甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第二次检测数学（文）试题（含答案）

这是一份甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第二次检测数学（文）试题（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
3．设函数，则（ ）．
A．0B．1C．1D．
4．已知函数在定义域R上单调，且，则的值为（ ）．
A．3B．1C．0D．
5．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）．
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）．
A．B．C．D．
7．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（ ）．
A．2B．10C．100D．10000
8．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
9．已知是定义在R上的奇函数，当时，．设关于x的方程有4个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
10．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（ ）．
A．B．C．2D．4
11．设是定义域为R的偶函数，且在区间上单调递增，设，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
12．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．在微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是拋物线．直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中c为有关参数．这样，数学上又多了一对与e有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数．关于双曲函数，下列结论不正确的是（ ）．
A．，
B．，
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则a，b，c从小到大的关系是______．
14．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是______．
15．已知函数在区间上的最小值为，则a的值为______．
16．已知函数的周期为2，当时，，则函数的图象与函数的图象的交点个数为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数，且．
（1）证明：在区间上单调递增；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
18．（12分）
已设命题，；命题q：关于x的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零；命题r：关于a的不等式的解集．
（1）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19．（12分）
若函数的定义域为R，满足，，且在区间上，只有和两个零点．
（1）若，求和的值；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）求函数在闭区间上的零点个数，并说明理由．
20．（12分）
已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）若的图象与x轴有两个交点，求实数b的取值范围．
21．（12分）
某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时；本年度计划将电价降低为0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时，经测算，下调电价后，新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力的成本为0.3元/千瓦时．
（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式；
（2）设，当电价最低定为多少时仍可以保证电力部门的收益比上一年至少增长20％？（收益＝实际用电量×（实际电价－成本价））
22．（12分）
已知定义域为R的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．
（1）求的表达式；
（2）若关于x的方程，恰有2个互异的实数根，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案及解析
一、选择题
1．A
【解析】当时，，所以，所以充分性满足；
当时，取，，此时不满足，所以必要性不满足，
所以p是q的充分不必要条件．
2．B
【解析】由，得，即；
由，得，即．
所以．
3．B
【解析】由题意，得，，
．
4．A
【解析】因为函数在定义域R上单调，且，
所以为常数，不妨设，则．
由，得，解得，
所以，所以．
5．B
【解析】对于A，函数是奇函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于B，函数是偶函数，在区间上单调递减，符合题意；
对于C，函数是非奇非偶函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于D，函数是偶函数，在区间上单调递增，不符合题意．
6．A
【解析】，
即是奇函数，图象关于原点对称．排除C，D；
当时，，排除B．
7．C
【解析】设乙市地震所散发出来的能量为，甲市地震所散发出来的能量为，
则，，两式作差得，
故，．
8．A
【解析】由对数运算公式，得，
，，
易知，即，故．
9．D
【解析】作出分段函数的图象，如图：
若关于x的方程有4个互不相等的实根，
则函数与直线的图象有4个交点．
当时，符合题意，但是R上的奇函数，有，故，
所以实数m的取值范围是．
10．B
【解析】因为，所以，
因为奇函数是定义在R上的单调函数，所以，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值是．
11．A
【解析】因为，
，，所以．
因为函数是偶函数，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，则，
即．
12．D
【解析】对于A，，，故A正确；
对于B，因为函数为增函数，所以．
因为函数等在区间上单调递增，
又，所以，
即，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
二、填空题
13．
【解析】由，
可得，，，且，
分别作出函数，，和的图象，如图，
结合图象．可得．
14．
【解析】由题意，函数对任意的，都有成立，
即函数为R上的减函数，
可得，解得．
15．
【解析】函数，
当时，在区间上单调递增，函数的最小值为，成立；
当时，在区间上的最小值为，
解得（舍去）或，所以；
当时，在区间上单调递减，
函数的最小值为，解得，不成立．
综上可知，．
16．10
【解析】函数的图象与函数的图象如图：
因为，，
所以数形结合可知，两函数图象的交点个数为10．
三、解答题
17．（1）证明：由已知可得，解得，
所以．任取，且，
则
，
因为，所以，，
所以，即，
则在区间上单调递增．
（2）解：若不等式在区间上恒成立，
则在区间上恒成立．
由（1）知在区间上单调递增，
所以，所以，即．
18．解：（1）若命题p为真命题，即，，
则，解得或．
若命题q为真命题，即关于x的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，
则，解得．
因为为真命题，为假命题，所以p，q一真一假．
若p真q假，则可得；
若p假q真，则可得．
综上所述，实数a的取值范围是．
（2）对于命题r，因为，由，可得，
可得或，解得或．
因为是的必要不充分条件，则，解得．
因此，实数m的取值范围是．
19．解：（1）由函数满足，，
且，可得，
．
（2）函数为奇函数．
证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称，
任取，则，
可得，
即，所以函数为奇函数．
（3）由，可得，
因此函数是以8为周期的周期函数．
因为函数在区间上，只有和两个零点，
所以在区间内无零点，否则在区间内有其他零点与题目矛盾．
因为函数是奇函数，
所以函数在闭区间上共有个零点．
20．解：（1）当时，，
因为图象的对称轴为直线，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，，
因为图象的对称轴为直线，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
（2）由题意知，，．
因为的图象与x轴有两个交点，所以或．
由或，得或，
所以实数b的取值范围是．
21．解：（1）设下调后的电价为x元/千瓦时．
依题意知用电量增至，
所以电力部门的收益，．
（2）依题意得
整理得，解此不等式得．
所以当电价最低定为0.6元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．
22．解：（1）由指数函数的图象过点，得，
所以．
又为R上的奇函数，所以，得，
经检验．当时，符合，
所以．
（2）．
因为在定义域内单调递增，所以在定义域内单调递减，
所以在定义域内单调递减．
因为为R上的奇函数，所以由，
可得，
则方程在内恰有2个互异的实数根，
即在内的图象恰与x轴有两个交点，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为．
（3）由（2）知函数为R上的减函数且为奇函数，
由，得，
所以，即对任意的恒成立．
令，则，得，
所以实数a的取值范围为．