初高中数学衔接讲义-函数值、值域的求法

初高中数学衔接---函数值、值域的求法一、函数值：定义：函数当在定义域内取一个确定值时，对应的的值称为函数值，表示为：（一）、具体函数的函数值：1.设，则＝(  D  )(A) －     (B)0      (C)    (D) 12. 已知，则    8        ；3．已知，那么＝_____。提示：＝，＝，＋＝1．∴ ＝＋1＋1＋1＝．4．已知函数.则=           5. 设函数，若，则实数       6.已知函数（1）求（2）若，求的值.简析：（1），（2）的值为2或7. 已知函数（1）求，的值；（2）若，求的取值范围。解：（1），，（2）①，解得②，解得③，解得综上所述，的取值范围是（二）抽象函数的函数值：1．满足，且，，则=（    ） A．  B．   C．   D．2．已知函数对一切实数均满足，且．则++…+ =               .二、函数的值域：(一)直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1．求下列函数的值域：①；  ②；【参考答案】①；②；(二)配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。1．求函数（）的值域。【解析】。∵，∴，∴，∴，∴。∴函数（）的值域为。2．函数，，函数表示在上的最大值，求的表达式。解析：f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1，其图象是以直线x=-2为对称轴，开口向上的抛物线，且有当f(x)=0时，x1=-3，x2=-1，因所给区间[t，t+2]的长度为2，区间中点为t+1，故当t+1在对称轴x=-2的左侧，即t+1<-2，也即t<-3时，有fmax=f(t)=g(t)=t2+4t+3；当t+1≥-2，即t≥-3时，有g(t)=f(t+2)=(t+2)2+4(t+2)+3=t2+8t+15∴3. 求函数在区间上的最小值。解析：（1）当，即时，；（2）当，即时，；（3）当，即时，。综上，评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。(三)换元法：形如的函数常用换元法求值域，即先令求出，并注明的取值范围，再代入上式表示成关于的二次函数，最后用配方法求解。1.求函数的值域。解：令（），则，∴。∵当，即时，，无最小值。∴函数的值域为。 (四)图像法（数型结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。1.求函数的值域。解：∵ ，∴的图像如图所示，由图像知：函数的值域为2．函数的最大值是_____________，最小值是_____________.