2022-2023学年苏科版七年级数学上册重难题型全归纳 专题04 数轴中的动点问题 专项讲练（原卷+解析卷）

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专题04 数轴中的动点问题 专项讲练
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
题型1. 单动点问题
例1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（       ）

①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；
由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，
当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，
当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式1．（2021·北京·人大附中七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，

下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（       ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．
【详解】解：∵，，且，
∴，，解得，，故①正确；
当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；
设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，
，，，
∴，故③正确；
设点B表示的数是，则点C表示的数是，
∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，
∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，
则，故④正确．故选：D．
【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．

题型2. 单动点问题（规律变化）
例2.（2021·浙江温州·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．

(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29
【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；
(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；
(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案．
(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12；
(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，
∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；
(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，
∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，
根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．
故答案为：2或29．
【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
变式2．（2021·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；
（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．

【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【详解】解：（1）∵4×2.5=10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，
Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，
Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
，
解得n=95，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95
=1+2+3+…+95
=
=4560，
∴时间=4560÷4=1140(秒)；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，
解得n=96，
∴动点Q走过的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|
=1+2+3+…+96
=
=4656，
∴时间=4656÷4=1164(秒) ．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．

题型3. 双动点问题（匀速）
例3.（2021·陕西·西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？

【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，
故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，
∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，
综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．


【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．

(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
(1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；．
(2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
(3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示
的数．

题型4.双动点问题（变速）
例4.（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
变式4．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．

（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；
（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；
②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
（3）当___时，、两点到点的距离相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．
【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；
（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；
②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；
（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴A、C两点距离为：；
故答案为9，20，32；
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：，
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
∴点P从点A到点C的时间为：；
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴，
∴5+1×1=6，
∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：
①当时，如图所示：

则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②当时，如图所示：

∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，
∴，BQ=11-t，
∵PB=BQ，
∴，方程无解；
③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示：

∴PB=15-t，，
∵PB=BQ，
∴，
解得t=12，
④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示：

∴，，
∵PB=BQ，
∴，
解得：；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；
故答案为12或25．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．

题型5.多动点问题
例5.（2022·福建·厦门市金鸡亭中学七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；

(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样　.
【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析.
【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，
∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）设3秒后点C对应的数为x，则，，
∵CA=CB，∴，
当，无解；
当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，
∴点C的速度为每秒1个单位长度；
（3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，
则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；
点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；
则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴，为定值，
即的值没有发生变化.
【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.
变式5．（2022·全国·七年级课时练习）如图一，已知数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从出发，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒


(1)线段__________．
(2)当点运动到的延长线时_________．（用含的代数式表示）
(3)如图二，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度．


(4)当点从出发时，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点表示的数为：_________（用含的代数式表示），
点表示的数为：__________（用含的代数式表示）．
②存在这样的值，使、、三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出值．______________．

【答案】(1) (2) (3) (4)①；     ②秒或秒或秒
【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所对应的数的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用点P运动路程－可求解；
（3）当秒时，根据路程＝速度×时间，得到，所以，再 由点是的中点，点是的中点，利用中点的定义得到，，最后由即可得到结论．
（4）①设运动时间为，当点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路程＝速度×时间”，再利用数轴上两点间距离公式，则点所表示的数是点的运动路程加上点所表示的数，点所表示的数是点的运动路程加上点所表示的数即可．
②结合①的结论和点所表示的数，分三种情况讨论即可．
(1)解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴．
故答案为：14
(2)∵在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒，
∴，
∴．
故答案为：
(3)∵点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，
当秒时，，
∴，
又∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∴．
∴此时的长度为．
(4)①设运动时间为，当点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，
∴，，
∴点所表示的数为：，点所表示的数为：，
故答案为：；
②结合①的结论和点所表示的数，可知：
点表示的数为，点所表示的数为：，点所表示的数为：，
分以下三种情况：
若点为中点，则，
∴，
解得：；
若点为中点，则，
∴，
解得：；
若点为中点，则，
∴，
解得：．
综上所述，当为秒或秒或秒时，、、三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，中点的定义，注意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表示的数．

题型6. 新定义问题
例6.（2021·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
变式6．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么．

