2018-2019学年辽宁师范大学附属中学高二下学期学业水平模拟考试（3月）数学试题含解析

2018-2019学年辽宁师范大学附属中学高二下学期学业水平模拟考试（3月） 数学试题

一、单选题

1．集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直接利用并集的定义求解即可.

【详解】

因为，

所以=,故选D.

【点睛】

研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.

2．函数在区间[-2,-1]上的最大值是(       )

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】C

【解析】根据函数的单调性，判断出当时函数取得最大值，并由此求得最大值.

【详解】

由于为定义域上的减函数，故当时函数取得最大值为.故选C.

【点睛】

本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数运算，考查函数最值的求法，属于基础题.

3．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据求最小正周期的公式,即可求出答案

【详解】

因为 ：    所以： ．故答案选：C

【点睛】

由，求函数最小正周期

4．已知,则的值是 （        ）

A．0 B．–1 C．1 D．2

【答案】A

【解析】利用函数解析式，直接求出的值.

【详解】

依题意.故选A.

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题.

5．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先根据三视图得到几何体为圆柱，根据圆柱的表面积公式计算出表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为，故选A.

【点睛】

本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆柱的表面积计算公式，属于基础题.

6．已知向量，向量，若，则实数的值为（       ）

A． B．3 C． D．1

【答案】B

【解析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，由此求得的值.

【详解】

由于两个向量垂直，故，故选B.

【点睛】

本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.

7．在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得分情况如表：

那么这些得分的众数是（   ）

A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分

【答案】C

【解析】由题意得，得分为0分的比例为37.0%，所占比例最大，所以这些得分的众数是0。选C。

8．若回归直线的方程为，则变量x 增加一个单位时 （       ）

A．y 平均增加1．5个单位 B．y 平均增加2个单位

C．y 平均减少1．5个单位 D．y 平均减少2个单位

【答案】C

【解析】根据回归直线方程的斜率为负，可得出正确选项.

【详解】

由于回归直线方程为，其斜率为，故变量增加一个单位时，平均减少个单位.故选C.

【点睛】

本小题主要考查对回归直线方程系数的理解，考查直线的斜率，属于基础题.

9．直线过点且与直线垂直，则的方程为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得.

【详解】

因为直线与直线垂直,

所以设直线,

因为直线过点,

所以,即方程为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线平行的直线一般可设其方程为；与已知直线垂直的直线一般可设其方程为.

10．已知，，若，则点的坐标为（         ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设出的坐标，代入，计算出点的坐标.

【详解】

设，则，，根据得，即，解得，故选D.

【点睛】

本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.

11．对于不同直线以及平面，下列说法中正确的是（      ）

A．如果，则 B．如果，则

C．如果,则 D．如果,则

【答案】D

【解析】根据线线、线面平行和垂直有关定理，对四个选项逐一分析，得出正确选项.

【详解】

对于A选项，可能含于，故A选项错误.对于B选项，两条直线可能异面，故B选项错误.对于C选项，可能含于，故C选项错误.对于D选项，根据线面垂直的性质定理可知，D选项正确，故选D.

【点睛】

本小题主要考查线线、线面平行和垂直命题真假性的判断，考查线面垂直的性质定理，属于基础题.

12．等差数列{an}中，a2+a5+a8=12，那么函数x2+（a4+a6）x+10零点个数为（      ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

【答案】C

【解析】根据等差数列的性质求得的值，根据判别式判断出函数零点的个数.

【详解】

根据等差数列的性质只，，故二次函数对应的判别式，所以函数有两个零点，故选C.

【点睛】

本小题主要考查等差数列的基本性质，考查二次函数零点和判别式的对应关系，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系.

二、填空题

13．某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则为         　．

【答案】9

【解析】先根据果蔬类抽取的种类数计算出抽样的比例，乘以食品总的种类数得到样本容量.

【详解】

由果蔬类抽取种可知，抽样比为，故.

【点睛】

本小题主要考查分层抽样的知识和计算，考查运算求解能力，属于基础题.

