数与式 讲义--初高中数学衔接
展开初高中数学衔接---数与式
一、与绝对值有关问题：
（一）知识点：
1.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
2.正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
3.两个负数比较大小，绝对值大的反而小
4.两个绝对值不等式:；或
5.绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.
6.两个数的差的绝对值的几何意义: 表示在数轴上,数和数之间的距离.
（二）题型：
1.化简：
【解析】
2.解下列方程
（1） （2）
【解析】（1）
（2）
3.解下列不等式
(1)
【解析】
(2) ．
【解法一】由，得；由，得；
①若，不等式可变为，
即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；
②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；
③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．
【解法二】如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4．
4. 画出下列函数的图像
(1) (2)
【解析】
5.已知，求的最小值和最大值。
略解：由得
（1）当时，，当时有最小值
（2）当时，（最大值）
6. 若为整数，且，试计算的值.
略解：为整数，且，或
二、与根式有关问题：
（一）知识点：
1.一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如，等是无理式，而，，等是有理式．
2．分母（子）有理化:把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
3.在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
4．二次根式的意义
（1）
（2）
（3）
（4）
（二）题型：
1.化简下列各式
（1）
（2）
【解析】（1）
（2）略
2.化简：．
【解析】
＝
＝
＝＝．
3.已知，求的值
略解：，，
4. 已知，求的值.
【解析】
5. 设为的小数部分，为的小数部分，求的值.
略解：
则的小数部分=
则的小数部分=,
6.试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.
【解析】（1）∵，
，
又，∴＜．
（2）∵
又 4＞2，∴＋4＞＋2，∴＜.
三、与分式有关问题：
（一）知识点：
（Ⅰ）分式的运算规律
1、加减法
同分母分式加减法：
异分母分式加减法：
2、乘法：
3、除法：
4、乘方：
（Ⅱ）分式的基本性质
1、 2、
(Ⅲ)比例的性质
（1）若则
（2）若则（合比性质）
（3）若（）则（合分比性质）
（4）若＝…＝，且则（等比性质）
（二）题型：
1.计算:
解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律
因此不难看出，拆项后通分更容易
∴原式＝
＝
＝
2. 若，且，则＝ 8或－1 ；
提示：设，进而得
3.已知，，，则 ；
提示：将条件分别取倒数即可，
四、与指数式有关问题：
1.已知，，，，那么、、、从小到大的顺序是（ D ）
A. B. C. D.
略解：，，，
五、与二次式有关问题：
1.已知，求的值
略解：，
2.存在，使得成立，求的取值范围.
提示：法1：用几何意义表示一个圆
法2：把视为关于的一元二次方程，再用即可.
3.已知,,,则的最小值是
略解：已知，，
又，，
可得是关于的方程的两个根，
根据根与系数的关系可得，，
再由
，时，的最小值