(1)若，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当时，点P叫点A的1倍伴随点，
当时，点P叫点A的2倍伴随点，
……
当时，点P叫点A的n倍伴随点．
试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1
(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解；
（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得
，然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：∵，∴在数轴上到3和x的点的距离为2，
∴x=5或x=1，故答案为：5或1；
(2)解：∵，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，
∵，∴，
∵ x是整数，∴x取-2、-1、0、1；故答案为：-2、-1、0、1；
(3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，
∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，
∴，∴，
当时，，∴，即AB=1；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=1；
综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2022·全国·七年级）如图，数轴上A，B两点之间的距离AB＝16，有一根木棒PQ沿数轴向左水平移动，当点Q移动到点B时，点P所对应的数为3，当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为____．

【答案】－5
【分析】设PQ＝x，则点B表示的数为x＋3，点A表示的数为x﹣13，则可得AB的中点的代数式，当点Q移动到线段AB的中点时，进而可求得答案．
【详解】解：设PQ＝x，则点B表示的数为x＋3，点A表示的数为x＋3﹣16＝x﹣13，
∵AB的中点可表示为（x＋3＋x﹣13）÷2＝x﹣5，
∴当点Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为x﹣5﹣x＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了数轴，理解两点之间的距离是解题的关键．
2．（2022·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________．
【答案】##
【分析】分析题意不难得出，第一次移动，实际上是向右移动1个单位长度，据此可求第n次移动后点P表示的数．
【详解】解：∵第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；则实际移动的长度为：-1+2=1，
第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；则实际移动的长度为：-2+3=1，
第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；则实际移动的长度为：-3+4=1，
…
∴第n次移动后点P在数轴上表示的数为：-3+n=n-3．
故答案为：n-3．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键明确每一次移动后，实际移动的长度为1个单位长度．
3．（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图，在数轴上，点O为原点，点A、点B所表示的数分别为a、b，且满足|a+40|+（b﹣20）2＝0；
（1）直接写出a、b的值；a＝　 　；b＝　 　．
（2）动点P从点A出发，以每秒m个单位长度的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2m个单位长度的速度在点B和原点之间做匀速往返运动，当运动时间为7秒时，点P在点A和原点之间，恰好满足点P到原点的距离是点Q到原点距离的一半，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点P和点Q第一次相遇后，速度均变为原来的2倍，点P运动到点B后停止运动，点P停止运动后，点Q运动到原点也停止运动，t为何值时，P、Q两点间的距离为5个单位长度？

