广东东莞市东华高级中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题及参考答案

2022~2023学年广东省东莞市东华高级学校

高一（上）数学第一次月考

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由交集的定义计算即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

2. 下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合间的关系逐一判断即可.

【详解】解：对于①，，故①错误；

对于②，，故②正确；

对于③，，故③错误；

对于④，数集，为点集，故④错误，

所以正确写法的个数为1个.

故选：A.

3. 命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式¬p为（    ）

A. ∀x∈N，x3≤x2 B. ∃x∈N，x3＞x2

C. ∃x∈N，x3＜x2 D. ∃x∈N，x3≤x2

【答案】D

【解析】

【分析】根据含有一个量词命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题p：∀x∈N，x3＞x2的是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以¬p：∃x∈N，x3≤x2

故选：D

【点睛】本题主要考查含有一个量词命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

4. 若，则下列结论不正确是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由得到的大小关系，再逐个验证，即可得出结果.

【详解】由于，得到，则A错误，D正确，

进而可得，故B、C正确，

结论不正确是A.

故选：A.

5. 使 “”成立的必要不充分条件是（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果.

【详解】不等式可化为解得

则成立，反之不可以.

所以是成立的必要不充分条件.

故选：A

6. 若函数，且，则实数的值为（    ）

A.  B. 或 C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】令，配凑可得，再根据求解即可

【详解】令（或），，，，.

故选；B

7. 给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可.

【详解】解：令，即,解得,

所以，

当时，，

当或时，,

所以函数的最大值为3，

故选：．

8. 将一根铁丝切割成三段,做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架,在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设直角三角形的两条直角边为，由面积可得，故周长，利用均值不等式以及，即得解

【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为

则

此时三角形框架周长

当且仅当时等号成立

由于，

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设全集，集合，则下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】化简集合M，N，计算，，，即可求解.

【详解】，，

，，故A,B正确；

或，，

或，，故C错误，D正确.

故选：ABD

10. 已知实数，满足，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断．

【详解】因为，，

所以，则A正确.

因为，

所以，

所以，则B错误.

当时，；

当时，；

当时，.故，则C正确.

因为，

所以.

当时，；

当时，；

当时，.故，则D正确.

故选：ACD．

11. 下列叙述中正确的是（　　）

A. 若、、，则“”的充分条件是“”

B. 若、、，则“”的充要条件是“”

C. 函数与为同一个函数

D. “，”是“”的充分条件

【答案】CD

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用函数相等可判断C选项；利用不等式的性质，结合充分条件的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，取，，，满足，

则，

所以，“”不是“”的充分条件，A错；

对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，即“”“”，

若，取，则，即“”“”，B错；

对于C选项，函数与的定义域均为，

且，故函数、为同一函数，C对；

对于D选项，当，时，由不等式的基本性质可得，

所以，“，”是“”的充分条件，D对.

故选：CD.

12. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（    ）

A. ； B. ；

C. ； D. 整数，属于同一“类”的充要条件是“”.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据[k]的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：除以5，所得余数为，满足的定义，故正确；

B：整数集就是由除以所得余数为的整数构成的，故正确；

C：，故，故错误；

D：设，

则；

若整数，属于同一“类”，则，所以；

反之，若，则，即，属于同一“类”.

故整数，属于同一“类”的充要条件是“”，正确.

故选：.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知集合，若，则实数的值为__________.

【答案】或

【解析】

【分析】

因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解.

【详解】因为，则或或，

当时，，，符合题意；

当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当时，或（舍）

当时，，符合题意；

综上所述：或，

故答案为：或

14. 已知，则的最小值是_______．

【答案】9

【解析】

【分析】根据已知可将变形为，展开可得，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】，

当且仅当时取等号，故的最小值是9.

故答案为：9.

15. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有___________.

【答案】

【解析】

【分析】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出韦恩图，确定参加各类比赛的学生人数，即可得解.

【详解】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，

由图可知，高一年级参加比赛同学人数为.

故答案为：.

16. 已知函数的图象顶点的纵坐标为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】利用的顶点坐标公式得出的关系，再利用解集的区间长度为4得出的方程可求解.

【详解】由令，由图象顶点的纵坐标为0，得出，，

由的解集为，

，又，

所以，解得：.

故答案为：-3.

四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

【分析】（1）由且，列不等式求的范围即可.

（2）由条件知，且，列不等式求的范围即可.

【详解】解：（1），且，

或，

解得：或．

（2），

，

解得：．

18. 已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．

（1）写出函数的定义域和值域；

（2）求的值．

【答案】（1）定义域为，值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）由函数的图象可得出函数的定义域和值域；

（2）求出函数的解析式，代值计算可得的值.

【小问1详解】

解：由图可知，函数的定义域为，值域为.

【小问2详解】

解：当时，设，则，解得，

当时，可设，则，解得，

所以，，

则，因此，.

19. （1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．

（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）

【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立；

（2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论.

【详解】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为，

再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例，

糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下：

，则；

（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），

对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，

故华华买到的糖的平均价格为（元/千克），

，即东东买到的糖的平均价格较高.

20. 已知，a∈R．

（1）若，解不等式；

（2）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若，解不等式．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）当时，不等式解集为，当时，解集为，当时，解集为.

【解析】

【分析】(1)将a＝1代入，解二元一次不等式即可求解.

(2)先化简整理不等式，再对参数分类讨论，即可求解.

(3)先将不等式因式分解，再对两个根的大小分类讨论，即可求解.

【小问1详解】

解：若a＝1，，即，

即，解得：.

【小问2详解】

,即，

①当时，原式为：，解得，不符合题意.

②当时，且，整理得，且，

解得.

【小问3详解】

若a＜0，不等式,即，

记，令，

解得：或,

①当时，即，解得，

②当时，即，解得，

③当时，即，解得.

21. 国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．

（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？

（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．

① 每日进行定额财政补贴，金额为2300元；

② 根据日加工处理量进行财政补贴，金额为．

如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？

【答案】（1）加工处理量为吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；（2）选择两种方案均可，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据条件写出每吨厨余垃圾的平均成本表达式，利用基本不等式求解出其最小值，并判断处理吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态；

（2）根据两种补贴方式分别列出企业日获利的函数表达式，并求解出最大值，将最大值进行比较确定出所选的补贴方式.

【详解】解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为.

又.

当且仅当，即吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低.

因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；

（2）若该企业采用第一种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当吨时，企业最大获利为850元.

若该企业采用第二种补贴方式，设该企业每日获利为，由题可得

因为,所以当吨吨时, 企业最大获利为850元.

结论：选择方案一，因为日加工处理量处理量为70吨时，可以获得最大利润；选择方案二，日加工处理量处理量为90吨时，获得最大利润，能够为社会做出更大贡献；由于最大利润相同，所以选择两种方案均可.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22. 定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、．

（1）求集合U和A；

（2）集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．

【答案】（1）答案见解析   

（2）能；

【解析】

【分析】（1）根据题中的新定义，讨论a、b的取值，即可确定出集合U与A；

（2）求出A的补集，根据知或，由此求得m的取值范围．

【小问1详解】

全集U中

，

当时，或，此时或；

当时，，此时，所以，

由A中，

当时，，此时，即；

【小问2详解】

因为，当时，或，

当时，方程无实根，，解得；

时，方程有二等实根为，，此时m的值不存在；

综上知，实数m的取值范围是．