14．圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则其圆心坐标是___________，半径是___________．

【答案】（–1，–2）       

【解析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．

【详解】

圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，即（x+1）2+（y+2）2=5，∴其圆心坐标位（–1，–2），半径为，故答案为：(1). （–1，–2）    (2). .

【点睛】

本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．

15．直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是_____________．

【答案】

【解析】根据点斜式写出直线方程，并化为一般式.

【详解】

由直线方程的点斜式得，化简得.

【点睛】

本小题主要考查直线方程点斜式，考查点斜式转化为一般式，属于基础题.

16．若实数x，y满足，则y的最大值是__________．

【答案】2．

【解析】画出可行域，根据图像判断出的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，的最大值为.

【点睛】

本小题主要考查线性规划的知识，考查可行域的画法，属于基础题.

三、解答题

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）求证：PB⊥平面DEF.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，利用中位线定理以及线面平行的判定定理，即可证明；

（2）先利用线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质得出BC⊥DE， DE⊥PB，最后利用线面垂直的判定定理得出PB⊥平面DEF.

【详解】

证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO

∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点

又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO

∵EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE

∴PA∥平面BDE.

（2）PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD

∴PD⊥BC

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC

∵PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC

∴BC⊥平面PDC

∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE

∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC

∵PC∩BC＝C，PC ⊂平面PBC，BC ⊂平面PBC

∴DE⊥平面PBC，PB⊂平面PBC

∴DE⊥PB

又∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF

∴PB⊥平面DEF.

【点睛】

本题主要考查了证明线面平行以及证明线面垂直，属于中档题.

18．等差数列中，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】【详解】

(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.

因为所以.

解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.

(2)bn＝＝，

所以Sn＝

19．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若.

（1）求角C的大小；

（2）若的面积为，c=，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由正弦定理可得a2+b2-c2=ab，再用余弦定理可得cosC,即可求得C；

（2）由面积公式可得ab=8，再结合余弦定理求得a+b=6，相加可得周长．

【详解】

（1）由及正弦定理，得a2+b2-c2=ab，

由余弦定理得，

∵，∴.

（2）由（1）知.

由的面积为得，解得ab=8，

由余弦定理得，

∴(a+b)2=36，a+b=6，

故的周长为.

【点睛】

本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用和三角形的面积公式，属中档题．

20．已知圆C的圆心C在直线上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为.

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线l过点 且与圆C相交于A，B两点，求弦长的最小值及此时直线l的方程.

【答案】（1）；（2），.

【解析】（1）结合直线的方程设出圆心坐标以及半径，根据两点间距离公式以及题设条件，即可得出圆C的标准方程；

（2）当直线的斜率不存在时，得出直线的方程，根据方程得出，当直线l的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式以及弦长公式得出，进而得出弦长的最小值以及直线的方程.

【详解】

（1）由题可设圆心，半径r

∵.

又∵圆C与x轴正半轴相切

∴圆C的标准方程：

（2）①当直线l的斜率不存在时，

直线l的方程为x＝1，此时弦长

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：

点C到直线l的距离，则弦长

当k＝0时，弦长取最小值

此时直线l的方程为.

由①②知当直线l的方程为时，弦长取最小值为.

【点睛】

本题主要考查了求圆的标准方程以及弦长公式的应用，属于中档题.

21．已知函数，.

（Ⅰ）若为偶函数，求的值并写出的增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；

（Ⅲ）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) ；增区间.

(2) 的最小值为，取“”时.

(3) .

【解析】分析：（Ⅰ）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；

（Ⅱ）根据已知条件结合韦达定理，求得的值.再化简整理的表达式，结合和基本不等式即可得到答案.

（Ⅲ）先求出区间上，再将不等式恒成立，转化为上恒成立问题，构造新函数，得恒成立，分类讨论求得参数的值.

详解：解：（Ⅰ）为偶函数，

               ，即，解得.

            所以，函数，对称轴，增区间

（Ⅱ）由题知

∴

又∵，∴

∴，

即的最小值为，取“”时

（Ⅲ）∵时，

∴在恒成立

记，（）

①当时，

由，∴

②当时，

由，∴

③当时，

由，

综上所述，的取值范围是

点睛：本题主要考查单调性和奇偶性，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键.