【答案】（1）﹣40，20；（2）5；（3）
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的性质即可求解；
（2）对P、Q两点的运动情况进行分类讨论，根据题意列出点P到原点的距离以及点Q到原点距离的代数式，即可求解；
（3）对P、Q两点的运动情况进行分类讨论，根据题意列出P、Q两点间的距离的代数式，即可求解．
【详解】解：（1）∵|a+40|+（b﹣20）2＝0，
∴|a+40|＝0，（b﹣20）2＝0，
∴a＝﹣40，b＝20，
故答案为：﹣40，20；
（2）①7秒末P点还未到达O点，
由题意得，点P到原点的距离是40﹣7m，
∵40﹣7m＞0，
∴m＜，
Ⅰ．动点Q第一次从点B出发还未折返，当运动时间为7秒时，
此时点Q到原点距离是20﹣2×7m＝20﹣14m（0＜m≤），
∵点P到原点的距离是点Q到原点距离的一半，
∴40﹣7m＝（20﹣14m），
∴m无解，此情况舍去，
Ⅱ．动点Q第一次从O点折返还未到达B点，运动时间为7秒时，
此时点Q到原点距离是14m﹣20，
∵20＜14m＜40，
∴＜m＜，
∵点P到原点的距离是点Q到原点距离的一半，
∴40﹣7m＝（14m﹣20），
∴m＝（不符题意，舍去），
Ⅲ．动点Q第二次从点B出发还未折返，运动时间为7秒时，
此时点Q到原点距离是60﹣14m，
∵40≤14m≤60，
∴≤m≤，
∵点P到原点的距离是点Q到原点距离的一半，
∴40﹣7m＝（60﹣14m），
∴m无解，此情况舍去，
Ⅳ．动点Q第二次从O点折返还未到达B点，运动时间为7秒时，
此时点Q到原点距离是14m﹣60，
∵60＜14m＜80，
∴＜m＜，
∵点P到原点的距离是点Q到原点距离的一半，
∴40﹣7m＝（14m﹣60），
∴m＝5，
∴综上所述，m的值为5，
（3）∵m＝5，
由题意得，当运动时间为7秒时，P点所表示的数为﹣5，Q点所表示的数为10，
假设从P、Q两点开始运动经t秒相遇，
①动点Q第二次从O点折返还未到达B点，
∵Q点运动速度大于P点，
∴P、Q两点不可能相遇，
②动点Q第三次从点B出发还未折返，
由题意得，P点所表示的数为5t﹣40，Q点所表示的数为100﹣10t，
若P、Q两点相遇，则5t﹣40＝100﹣10t，
解得t＝，
∵点P和点Q第一次相遇后，速度均变为原来的2倍，点P运动到点B后停止运动，点P停止运动后，点Q运动到原点也停止运动，
假设再经t0秒P、Q两点间的距离为5个单位长度，
Ⅰ．P、Q两点间的距离第一次为5个单位长度时（Q点还未折返），
由题意得10t0+20t0＝5，
∴t0＝，
∴P、Q两点间的距离第一次为5个单位长度所需时间为t1＝，
Ⅱ．P、Q两点间的距离第二次为5个单位长度时（Q点从O点折返，Q在P点左边），
由题意得10t0+﹣（20t0﹣）＝5，
∴t0＝（不符题意，舍去），
Ⅲ．P、Q两点间的距离第三次为5个单位长度时（Q点从O点折返，Q在P点左边），
由题意得10t0+20t0﹣＝5，
∴t0＝（不符题意舍去），
Ⅳ．P、Q两点间的距离第四次为5个单位长度时（Q点从O点折返，Q在P点右边），
由题意得20t0﹣﹣10t0＝5，
∴t0＝（不符题意，舍去），
∴综上所述，t＝时，P、Q两点间的距离为5个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴的性质和一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出一元一次方程，难度较大．
4．（2022·福建省泉州市培元中学七年级期中）已知，A，B在数轴上对应的数分用a，b表示，且，数轴上动点P对应的数用x表示.
(1)在数轴上标出A、B的位置，并直接写出A、B之间的距离；
(2)写出的最小值；
(3)已知点C在点B的右侧且BC＝9，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，
①求P点对应的数的值；
②数轴上另一动点Q从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点Q能移动到与①中的点P重合的位置吗？若都不能，请直接回答.若能，请直接指出，第几次移动可以重合。

【答案】（1）A、B位置见解析，AB=30；（2）30；（3）①8或-4；②能，第8次
【分析】（1）求出a、b的值，在数轴表示即可，求出AB的距离；
（2）|x-20|+|x+10|的最小值，就是数轴上表示20的点，与表示-10的点之间的距离；
（3）①求出c的值，设出点P对应的数，用距离列方程求解即可；
②点Q移动时，每一次对应的数分别列举出来，发现规律，得出结论．
【详解】解：（1）|a-20|+（b+10）2=0，解得：a=20，b=-10；
∴AB=20-（-10）=30；
（2）|x-a|+|x-b|=|x-20|+|x+10|，
当x位于点A与点B之间时，即，-10≤x≤20时，|x-20|+|x+10|的值最小，最小值为AB=30，
答：|x-20|+|x+10|的最小值为30；
（3）①点C在点B的右侧且|BC|=9，因此点C所表示的数为-1，
设点P表示的数为x，
|x+10|=2|x+1|，解得x=8或x=-4；
②点Q每次移动对应在数轴上的数，
第1次：-1，第3次：-3，第5次：-5，……
第2次：2，第4次：4，第6次：6，……
因此点Q能移动到与①中的点P重合的位置，与8重合时，移动第8次，不可能与-4重合，
答：点Q能移动到与①中的点P重合的位置，移动的次数为8次．

【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间距离的计算方法，是解决问题的关键．

5．（2021·江苏南京·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．
（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．
（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．

