河南省部分学校联考2022-2023学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份河南省部分学校联考2022-2023学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（A卷）（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．已知，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．－7B．－5C．－2D．2
2．已知菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，，，则C点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，则与垂直的向量的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．已知直线l：2x＋（a－3）y－a－1＝0，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（ ）
A．2x＋y－5＝0B．x＋2y－4＝0C．3x－4y＋2＝0D．4x－2y＋1＝0
6．若直线2x＋y＝0，x－3y＝0，x＋my＝4能围成一个三角形，则m须满足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
7．若直线l：过点，则当a＋b取最小值时，直线l的方程为（ ）
A．x＋4y－8＝0B．4x＋y－17＝0C．x＋2y－6＝0D．2x＋y－9＝0
8．如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用a，b，c表示为（ ）
A．B．C．D．
9．在三棱锥P－ABC中，，，PA＝2，AB＝1，BC＝3，则PC＝（ ）
A．B．2C．D．1
10．已知A，B，C，D四点在平面内，且任意三点都不共线，点P为平面外的一点，满足，则z＝（ ）
A．2B．1C．－1D．－2
11．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为（ ）
A．B．2C．D．
12．已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，平面ABCD，AD＝2，DC＝4，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥P－ABCD的体积为（ ）
A．4B．C．D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线：ax＋y＋2a＝0与直线：4x＋ay＋3a＋2＝0互相平行，则实数a＝______．
14．已知直线l：4x－2y＋9＝0，直线经过点，若l，以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则直线的方程为______．
15．材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．
阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为x－2y＋z＋4＝0，直线l的方程为，则l与的交点坐标为______，l与所成角的正弦值为______．（本题第一空2分，第二空3分）
16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，∠BAP＝45°，，，则______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
分别求出满足下列条件的直线l的方程：
（Ⅰ）经过直线：x－3y＋2＝0和：2x＋3y＋4＝0的交点，且与直线垂直；
（Ⅱ）过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍．
18．（12分）
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝4，且平面ABCD，E，F分别为棱PD，PC的中点．
（Ⅰ）用向量，，表示；
（Ⅱ）求异面直线BF与CE所成角的余弦值．
19．（12分）
已知过原点O的两条直线，相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角．
（Ⅰ）若与关于直线对称，求和的倾斜角；
（Ⅱ）若，都不过点，过A分别作，，M，N为垂足，当的面积最大时，求的方程．
20．（12分）
在中，已知，，的平分线所在的直线方程为2x＋4y－11＝0．
（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）求的面积．
21．（12分）
如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC，，AC＝3，BC＝6，点D，E分别在棱AB，BC上，满足，且．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若PC＝2，求直线PB与平面PDE所成角的正弦值．
22．（12分）
如图所示，三棱台ABC－DEF的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面平面ABC，AB＝2DE＝4且AD＝FC，棱AC与BC的中点分别为G，H．
（Ⅰ）证明：平面FGH；
（Ⅱ）求直线AE到平面FGH的距离；
（Ⅲ）求平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值．
2022—2023学年高二年级阶段性测试（一）
数学（A卷）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．A 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 11．D 12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．－2 14．2x＋y＋5＝0 15．； 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解析 （Ⅰ）由解得∴和的交点为．
∵的斜率为，而直线l与直线垂直，∴直线l的斜率为，
∴直线l的方程为，即3x－2y＋6＝0．
（Ⅱ）当l在x轴和y轴上的截距均为0时，可设l的方程为y＝kx，把点代入可得，此时直线l的方程为x＋2y＝0；
当l在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设l的方程为，把点代入可得，得，此时直线l方程的一般式为x＋4y－2＝0．
综上可得l的方程为x＋2y＝0或x＋4y－2＝0．
18．解析 （Ⅰ）
．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
由已知得，，，，
∴，，∴，．
设异面直线BF与CE所成的角为，则．
19．解析 （Ⅰ）直线的倾斜角为60°．
∵，关于直线对称，且，∴，与直线的夹角均为45°，
∴，的倾斜角分别为60°－45°＝15°和60°＋45°＝105°．
（Ⅱ）∵，，，∴四边形OMAN为矩形．
设，，则，
，当且仅当时取等号．
易知此时的斜率存在，设：y＝kx，则点到的距离为，
令，得k＝3（负值舍去）．
∴当的面积最大时，的方程为y＝3x．
20．解析 （Ⅰ）设关于的平分线的对称点为，则直线2x＋4y－11＝0为线段的中垂线，∴解得即，
再由，B在直线BC上，可得，
所以直线BC的方程为y＝－2x＋7，即2x＋y－7＝0．
由解得可得点C的坐标为．
（Ⅱ）∵，，∴，
∴直线AB的方程为y＝－6x＋7，即6x＋y－7＝0，
则点C到直线AB的距离为，
而，∴的面积为．
21．解析 （Ⅰ）∵平面ABC，∴，
又∵，，∴平面PCD，∴．
由条件可知CA，CB，CP两两互相垂直，故以C为坐标原点，以CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．
∵，，∴．
∵，，
∴，∴．
由，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及条件可得，，，，．
设平面PDE的法向量为，则令x＝1，得．
又，∴，
∴直线PB与平面PDE所成角的正弦值为．
22．解析 由题意得上底面面积为，下底面面积为，
设三棱台的高为h，则，得．
设DF的中点为I，如图，连接GB，GI，由条件可知GB，GC，GI两两互相垂直，以G为坐标原点，以GB，GC，GI所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由已知可得，，，∴，，
设平面FGH的法向量为，则令x＝1，可得．
由，可得，∴，
又平面FGH，∴平面FGH．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面FGH，直线AE到平面FGH的距离即点A到平面FGH的距离d．
∵，∴．
（Ⅲ）设平面BCF的法向量为，
由，，可得，，
∴令，得．
∴，
∴平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值为．