安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)

这是一份安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
定远民族中学2022-2023学年度第一学期九年级10月月考
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝（x﹣3）x B．y＝（x+2）（x﹣2）﹣x2
C．y＝ D．y＝3x
2．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
4．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
5．在平面直角坐标系中，设函数y＝（x﹣4）（mx+4m﹣n）（m，n为常数，且m≠0）（　　）
A．若y≥0恒成立，则8n﹣m＝0
B．若8n﹣m＝0，则y≤0恒成立
C．若y≤0恒成立，则8m﹣n＝0
D．若8m﹣n＝0，则 y≥0恒成立
6．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点．下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑥a+b≥m（am+b）（m实数）其中正确的是（　　）

A．①②③⑥ B．①③④ C．①③⑤⑥ D．②④⑤
7．对于二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣2 B．开口向下
C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（2，3）
8．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）
A．0＜＜1 B．＞1 C．0＜＜1 D．＞1
9．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围是 　 　．

12．二次函数y＝﹣（x+3）2﹣3，图象的顶点坐标是　 　．
13．抛物线y＝﹣x2+mx﹣3m的对称轴是直线x＝1，那么m＝　 　．
14．已知二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（﹣2，p），B（1，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 　 　．
三、解答题（共9小题，满分90分）
15．（6分）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
16．（8分）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，如图一是函数y＝x2﹣1的图象，通过图象可以探究它的对称性，增减性，最值等情况．下面对函数y＝|x2﹣1|展开探索．经历分析解析式、列表、描点、连线等过程得到函数y＝|x2﹣1|的图象如图二所示：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

3
…
y
…
8

3
a
0

1
b
0

3

8
…
（1）表格中a＝　 　，b＝　 　；
（2）观察发现：函数y＝|x2﹣1|的图象是轴对称图形，写出该函数图象的对称轴；
（3）拓展应用：①如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是　 　；
②已知方程|x2﹣1|＝k（k是一个常数）有两个解，则k的取值范围是　 　．


17．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；
（3）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围；

18．（8分）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而 　 　，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而 　 　，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而 　 　．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0

1

2

3
…
y
0



1


…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是 　 　．

19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，函数图象的顶点为点 D．
（1）求点B，D的坐标，并根据该函数图象写出当x＞0时y的取值范围；
（2）将点C向上平移m（m＞0）个单位到点G，过点G作x轴的平行线，与二次函数的图象交于点E，F，若FG＝2EG，求m的值．

20．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

21．（12分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
22．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+ax﹣12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；
（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．


答案与解析
1．A解：A、整理得：y＝x2﹣x，是二次函数，符合题意；
B、整理得：y＝﹣4，不是二次函数，不符合题意；
C、D、都是一次函数，不符合题意，故选：A．
2．B解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b＜0时一次函数过二，三，四象限；
当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限．
所以B正确．故选：B．
3．D解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，

在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．故选：D．
4．C解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；
当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；
若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．
5．C解：由题意当y≥0恒成立或y≤0恒成立时，函数图象与x轴只有一个交点，即交点坐标为（4，0）
∴当x＝4时，y＝（4﹣4）（4m+4m﹣n）＝0（8m﹣n），
此时，只有确定函数值y的取值范围才能确定8m﹣n的关系，故选项B，D不符合题意；
当y≥0恒成立时，根据二次函数的性质，此时抛物线开口向上，
∴m＞0，8m﹣n＝0，故选项A不符合题意，
当y≤0恒成立时，根据二次函数的性质，此时抛物线开口向下，
∴m＜0，8m﹣n＝0，故选项C符合题意，故选：C．
6．C解：由抛物线对称轴为直线x＝﹣，从而b＝﹣2a，则2a+b＝0，故①正确；
抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a＜0，c＞0，而b＝﹣2a＞0，因而abc＜0，故②错误；
方程ax2+bx+c＝3从函数角度可以看作是y＝ax2+bx+c与直线y＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点
故方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；
由图象可知，当1＜x＜4时，y2＜y1，故⑤正确；
因为x＝1时，y1有最大值，所以a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥m（am+b）（m实数），故⑥正确．故选：C．
7．D解：A．由函数表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，故A错误，不符合题意；
B．a＝1＞0，故抛物线开口向上，故B错误，不符合题意；
C．令y＝（x﹣2）2+3＝0，该方程无解，故C错误，不符合题意；
D．抛物线的顶点为（2，3），故D正确，符合题意，
故选：D．
8．A解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜＜1一定成立，故选：A．
9．A解：作FC⊥x轴于点C，如右图所示，
则阴影部分的面积等于四边形EOCF的面积，
∵抛物线y＝﹣2x2+2，
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为（0，2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，OE＝2，
∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，
∴OC＝AB＝2，
∵四边形EOCF是矩形，
∴四边形EOCF的面积是2×2＝4，
∴图中阴影部分图形的面积为4，故选：A．