【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t．
【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算；
（2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可；
（3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可.
【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，
数轴上点P对应的数为：，
点Q对应的数为：，
P、Q两点间的距离为：，
故答案为：－5, －11；     6．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．
故答案为：－10＋t．
（3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16；
当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；   
当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键.
6．（2022·河北·景县第二中学七年级期中）自主学习：
连接两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离．
[问题1]数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．观察数轴如图，填空：
①点与点的距离是2；
②点与点的距离是________；
③点与点的距离是________；
[发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是________（用含，的代数式表示）
如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点．
[问题2]以数轴上任意两点为端点的线段中点所表示的数与这两个点对应的数的关系．
①的中点表示的数是1；
②的中点表示的数是________；
③的中点表示的数是________；
[发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是________（用含，的代数式表示）
[应用]在数轴上，点表示的数为-6，且、两点之间的距离是9，则线段的中点表示的数是________．

【答案】[问题1]②2；③4；[发现1]；[问题2]②-2；③；[发现2]；[应用]或
【分析】问题1：②③直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可；
发现1：直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可；
问题2：②③利用数轴计算得出中点坐标即可；
发现2：利用数轴上两点间的中点坐标求解即可
应用：分点N在M的左边和右边，求得N点坐标，再利用中点坐标公式求得答案即可．
【详解】解：[问题1]
②点与点的距离为；
③点与点的距离为；
[发现1]
在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是（用含，的代数式表示）
[问题2]
②的中点表示的数是；
③的中点表示的数是；
[发现2]
在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是．
[应用]
由题意得，
解得：或，
线段中点表示的数为或，
【点睛】本题考查了数轴相关知识，解答此类题目可以采取“数形结合”的数学思想，注意分类思想的应用.
7．（2021·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.

【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.
【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；
（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；
（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.
【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，
∵cm，cm，cm，
∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇；
（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，
∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，
由，可分两种情况：
①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，
点P运动的时间为s，
∴点Q的运动速度=cm/s；
②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，
点P的运动时间是s，
∴点Q的运动速度=cm/s，
综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s；
（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，
∵点E是OP的中点，
∴OE=a，
∵点F是AB的中点，AB=30，
∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，
∴=.
【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.
8．（2022·江苏·七年级期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，数轴上有一点C，且C点到A点的距离是C点到B点距离的2倍，且a、b满足|a+4|+(b-11)2=0．
(1) 直接写出点C表示的数　 　；
(2) 点P从A点以每秒4个单位的速度向右运动，点Q同时从B点以每秒3个单位的速度向左运动，若AP+BQ=2PQ，求时间t；
(3) 数轴上有一定点N,N点在数轴上对应的数为2，若点P与点M同时从A点出发，一起向右运动，P点的速度为每秒6个单位,M点的速度为每秒3个单位，在P点到达点B之前：①的值不变；②的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．

【答案】(1)6或26；(2)或；(3)的值不变，値为15.
【详解】试题分析：（1）先根据非负数的性质求出a，b的值，再分C在AB之间和C在B的右边义得出点C表示的数即可；
（2）先用t表示出AP，BQ及PQ的值，再分两种情况根据AP+BQ=2PQ列出关于t的方程，求出t的值即可；
（3）由PA+PB=AB为定值，PN先变小后变大，得出①错误，再根据BM=15-3t，BP=15-6t，即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵|a+4|+（b-11）2=0，∴a+4=0，b-11=0，解得a=﹣4，b=11，设点C表示的数是是c，分两种情况讨论：
①若C在AB之间，则AC+CB=AB=11-（-4）=15，即3CB=15，∴CB=5，∴11-c=5，解得：c=6；
②若C在B右边，则AC-CB=AB=11-（-4）=15，即CB=15，∴c-11=5，解得：c=26；
综上所述：点C表示的数为6或26．
（2）设运动时间为t，分两种情况：
①P在Q的左边，此时有AP+PQ+PB=AB=15，点P从A点以4个单位每秒向右运动，点Q同时从B点以3个单位每秒向左运动，∴AP=4t，BQ=3t，PQ=15﹣7t．
∵AP+BQ=2PQ，∴4t+3t=2（15﹣7t），解得t=；
②P在Q的右边，此时有AP-PQ+PB=AB=15，∵AP+BQ=2PQ，∴4t+3t=2（7t-15），解得t=；
综上所述：t=或.
（3）∵PA+PB=AB为定值，PN先变小后变大，∴的值是变化的，∴①错误，②正确；
∵BM=15-3t，BP=15-6t，∴2BM﹣BP=30-6t-（15-6t）=15．
点睛：本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
9．（2022·山东济宁·七年级期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具， 利用数轴可以将数与形完美地结合． 研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点 、点 表示的数分别为 ， 则 两点之间的距离 ， 线段 的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图， 数轴上点 表示的数为 ， 点 表示的数为 8 ， 点 从点 出 发， 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 同时点 从点 出发， 以每 秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为 秒 ．
【综合运用】


