

18．（2022•濮阳二模）研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．

（1）在研究函数的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能是函数图象的是 　   　．

（2）结合分析的函数图象，写出函数图象的二条性质；

①性质一：　   　；

②性质二：　   　．

（3）若y＝x+b与函数图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．

七．待定系数法求反比例函数解析式（共3小题）

19．（2022•新民市一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA＝60°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为（　　）

A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝

20．（2022秋•洪泽区校级月考）如图，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数图像上，点C的坐标为（3，4），则反比例函数的关系式为 　   　．

21．（2022春•杨浦区校级期中）已知在直角坐标系中，菱形ABCD，顶点A（0，4），B（﹣3，0），点D在y轴负半轴，求：

（1）求点D的坐标，

（2）求经过点C的反比例函数解析式．

八．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）

22．（2022•青秀区校级三模）如图，点A坐标为，直线与函数的图象交于点B，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C，当AB+BC的值为最小时，则k的值为（　　）

A． B． C． D．

23．（2022•甘井子区校级模拟）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，下列结论：①两函数图象的交点坐标为A（2，2）；②当x＞2时，y1＝y2；③直线x＝1分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC的长为3；④当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小．则其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③④

24．（2022春•永春县期中）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C点．

（1）直接写出不等式kx+b＜的解集；

（2）求反比例函数和一次函数的解析式；

（3）如图，若将直线y＝kx+b向下平移a个单位长度，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点若S△ABD＝9，求a的值．

九．根据实际问题列反比例函数关系式（共6小题）

25．（2021•饶平县校级模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

26．（2021秋•长安区期末）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．

（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 　   　（不写自变量取值范围）；

（2）当y≥4m时，x的取值范围为 　   　；

（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 　   　m．

27．（2021•株洲模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是 　   　．

28．（2021秋•于洪区期中）矩形的面积16，那么矩形的长y与宽x（x＞0）的函数关系式　   　．

29．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．

（1）写出v关于t的函数表达式；

（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？

（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．

30．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求这个函数的解析式；

（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？

（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）

一十．反比例函数的应用（共3小题）

31．（2022春•姑苏区校级期中）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（　　）

A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟

32．（2022•潍坊二模）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到（　　）km/h．

A．180 B．240 C．280 D．300

33．（2022•兰陵县二模）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．

（1）y关于x的函数关系式是 　   　，x的取值范围是 　   　；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；

（3）将直线y＝﹣x+2向下平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

一十一．反比例函数综合题（共2小题）

34．（2022•岳麓区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣6与x轴交于点B，与y轴交于点A，与双曲线（x＞0）交于点C（4，b），点P是双曲线上的动点，横坐标为m（0＜m＜4），作PQ∥y轴交直线AB于点Q，连接PO、QO．

（1）求a、b的值；

（2）求△OPQ的面积S与m的函数关系式，并求S的最大值；

（3）当四边形AOPQ为平行四边形时，连接PC，并将直线PC向上平移n个单位后与反比例函数（x＞0）的图象交于M、N两点，与直线AB交于点T，设M、N、T三点的横坐标分别为xM、xN、xT，是否存在正实数n使得等式成立，如果存在，求出n的值，如果不存在，请说明理由．

35．（2022春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；

（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．