10．解：根据题意：将点（﹣1，﹣3）、（0，1）、（1，3）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
所以二次函数y＝﹣x2+3x+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
所以①正确；
∵y＝﹣x2+3x+1＝﹣（x﹣）2+，
则图象的对称轴为直线x＝，
所以②错误；
∵图象的对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，函数值y随x的增大而增大，
所以③错误；
当y＝0时，﹣（x﹣）2+＝0，
解得x1＝，x2＝，
∵3＜＜4，
∴3＜＜，
所以方程ax2+bx+c＝0有一个根小于4，
所以④错误．
综上所述：其中正确的结论有①．
故选：A．
11．解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线经过点（0，3），
由对称性可得抛物线经过点（﹣2，3），
∴y≥3时x的取值范围是﹣2≤x≤0．
故答案为：﹣2≤x≤0．
12．解：∵抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2﹣3，
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣3）．
故答案为（﹣3，﹣3）．
13．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx﹣3m的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴m＝2．故答案为：2．
14．解：分两种情况：
①当a＞0时，当x＜﹣2或x＞1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1；
②当a＜0时，当﹣2＜x＜1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是﹣2＜x＜1．
综上，关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
15．解：（1）y＝﹣（x﹣2）2+3．
所以抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）；
（2）∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵抛物线的对称轴x＝2，
∴当x＜2时y随x的增大而增大．
16．解：（1）根据函数的对称性得，a＝，b＝，
故答案为：，；
（2）从图象看，函数的对称轴为x＝0，
故答案为：x＝0；
（3）①从图象看，如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是：x＞1或﹣1＜x＜0，
故答案为：x＞1或﹣1＜x＜0；
②设：y＝k，方程|x2﹣1|＝k（k是一个常数）有两个解，可以看成y＝|x2﹣1|和y＝k有两个交点，
从图象看，此时则k的取值范围是k＞1或k＝0，
故答案为：k＞1或k＝0．
17．解：（1）从图象看，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝﹣3或﹣1；
（2）从图象看，﹣3＜x＜﹣0.5时，ax2+bx+c＜x+k，即ax2+bx+c﹣x﹣k＜0；
（3）从图象看x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
（4）设y＝m，当m＞﹣2时，y＝m与y＝ax2+bx+c有两个交点，
故m＞﹣2．
18．解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．

（2）函数图象如图所示：


（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，
观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，
故答案为：．
19．解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，将x＝代入y＝x﹣2得，
y＝﹣，
∴顶点D的坐标为（）．
令y＝0，即y＝x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
当x＞0时，y≥﹣．
（2）设FG＝2EG＝2n，则E（﹣n，m﹣2），F（2n，m﹣2），
代入y＝x﹣2，可得m﹣2＝×（﹣n）﹣2＝×（2n）﹣2，
解得n＝3，
∴m＝9．
20．解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得，
解之，得．
所以，抛物线的表达式为；
（2）由，得C（0，4）．
将点B（4，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，得，解之，得．
所以，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4．
由M（m，0），得，Q（m，﹣m+4）．
∴，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°．
∴∠PQN＝∠BQM＝45°．
∴＝．
∵，
∴当m＝2时，PN有最大值，最大值为．
21．解：（1）w＝（x﹣30）•y
＝（﹣x+60）（x﹣30）
＝﹣x2+30x+60x﹣1800
＝﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；

（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x＝45时，w有最大值，最大值是225．
（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，
解得x1＝40，x2＝50，
∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
22．解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y＝x2+bx+c中，
得，
解得
∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4．

（2）令y＝0，即x2+x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），S△ABC＝AB•OC＝12．
设P点坐标为（x，0），则PB＝2﹣x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，
∴△PBE∽△BAC，
∴，即，
化简得：S△PBE＝（2﹣x）2．
S△PCE＝S△PCB﹣S△PBE＝PB•OC﹣S△PBE＝×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2
＝x2﹣x+
＝﹣（x+1）2+3
∴当x＝﹣1时，S△PCE的最大值为3．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）当DM＝DO时，如答图①所示．
DO＝DM＝DA＝2，
∴∠OAC＝∠AMD＝45°，
∴∠ADM＝90°，
∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；
（II）当MD＝MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN＝ON＝1，AN＝AD+DN＝3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
（III）当OD＝OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4＝，即AC上的点与点O之间的最小距离为．
∵＞2，∴OD＝OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．


23．解：（1）设y＝0，则0＝ax2+ax﹣12a （a＜0）
∴x1＝﹣4，x2＝3
∴A（﹣4，0），B（3，0）
（2）如图1，作MD⊥x轴，

∵MD⊥x轴，OC⊥x轴
∴MD∥OC
∴且NB＝MN
∴OB＝OD＝3
∴D（﹣3，0）
∴当x＝﹣3时，y＝﹣6a
∴M（﹣3，﹣6a）
∴MD＝﹣6a，
∵ON∥MD
∴
∴ON＝﹣3a
根据题意得：C（0，﹣12a），
∵S△MBC＝
∴（﹣12a+3a）×6＝
a＝﹣
（3）如图2：过M点作ME∥AB，

∵ME∥AB
∴∠EMB＝∠ABM且∠CMB＝2∠ABM
∴∠CME＝∠NME，且ME＝ME，∠CEM＝∠NEM＝90°
∴△CME≌△MNE
∴CE＝EN
设NO＝m， （k＞0）
∵ME∥AB
∴＝＝k
∴ME＝3k，EN＝km＝CE
∴EO＝km+m，
CO＝CE+EN+ON＝2km+m＝﹣12a
即
∴M（﹣3k，km+m）
∴km+m＝a（9k2﹣3k﹣12）
（k+1）×＝（k+1）（9k﹣12）
∴
∴k＝
∴