(1)填空：
① 两点间的距离 ________ ， 线段 的中点表示的数为_______；
②用含 的代数式表示： 秒后， 点 表示的数为________ ； 点 表示的数为________．
(2)求当 为何值时， ；
【答案】(1)①10，3；② -2+3t，8-2t；
(2)t＝1或3
【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；
②根据数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到答案；
（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可；
(1)
解：① 由题意得：，线段AB的中点为，
故答案为：10，3；
② 由题意得：t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
故答案为：，；
(2)
解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
∴，   
又∵，
∴，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，；
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式．
10．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，A、B是数轴上的两点，O是原点，AO=10，OB=15，点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，设运动的时间为t（t≥0） 秒，M、Q两点到原点O的距离相等时，t的值是（       ）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据AO和OB的出可得点A和点B表示的数，根据绝对值的定义，利用数轴上两点间的距离，可用t表示出点M、Q到原点的距离，根据M、Q两点到原点O的距离相等列方程求出t值即可得答案．
【详解】∵O是原点，AO=10，OB=15，
∴点A表示的数是-10，点B表示的数是15，
∵点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，
∴OM=|-10-t|，
∵点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴OQ=|15-4t|，
∵M、Q两点到原点O的距离相等，
∴|-10-t|=|15-4t|，
∴-10-t=15-4t或-10-t=-（15-4t），
解得：t=或t=1，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值的定义及数轴上两点间的距离，正确表示出OM、OQ的长是解题关键．
11．（2022·江苏扬州·七年级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；
(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．
①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？
②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．
【答案】(1)见解析；
(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．
【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；
（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可；
②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．
(1)
解：如图所示：


(2)
解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，
NP=5t－6
∴t+2 =6－5t，得：t=；
或t+2 =5t－6，得：t=2．
即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，
②∵点P是【B，A】的三倍点，
∴PB=3PA．
当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，
∴PA=4，点P对应数-6；
当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，
∴PA=2，点P对应数0，
综上可知点P对应数-6或0．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论．
12．（2022·江苏·七年级专题练习）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为﹣1、3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|．
请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．

(1)如图1，a＝﹣1．
①若c＝2，点D、E、F在数轴上分别表示数﹣3、5、7，在这三个点中，点______是点A、C的双倍绝对点；
②若|a﹣c|＝2，则b＝______；
(2)若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A、C的双倍绝对点，则c的最小值为______；
(3)线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数﹣4、﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A、C同时沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．
【答案】(1)①；②或3
(2)
(3)或
【分析】（1）①根据双倍绝对点的定义得出即可；
②根据题意，，求出b的值即可；
（2）分情况讨论或，根据求出b的值，再求出c的值，找到最小值；
（3）分情况讨论，当PQ在AC左端或右端时，求出临界状态下t的值，即可得到范围．
（1）解：（1）①∵a＝﹣1，c＝2，∴|﹣1﹣b|＝2|﹣1﹣2|，解得b＝5或﹣7，∴点E是点A，C的双倍绝对点，故答案为E；②∵a＝﹣1，|a﹣c|＝2，∴|﹣1﹣b|＝2×2，解得b＝﹣5或3，故答案为﹣5或3；
（2）（2）∵|b﹣c|＝5，∴c＝b+5或c＝b﹣5，∵a＝3，∴|3﹣b|＝2|3﹣c|，①当c＝b+5时，|3﹣b|＝2|3﹣b﹣5|，解得b＝﹣7或，∴c＝﹣2或；②当c＝b﹣5时，|3﹣b|＝2|3﹣b+5|，解得b＝13或，∴c＝8或，综上，c最小值为﹣2，故答案为﹣2；
（3）（3）①当PQ在A左端时，Q点最有可能先成为A，C的双倍绝对点，由题意得|t+3﹣3t+2|＝4，解得t＝或（舍去），∴t≥；由题意得|t+3﹣3t+4|＝4，解得t＝或（舍去），∴t≤，综上，t的取值范围为≤t≤．②当PQ在A右端时，P点最有可能最先成为A，C的双倍绝对点，同法可得，满足条件的t的值为≤t≤（t≠5），综上所述．满足条件的t的值为：≤t≤或≤t≤（t≠5）．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是理解题目中定义的双倍绝对点，利用数轴上两点间距离的计算方法列绝对值方程进行求解．
13．（2021·江苏镇江·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：
（一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；
（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；
（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位．

