2022届福建省龙岩市上杭县第一中学高三下学期5月模拟考数学试题含解析

福建省龙岩市上杭县第一中学2022届高三下学期5月模拟考

数学试题

一、单选题

1．已知复数，则（       ）

A．2 B．3 C． D．

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

4．江南的周庄、同里、用直、西塘、号镇、南浔古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（       ）

A． B． C． D．

5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（       ）倍.

A．1 B． C． D．

6．如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（       ）

A． B． C． D．

7．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（       ）

A． B． C． D．

8．设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（       ）

A．  B．

C． D．

二、多选题

9．下列结论正确的是（       ）

A．命题“"的否定是""

B．已知回归模型为，则样本点的残差为

C．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8

D．若的展开式中各项的二项式系数之和为32，则展开式中项的系数为

10．设函数的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（ ）

A．

B．在单调递减

C．的周期为

D．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为

11．已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（       ）

A．的最小值为1 B．的最小值为

C．的最小值为4 D．的最小值为

12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图.则下列结论正确的是（       ）

A．经过三个顶点的球的截面圆的面积为

B．异面直线与所成的角的余弦值为

C．直线与平面所成的角为

D．球离球托底面的最小距离为

三、填空题

13．曲线在处的切线的倾斜角为，则___________.

14．若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)

15．设，则的大小关系为___________.（从小到大顺序排）

四、双空题

16．已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．

五、解答题

17．如图，在四边形中，．

(1)证明：为直角三角形；

(2)若，求四边形面积S的最大值．

18．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

(1)（i）根据以上数据，求关于的线性回归方程；

（ii）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润.

(2)为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.（视频率为相应事件发生的概率）

附：参考公式：回归方程，其中，.

参考数据：，.

19．设为等差数列的前n项和，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前30项和．

20．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．

(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD；

(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．

21．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

(1)求曲线C的方程；

(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x2＝1；

(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围．

22．已知函数．

(1)证明：当时，；

(2)记函数，判断在区间上零点的个数．

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

先求，结合复数的模求解公式即可求解．

【详解】

因为，所以，则，所以．

故选：D．

2．B

【解析】

【分析】

由分式不等式求得集合，再根据并集的原则求解即可.

【详解】

对于集合，满足，即，

解得，即，

又，所以，

故选：B

3．C

【解析】

【分析】

求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．

【详解】

解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

由，得，

又，

所以，解得；

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

故选：C．

4．D

【解析】

【分析】

根据题意，结合组合数公式求得基本事件的总数为种，再求得至少选一个苏州古镇的不同的选择种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有种不同的选择方式，

则至少选一个苏州古镇，有种不同的选择方式，

所以至少选一个苏州古镇的概率为.

故选：D.

5．A

【解析】

【分析】

由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.

【详解】

解：由题意可得，，

所以，

即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.

故选：A.

6．D

【解析】

【分析】

根据题意得分别求出和的坐标，再分别求出和的坐标，，再利用数量积坐标运算求解即可.

【详解】

根据题意得：，,

因为，分别为，的中点，所以，，

所以，又，即，解得.

故选：D.

7．A

【解析】

【分析】

先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,

【详解】

由题意知：渐近线方程为，由焦点，，

以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，

则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，

又该圆过线段的中点，故，

所以离心率为.

故答案为：.

8．B

【解析】

【分析】

对恒成立，即，令，，对求导得出在单调递增，故，故，问题转化为.

【详解】

对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.

故选：B．

9．ABC

【解析】

【分析】

根据命题的否定可判断A，根据残差的计算即可判断B，根据方差的性质即可求解C，根据二项式系数和可求，再根据通项即可求解.

【详解】

对于A,命题“"的否定是"",故正确；

对于B,当时，，故残差为，故正确，

对于C,由方差的性质可知：的方差为，故正确，

对于D,的展开式中各项的二项式系数之和为，故的通项为，令，故项的系数为，故错误，

故选：ABC

10．BC

【解析】

【分析】

把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项．

【详解】

由已知，

所以，，

又，，，又，所以，A错误；

，时，，由余弦函数性质得B正确；

是偶函数，，周期为，C正确；

把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这，D错．

故选：BC．

11．AC

【解析】

【分析】

根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断B，结合抛物线的定义判断C，D.

【详解】

抛物线焦点为，准线为，作出图象，

对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；

对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；

对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．

故选：AC.

12．BCD

【解析】

【分析】

求出外接圆面积判断A，作出异面直线所成的角并求出这个角后判断是B，根据直线民平面所成的角定义判断C，求出球心到平面的距离可判断D．

【详解】

根据图形的形成，知三点在底面上的射影分别是三边中点，如图，与全等且所在面平行，截面圆就是的外接圆与的外接圆相同．

由题意的边长为1，其外接圆半径为，圆面积为，A错；

由上面讨论知与平行且相等，而与平行且相等，因此与平行且相等，从而是平行四边形，，所以是异面直线与所成的角（或其补角）．由已知，，，，

，B正确；

由平面与平面垂直知在平面内的射影是，所以为直线与平面所成的角，此角大小，C正确．

由上面讨论知，设是球心，球半径为，由得，则是正四面体，棱长为1，设是的中心，则平面，又平面，所以，，则，又．

所以球离球托底面的最小距离为，D正确．

故选：BCD．

【点睛】

关键点点睛：本题考查空间折叠问题，掌握空间的垂直关系是解题关键．由垂直平行关系得出与全等且所在面平行，从而易得截面圆与的外接圆相同，从而可得，得异面直线所成的角，得直线与平面所成的角，根据正四面体积的性质求得其高，得出距离的最小值．

13．

【解析】

【分析】

对函数求导代入，即可得出，进而可得结果.