（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
（4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合；
（5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；
（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ．
【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或
【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可；
（2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可；
（3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可；
（4）求得对称中心，然后求解即可；
（5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可；
（6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为
故答案为；
（2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为
机器人向左移动两次，则B点表示的数为
机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为
故答案为或或
（3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，
，
由题意可得：，解得或
即向左平移2或10个单位长度
故答案为2或10
（4）由题意可得：对称中心为，
则表示−4的点与表示2的点重合
故答案为2
（5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，
则A点表示的数为
故答案为-6
（6）由题意可得：，则，
即之间的距离为8
当在左侧时，，点N表示的数为-4
当在右侧时，，点N表示的数为12
故答案为或
【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．
14．（2021·江苏·七年级专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示．
（1）请你在数轴上表示出，，三点的位置；

（2）把点到点的距离记为，则　 　．
（3）若点沿数轴以每秒匀速向右运动，经过　　秒后点到点的距离为．
（4）若点以每秒的速度匀速向左移动，同时、点分别以每秒、的速度匀速向右移动．设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）经过2或4秒后点到点的距离为；（4）的值不会随着的变化而变化，理由见解析
【分析】（1）根据题意数轴上表示出A，B，C三点的位置即可；
（2）根据两点间的距离公式可求CA的长度；
（3）表示B点移动的距离，然后再除以速度即可得出结论；
（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论．
【详解】解：（1）如图所示：

（2），
故答案为6；
（3）点到点的距离为时，移动的距离为或，
（秒，（秒，
所以，经过2秒或4秒后点到点的距离为，
故答案为：2或4．
（4）的值不会随着的变化而变化，理由如下：
根据题意得：，，
，
的值不会随着的变化而变化．
【点睛】此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
15．（2022·安徽合肥·七年级期中）如图，、两点在数轴上，这两点在数轴对应的数分别为、．点、分别从，两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是个单位/秒、个单位/秒，它们运动的时间为秒，点对应的数是．（规定：数轴上两点，之间的距离记为）

（1）如果点、在、之间相向运动，当它们相遇时，_____，此时点所走的路程为______，点所走的路程为______，则点对应的数是_______；
（2）如果点、都向左运动，当点追上点时，求点对应的数；
（3）如果点、在点、之间相向运动，当时，求点对应的数；
【答案】（1）、、、；（2）；（3）点对应的数为或．
【分析】（1）设经过t秒时，点P与点Q相遇，由相遇时两者路程和等于16-（-12），列方程可解；
（2）由追及时间等于路程差除以速度差，可求追及时间，从而问题得解；
（3）当PQ=8时，有两种情况：①P，Q相遇前；②P，Q相遇后．分别求出相应的时间，再求出对应的点P即可
【详解】解：（1）设经过t秒时，点P与点Q相遇，由题意得：
2t+4t=16-（-12）
∴6t=28
∴t=
∴此时点所走的路程为，
点所走的路程为
点P对应的数为：-12+2×=-
故答案为：、、、
（2）因为个单位，
所以追上的时间秒
，所以点对应的数为
（3）当时，分两种情况：
①、相遇前相距个单位，，此时点对应的数为．
②、相遇后相距个单位，，此时点对应的数为
综上所述，点对应的数为或．
【点睛】本题综合考查了动点在数轴上的运动问题，其中涉及到了相遇行程问题，追及行程问题等知识点，具有较强的综合性．
16．（2022·江苏南京·七年级期中）【概念提出】
数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n≥1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．

【初步思考】
（1）如图，C是点A、B的 阶伴侣点；
（2）若数轴上两点M、N分别表示－1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为 ；
【深入探索】
（3）若数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且点C是点A、B的n阶伴侣点，请直接用含a、b、n的代数式表示c．
【答案】（1）3；（2）－11，1，2，14；（3）当n＝1时，c＝，当n＞1时，点C在点A、B之间且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之间且靠近点A时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之外且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之外且靠近点A时，c＝a－ (b－a)．
【分析】初步思考：（1）可根据n阶伴侣点的概念判断即可；
（2）根据n阶伴侣点的概念分类讨论即可；
深入探究：（3）根据n阶伴侣点的概念分类讨论即可．
【详解】解：（1）∵O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点，
∴OA=OB,OC=2OA,OC=2OB，
∴AC=3BC，
∴C是点A、B的3阶伴侣点；
故答案是：3
（2）设表示的数为x,由题意有：
①|x+1|=|x-4|，
解得，x=1或x=-11，
②|x-4|=|x+1|，
解得，x=2或x=14，
综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为－11，1，2，14；
（3）①当n＝1时，c＝．
②当n＞1时，无论a＞b或a＜b，均有下列四种情况：
点C在点A、B之间且靠近点B时，c＝a＋   (b－a)；
点C在点A、B之间且靠近点A时，c＝a＋ (b－a)；
点C在点A、B之外且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；
点C在点A、B之外且靠近点A时，c＝a－ (b－a)．
【点睛】本题主要考查新定义“n阶伴侣点”， 解题的关键是灵活运用所学知识，结合分类讨论思想解决问题．
17．（2022·江苏·张家港市第一中学七年级阶段练习）如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A 表示的数是－30，点B表示的数是50，直接写出下列各题答案．

（1）请写出到点A和点B距离都相等的点M表示的数是
（2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，此时两只蚂蚁运动的时间为 秒，点C对应的数是
【答案】（1）10；（2）16，2
【分析】（1）求-30与50和的一半即是M；
（2）先求出AB的长，再设t秒后两只蚂蚁相遇，根据相遇时两只蚂蚁移动的路程和等于AB的长得出关于t的一元一次方程，求出t的值，再求出P、Q相遇时点Q移动的距离，进而得出C点对应的数；
【详解】解：（1）M点对应的数是（-30+50）÷2=10．
故答案为：10；
（2）∵A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是-30，点B表示的数是50，
∴AB=50-（-30）=80，
设t秒后P、Q相遇，由题意，得
∴3t+2t=80，解得t=16；
∴此时C点表示的数为-30+2×16=2．
答：C点对应的数是2，
故答案为：16，2．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题．
18．（2022·江苏徐州·七年级期中）在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们需要设置零件供应站,使这台机床到供应站的距离总和最小.要解决这个问题，先要分析比较简单的情形:
如果直线上只有台机床时，很明显供应站设在和之间的任何地方都行，距离之和等于到的距离.如果白线上有台机床，供应站应设在中间一 台机床处最合适，距离之和恰好为到的距离:

如果在直线上台机床，供应站应设在第台与第台之间的任何地方:
如果直线上有台机床，供应站应设在第台的地方
（1）阅读递推:如果在直线上有台机床，供应站应设在(               )处．
A．第台                                               B．第台和第台之间
C．第台                                               D．第台和第台之间
（2）问题解决:在同一条直线上，如果有台机床，供应站应设在什么位置?
（3）问题转化:在数轴上找一点，其表示的有理数为．当 时，代数式取到最小值，此时最小值为
【答案】（1）C;（2）当为偶数时，应设在第台和台之间的任何位置；当为奇数时，应设在第台的位置；（3）
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；
（2）根据（1）中所得结论，可以分两种情况寻找到规律即可求解；
（3）根据连续整数的和的计算公式即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
直线上有3台机床A1、A2、A3，供应站P应设在中间一台机床A2处，
直线上有5台机床A1、A2、A3、A4、A5，供应站P应设在中间一台机床A3 处，
直线上有7台机床A1、A2、A3…A7供应站P应设在中间一台机床A4处 故选：C．
（2）当n为偶数时，P应设在第台和()台之间的任何位置；
当n为奇数时，P应设在第台的位置．
（3）（1+99）÷2=50，∴当x=50时，代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-99|取到最小值
（1+49）×49=2450．故答案为：50，2450．
【点睛】本题考查了图形的变化规律、数轴、绝对值，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．