【详解】

则

故答案为：

14．型的都对

【解析】

【分析】

本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以判断函数在上单调递增，又，（且，）即可得解；

【详解】

解：对于任意实数，，当时，都有，说明该函数在上单调递增，

又对数函数满足运算性质：，

故可选一个递增的对数函数：．

故答案为：．

15．

【解析】

【分析】

构造函数和，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.

【详解】

记，则，当时，,故在上单调递增，故，故，

记，则，当时，,故在单调递减，故，故，因此

故答案为：

16．          44

【解析】

【分析】

根据题意计算的值，从而可求出其对称中心，由等差数列的性质结合，可得，再利用等差数的性质和的对称性可求出的值

【详解】

因为，

所以

，

所以的图象的对称中心为，即为，

因为等差数列中，，

所以，得，

因为的图象的对称中心为，

所以， ，，，，

因为，

所以 ，

故答案为：，44

17．(1)证明见解析

(2)12

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；

（2）由与，结合与基本不等式求解即可

（1）∵，由与余弦定理∴，整理得，，∴．∴为直角三角形．

（2）∵，∴．由，得．．（当且仅当时取等号）所以四边形面积S的最大值为12．

18．(1)（i）；（ii）产品的单价定为9.75元

(2)分布列见解析，3

【解析】

【分析】

（1）利用最小二乘法求解；

（2）根据题意得到对价格满意的频率为，基本满意和不满意的频率为，然后由随机变量求解.

（1）解：（i），，∴.∴，∴回归直线方程为.（ii）设工厂获得的利润为万元，则，∴该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元.

（2）由题设可知对价格满意的频率为，基本满意和不满意的频率为，随机变量，，随机变量的分布列如下表：

随机变量的数学期望为.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为d，由，求解；

（2）由（1）得到，然后计算即可.

（1）解：设等差数列的公差为d，由，，得：，解得，故数列的通项公式为；

（2）由（1）可知，故，首先对任意的都有，，，，于是.

20．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质证明即可；

（2）以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，再利用线面角的向量求法求解即可

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BEFD，∴平面ACF⊥平面BEFD．

（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2-(DF-BE)2=8，∴BD=2．设OA=a(a>0)，则A(a，0，0)，C(-a，0，0)，E(0，，1)，F(0，-，2)，∴=(0，-2，1)，=(-a，，1)，=(a，，1)．设是平面AEF的法向量，则，即，令z1=2，∴，是平面AEF的一个法向量，设，是平面CEF的法向量，则，即，令z2=2，∴ ∵二面角A-EF-C是直二面角，∴，∴a=．∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，∵AB==2，∴tan∠BAE==．故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．

21．(1)

(2)证明见解析

(3)(0，1]

【解析】

【分析】

（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），推出b＝1，又椭圆的离心率为，解得a2，即可得出答案．

（2）设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆的方程，解得x2，同理可得，进而可得x1⋅x2＝1．

（3）由（2）得，由，得，再计算S1，S2，结合基本不等式得S12﹣S22的取值范围．

（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b＝1，因为椭圆的离心率为，所以，即a2＝4，所以椭圆方程为．

（2）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y＝k(x+1)，联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0，解得x＝﹣1或，所以，同理联立直线AP和双曲线可得，，所以x1⋅x2＝1．

（3）由（2），因为，所以，即，因为点P在双曲线上，则，所以，即，因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以，因为，所以．由（2）知，x1⋅x2＝1，即，设，则1＜t≤3，则．设f（t）＝5﹣t5﹣（t）≤5﹣4＝1，当且仅当，即t＝2时取等号，结合对勾函数单调性知函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．因为，所以f(1)＜f(3)，所以的取值范围为（0，1]．

22．(1)证明见解析

(2)个零点

【解析】

【分析】

（1）求导后可知在上单调递增，由可得结论；

（2）由可知是的一个零点；分别在、和的情况下，结合零点存在定理判断导函数的正负，从而得到的单调性，确定区间内零点个数，得到在上的零点个数；根据奇函数性质可得最终结果.

（1）由题意得：；当时，，，在上单调递增，.

（2），，，是的一个零点；①当时，设，则，在上单调递减，，又，，即在上无零点；②当时，，，在上单调递减，又，，，使得，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；，，在上存在唯一零点，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，在有唯一零点；③当时，，，在上单调递减，，在上无零点；综上所述：在上有两个零点；，为奇函数，图象关于原点对称，在上有两个零点；又，在上共有个零点.

【点睛】

思路点睛；本题考查利用导数研究函数零点个数的问题，解题基本思路是能够根据导函数的形式，对所给区间进行分段，通过说明导函数在每段区间内的符号，得到原函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.